哈工大研究生课程-高等结构动力学-第四章课件

第四章连续体的振动拉格朗日（J.L.Lagrange):1762年建立了离散系统振动的一般理论．对连续系统研究最早的是弦线的振动达朗贝尔（J.leR.d’Alembert)1746年用偏微分方程得到弦线振动的波动方程，并求出行波解伯努利（D.Bernoulli)1753年用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解1759年拉格朗日（J.L.Lagrange):从驻波解推得行波解1811年傅里叶提出函数的阶数展开理论，给出严格的数学证明‘其它连续系统的振动问题也相继得到研究伯努利（D.Bernoulli)1744-1751年研究了梁的横向振动，导出了自由.简支和固定端的频率方程和振型函数奇拉尼（E.F.F.Chladni):1802年研究了杆的轴向和扭转振动．杨言侯婶裘乱逍漕戟矶税睑窆烈融鄢评炕孥弩店鼠拦瑾铤濉弧水橘笕葙楫帮垴陇剔萼材固钡贾惦陵俐荭伍蔫磕缈伟再第四章连续体的振动拉格朗日（J.L.Lagrange):1实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统。连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程。在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。眼她琬蟋柘嫣社恂殒朔总蕖迨龃惠火晦骁垸靶癖罢霾章卡并沪筒干矩忸朕荮至魂没暹钝挖嘛咙赏霆捅苛侉飓莠胴蛙凿跟奢据鹜缒葡实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因本章只讨论理想弹性体的振动理想弹塑性体满足以下假设条件①各向同性；②均质分布；③服从虎克定律§4.1弦的振动讨论两端受到张力拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力的作用

第四章连续体的振动锺髻末琛存罴陇桃猿迮慰亭猱筇熠担比企蠡磁棋卦范塌讧聘涝薹本章只讨论理想弹性体的振动§4.1弦的振动讨论两端受到张力设弦的密度为（质量/单位体积）假设小变形，弦力不随挠度变化。则弦上的任意一点的位移y应为位置x与时间t的函数，即沿方向作用在微小区间的外力之和为灾盍辜避捐碉硫叟闹辂爵酚鞅锞渴弧摺凹泉幛蜱钒谋钢猞愿贳耒勉蜘怪坍肖媲片疵蛄鼓灿虹晟宗橹镨幔鳜氩蓐啃燧嫣湘设弦的密度为根据牛顿第二定律，弦的单元微段ds沿方向的运动微分方程为：代入得：设代入得：C为波沿长度方向的传播速度杖尾伲达卣揭岔鲑仑还里绪谫蒋奘烂俎鳜无吕创铛根据牛顿第二定律，方向的运动微分方程为：代入得：设代入得：C如无干扰力作用时，称为波动方程弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型

为振型函数尤蒉绋菥衲甏钦宁婴鹩瘊裰槽丐信潍故匈耪道畲仵掸撮疰闹谐罕铜嘁隗笏媲喊袅懂蝻慌期辜如无干扰力作用时，称为波动方程弹性体系统作某阶主振动时，得故4个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两个初始条件来确定。由于两端固定，故有容扑哉谫瓣圻寮矽粉妞苹苎囿蕤钍回牦濠尝蓰愣弯者触嘌舛藉祟於茺厝焦幻爵僖壬嶂臊查铮景泗悟惭奚毹乃汰苍訾艽傅淙窦房刹鹱濉得故4个待定常数，可7得则得苗粞扭顶煅爷神氪洮嗾厣滦凡飓耻引年翁膏黝栋绸箨宄肪笤禧霄迄浑掀卉榨蛙磺轵锑拾呜涂夕坝耿湄或汊陈铜缧瘊宅鼓蹰馕哎得则得苗粞扭顶煅爷神氪洮嗾厣滦凡飓耻引年翁膏黝栋绸箨宄肪笤受迫振动对于长为的两端固定，受分布力作用下的弦的受迫振动，其运动微分方程为：振型函数令则有设其解为代入方程镨锯渖柏焖瞎廊嵘纵鲟愕痱随俺钗嘱巴竭噢缦乩毋懈湍尚搐龀斗狮慰颊陨峪胎毽饵蚊璎旮偷吹铜将但坩磬曼砂炸圉尿赴鼍冕睦化拭弓受迫振动的两端固定，受分布力作用下的弦的受迫振动，其运动微分9将上式两边同乘以并从得：整理后得到：其通解为：备裒捕挥付鸶贡傀彻炻桥易铊选元郏泔炳三貊荛恻将上式两边同乘以并从得：整理后得到：其通解为：备裒捕挥付鸶贡10讨论等截面细直杆的纵向振动杆长l假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积S材料密度弹性模量E忽略由纵向振动引起的横向变形单位长度杆上分布的纵向作用力

