新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）23 数列中的数学文化（原卷版）

素养拓展23数列与数学文化（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理新课程标准进一步明确了数学文化在教学中的地位，数学文化作为素养考查的四大内涵之一，以数学文化为背景的试题将是新高考的考察内容，数列与数学文化有着紧密的联系，本专辑总结了数学文化在数列中出现的真题和模拟题。二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】（单选题）图1是中国古代建筑中的举架结构，SKIPIF1<0是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中SKIPIF1<0是举，SKIPIF1<0是相等的步，相邻桁的举步之比分别为SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0成公差为0.1的等差数列，且直线SKIPIF1<0的斜率为0.725，则SKIPIF1<0（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【典例2】（单选题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，依此类推，其中SKIPIF1<0．则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练-刷模拟】一、单选题1．“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（

）A．130 B．132 C．134 D．1412．宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n层的圆球总数为SKIPIF1<0，容易发现：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．45 B．40 C．35 D．303．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（

）A．102 B．103 C．104 D．1054．离子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一个或几个电子后达到的稳定结构，得到电子为阴离子，失去电子为阳离子，在外界作用下阴离子与阳离子之间可以相互转化．科学家们在试验过程中发现，在特定外界作用下，1个阴离子可以转化为1个阳离子和1个阴离子，1个阳离子可以转化为1个阴离子，如果再次施加同样的外界作用，又能产生同样的转化．若一开始有1个阴离子和1个阳离子，则在9次该作用下，阴离子的个数为（

）A．87 B．89 C．91 D．935．“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以正方形SKIPIF1<0的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且SKIPIF1<0，则这127个正方形中，最小的正方形边长为（

）

A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<06．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列SKIPIF1<0，其前七项分别为2，2，3，5，8，12，17．则该数列的第20项为（

）A．173 B．171 C．155 D．1517．为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（

）元（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．35200 B．43200 C．30000 D．320008．欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，例如初等几何中的欧拉线、多面体中的欧拉定理、微分方程中的欧拉方程，以及数论中的欧拉函数等等．个数叫互质数）的正整数（包括1）的个数，记作SKIPIF1<0．例如：小于或等于4的正整数中与4互质的正整数有1，3这两个，即SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记SKIPIF1<0为图中虚线上的数SKIPIF1<0构成的数列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0项，则SKIPIF1<0的值为（

）

A．1275 B．1276 C．1270 D．128010.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前2023项和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等比数列SKIPIF1<0为例，先画出直线OQ：SKIPIF1<0，并确定x轴上一点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作y轴的平行线，交直线OQ于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．再过点SKIPIF1<0作平行于x轴，长度等于SKIPIF1<0的线段SKIPIF1<0，……，不断重复上述步骤，可以得到点列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．下列说法错误的是（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．刻漏是中国古代用来计时的仪器，利用附有刻度的浮箭随着受水壶的水面上升来指示时间.为了使受水壶得到均匀水流，古代的科学家们发明了一种三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成锐二面角依次为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．世界上产生了深远的影响.已知利用“招差术”得到以下公式：SKIPIF1<0，具体原理如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，类比上述方法，SKIPIF1<0的值是（

）A．90 B．210 C．420 D．75614．北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0成立的n的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．615．我国古代数学家对SKIPIF1<0近似值的确定做出了巨大贡献，早在东汉初年的数学古籍《周髀算经》里便记载“径一周三”，并称之为“古率”，即“直径为1的圆，周长为3”，之后三国时期数学家刘徽证明了圆内接正六边形的周长是圆直径的三倍，说明“径一周三”实际上是圆的内接正六边形的周长与圆直径的比值，而不是圆周率．若将圆内接正n边形的周长与其外接圆的直径之比记为SKIPIF1<0，则下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．存在SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0D．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0二、填空题16．中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则此人在第六天行走的路程是里（用数字作答）.17．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题，“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是“现有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，估计此金杖总重量约为斤．18．幻方又称为魔方，方阵或厅平方，最早记载于中国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，宋代数学家杨辉称之为纵横图.如图所示，将1，2，3，…，9填入SKIPIF1<0的方格内，使三行､三列､两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，SKIPIF1<0填入SKIPIF1<0的方格内，使得每行､每列､每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做SKIPIF1<0阶幻方.记SKIPIF1<0阶幻方的一条对角线上的数字之和为SKIPIF1<0（如：SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0.49235781619．唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球．游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目．甲、乙、丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过6次传递后，花又在甲手中的概率为．20．斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是斐波那契数列SKIPIF1<0中的第项．21．数学王子高斯在小时候计算SKIPIF1<0时，他是这样计算的：SKIPIF1<0，共有50组，故和为5050，事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.22．欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理．如著名的欧拉函数SKIPIF1<0：对于正整数n，SKIPIF1<0表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．那么，数列SKIPIF1<0的前n项和为．23．古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了SKIPIF1<0子安贝（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．若关于n的不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数t的取值范围为．三、解答题24．雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；……按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Kochsnowflake）．现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、…、SKIPIF1<0、…．小明为了研究图形SKIPIF1<0的面积，把图形SKIPIF1<0的面积记为SKIPIF1<0，假设a1＝1，并作了如下探究：P1P2P3P4…Pn边数31248192…从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数31248…从P2起，每一个比前一个图