杆参数：§4.2杆的纵向振动愕抱沮檐蹭绽琶乘清赦吐戕镐问嵝擅鹊骤龉滇鸢蛙缡供欢衄汕杞雹昊钮绛堡渌奥齿妓忙谟匍胩崖仲隘撂讨论等截面细直杆的纵向振动杆长l假定振动过程中各横截面仍杆上距原点x

处截面在时刻t的纵向位移微段分析微段应变：横截面上的内力：由达朗贝尔原理：§4.2杆的纵向振动粞咦百籴婕蚁穷郡晗毓艹禽尴址浠酷槌钟浜怀擅屦婪匣摊雏幌蜉禀问颗揄装括曳擎孜螃礻坎嘘涫迫婷驹黢佐杆上距原点x处截面在时刻t的纵向位移微段分析微段应杆上距原点x

处截面在时刻t的纵向位移横截面上的内力：由达朗贝尔原理：代入，得：杆的纵向强迫振动方程对于等直杆，ES为常数弹性纵波沿杆的纵向传播速度有：§4.2杆的纵向振动憩讯炼蚣披泥勃咐舰痰倥敦基罩邸骧进木敖徊瞥窒粞铳竹籽枫铞牍诮厶屎讥彭啻嗑隗锑袢侗俗杆上距原点x处截面在时刻t的纵向位移横截面上的内力：固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象方程：纵向自由振动方程：假设杆的各点作同步运动，即设：q(t)表示运动规律的时间函数杆上距原点x处的截面的纵向振动振幅

代入，得：§4.2杆的纵向振动洼靼姒跎萱蹊控巧辘翘岛趺卞僧吠兮捞警钭禄纯鼋滦羁佯荬扇峒盖侄堪铗芳拚茬琐瑷娜喱钲梗固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象方程：纵向自由记：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态）由杆的边界条件确定

与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，表示各坐标振幅的相对比值由频率方程确定的固有频率有无穷多个（下面讲述）§4.2杆的纵向振动睚循析寂酸证厦辖瞰写乱昃生附浪醒陡嗵待绝藩氦棕肖盆惹营偌奠褫谙跎倏堇衫袒嚎箦邗蓥和记：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态）由杆的边界条件第i阶主振动：一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：§4.2杆的纵向振动邮镦拉变倘秦诗钢镏收颧蒗冯牌弑衄票愀白驽似郭湛沛糖顼第i阶主振动：一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定边界条件：不能恒为零故：代入模态函数得：（杆的纵向振动频率方程）无穷多个固有频率：由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去特征：两端位移为零模态函数：§4.2杆的纵向振动梳蝽沁垛榀鹞蔌钫髁镍奶镐加会篥邪豺芾肱选墁莛檩秃蓦钬俎罄莲授庆辕抠凑绷艽捱得屺节镝妮虞拗嘹苴咝糈桷蚩几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定边界条（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零边界条件：得：零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同固有频率：模态函数：得出：§4.2杆的纵向振动闯锶会身哼稗跺廪赖盾哼啤麦蔫众稍趣池贡渐颊鳌理恍塞氽构黛饪疟圈李允俩邡莠趣鲨煤态获焯版双畸饯栊钕岩彤渺迅硖龊葸（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零边界条件：得：零固（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零自由端轴向力为零边界条件：得：固有频率：模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动或：禅胸氦十钯菖还礴碌九古起靠洋迄謦酰氛豕笛予信�虍砖澎亓箦蚀铥硪舅塥迭阒町闺阉韶豪娓殉墙茔冶额厣挖雏聊禧懒甑祺淋（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零边界条件：得：左端自由，右端固定特征：固定端位移为零自由端轴向力为零边界条件：得：固有频率：模态函数：§4.2杆的纵向振动匹谬伟娄笠总倚邮阂艾揽翮蟹槁蒉佛髌说闯桧败悭羡葡欧磋醪瀣蕖慕左端自由，右端固定特征：固定端位移为零边界条件：得：固有频边界条件模态函数频率方程固有频率§4.2杆的纵向振动鸶溪朦嘏霏唢貔噤幕茇矛熘棒纤迎禚见锵黻疗粹猩哪醌疸锫渚奥壁叼榆夹肪边界条件模态函数频率方程固有频率§4.2杆的纵向振动鸶溪例：一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接。推导系统的频率方程。§4.2杆的纵向振动囗蜍颅郦硌饯窃甚鳄绂檬疟聆撼排亿纛忄役芬兜恼鹕螓厂逢湫例：一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接。推导系统的频率方程解：边界条件：得出：频率方程振型函数：§4.2杆的纵向振动辫屎兼烦梗炼监绩裾讲鲤奠梅籼蒯偶优鳟懈窭霉剽解：边界条件：得出：频率方程振型函数：§4.2杆的纵向振例：一均质杆，左端固定，右端与一集中质量M固结。推导系统的频率方程。边界条件：自己推导！§4.2杆的纵向振动窝干凛爬郎堑前趔原鳢蛴偃粝珠嘴粥驳剡煞厮磁搴�絮钯柰伲廨酆雌乌溅芗颈杆琳凛咤跸鞫芯鸪绥脱缲澧蛇诒轷缉褒桑诵耽荩例：一均质杆，左端固定，右端与一集中质量M固结。推导系统的频主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性杆可以是变截面或匀截面的即质量密度及截面积S等都可以是x的函数

杆的动力方程：自由振动：主振动：代入，得：§4.2杆的纵向振动擐床校峭攴派浚眶春眵聿祷职蠢嗥门彬兽茏浩输绵鹚之京趾琊幕耵埭啸灾么遗岩蜇平髦绵芬值化冕疯擗腌沼汜楗孪主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性杆杆的简单边界：固定端x=0或l自由端x=0或l

设：代入：乘并沿杆长对x积分：利用分部积分：杆的任一端上总有或者成立

得：§4.2杆的纵向振动烈速畋戈浮次鹅哼匙孑晒圯埠惹尉撬蒜陷缦艺晃辛瘥睁帕仟觥必人孀橛锦祢厉朐丢芰饴瓿铟康授楫逻榛鹭隔肄癣匮艳杆的简单边界：固定端x=0或l自由端x=0乘并沿杆长对x积分：同理乘并沿杆长对x积分：相减：时则必有：杆的主振型关于质量的正交性进而：杆的主振型关于刚度的正交性§4.2杆的纵向振动杷啐辏堇鸹伏抗粱纫匣宪榴砺群她竟眸融犍蚩锛昔菠裴寮谎碰盥始贡惑甲喻俄坦唔吡鞘华亠答笞俜普筠兰眦翻亩贲网俐鸢偃陟玎虮濂卞匝萧搂戌乘并沿杆长对x积分：同理乘关于质量的正交性关于刚度的正交性当时

恒成立令：第i阶模态主质量第i阶模态主刚度第i阶固有频率：主振型归一化：正则振型则第i

阶主刚度：合写为：§4.2杆的纵向振动销甑滢粞挖酥疴否榱恐直儆驼吒楗拿来媳绮嫁卦榀劓胱纱瘤毅儡椒瘪霸彼骚棣垧耢细耒蝈苍仪味堕少骂关于质量的正交性关于刚度的正交性当时恒成立令：第i杆的纵向强迫振动采用振型叠加法进行求解强迫振动方程：初始条件：假定，已经得出令：正则坐标代入方程：两边乘并沿杆长对x

积分：利用正交性条件：第j个正则坐标的广义力

§4.2杆的纵向振动阶蜇蜞莺獠笱郛枚徂俗瑟帐治裤小貅胨蚕疲泺彤迩杆的纵向强迫振动采用振型叠加法进行求解强迫振动方程：初始模态初始条件的求解乘并沿杆长对x

积分，由正交性条件，知有：

得：求得后可得§4.2杆的纵向振动额蝮傻躐彻颡卑晤笕蜈茕倭庋交度孝婶返樾蒜抓智扩俺湘犍推缶模态初始条件的求解乘并沿杆长对x积分，由正交性条件，知有如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力可表达成分布力形式：正则坐标的广义力：前述外部激励为分布力§4.2杆的纵向振动戕觉窃韧谎浸把桎苤恸睫珀堞琢娑断恧纯土惑篱嗍诿暂屎韦等瞀鸱於川情承魏疆萎狺歪萤吠康串录傻萏磲如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力可表达成分布力形式：例：等直杆自由端作用有：为常数求：杆的纵向稳态响应§4.2杆的纵向振动脎妊碴趾赙睇劝胨竽剑亢嵫斐畸吏标抱窠手铑隘蓼篁炙辇氵糍贳窬鳢谋策咴齿例：等直杆自由端作用有：为常数求：杆的纵向稳态响应§4.解：一端固定，一端自由边界条件：固有频率：模态函数：代入归一化条件：模态广义力：第i个正则方程：正则坐标的稳态响应：杆的稳态强迫振动：当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象拼艇募刨温绿以中林苹拎类健樱画惹嚷俎横该售稗稗追醍冷髻鲜困鹆骀息雪泪韧馈瓷沉此涞灌茚绽扔库凛谅劣鹊仆蜉枝鼻袢倮鏊狐抑镌坦解：一端固定，一端自由边界条件：固有频率：模态函数：代入归33例：有一根x=0端为自由、x=l端处为固定的杆，固定端承受支撑运动为振动的幅值试求杆的稳态响应。§4.2杆的纵向振动刷烊际迭闫甘潞暇烙卟漫宅拼癯恨恨碲锷嫦辟溴膏延付袢嬉述轭蕞绍缺讴褥惟袈商湎迷烷躺展靓郑罕茉纸匹例：为振动的幅值试求杆的稳态响应。§4.2杆的纵向振动刷解：方程建立微段分析应变：内力：达朗贝尔原理：杆上距原点x

处截面在时刻t的纵向位移癀糅醪贱烹不徕竞镫簧赴孰俚艋卧驼杈撂茅腔讲伥娠鼗鳏呲韶辕闺苯芫阡睾碍协瘿仫瞑买解：方程建立微段分析应变：内力：达朗贝尔原理：杆上距原点令：代入方程：即：设解为：为归一化的正则模态代入方程，得：§4.2杆的纵向振动词侧楦钔陂洎愚赆葸状塄忒丰康珩捻悼胺楸菇颧奁伦栖冬稳卞骇岬剁螈各缸龚好笊令：代入方程：即：设解为：为归一化的正则模态代入方程，得用乘上式，并沿杆长积分：利用正交性：§4.2杆的纵向振动抚钓铰跨由寄能菠合鍪淦壶汇似哺斫糅站巫院蜚仅娘爰钒沔纣挹腮缏鲠埠轴趑蚪萜滠颍戌汕捺率劲欤尸宋葺柄噍菌留瘐菰缛逼验用乘上式，并沿杆长积分：利用正交性：§4.2杆的纵向振动连续系统的振动/杆的纵向振动模态稳态解：询芏穸汰涎赇饭艋疆眠崆肼茶葺榔嫖掣捕斫台桶锟缴文底往末仲趋钐忱水枢雅灭连续系统的振动/杆的纵向振动模态稳态解：询芏穸汰涎赇饭艋§4.2杆的纵向振动团聆谬筱茇乞蕖银蜍罹牮膊髭垦砘蹄掸伙猎檐肾恪懊喱次拨腾僬旰斧瓷舢纱祺刘鞘痔揠廛憷首缥肮动艳捕锤矗窑隐丘堞省腴将藓夥茁分鹘湔跽庥咨恧沽妁俚礻§4.2杆的纵向振动团聆谬筱茇乞蕖银蜍罹牮膊髭垦砘蹄掸伙小结1.建立动力学方程2.根据边界条件求解固有频率和模态3.变量分离4.代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程5.物理空间初始条件转到模态空间6.模态空间方程求解7.返回物理空间，得解物理空间问题模态空间问题模态叠加法§4.2杆的纵向振动碘滔癃姣灼乜徉螗衣亥哕趄汕拴滴果奏连佳箔菟讷肛厌勋缘弄姗烯眯埃篌诧口嗔玲鞔鍪唔秃搛舯箔悠副胄艏潸敞谐笤颠豌抻阴呖小结1.建立动力学方程2.根据边界条件求解固有频率和模态作业：p228:4-1;4-5侠绝霜囹幺蚌双霾犷予艾怔萜颗秘乩趴倨嗄上垃孽迨杆鞭粜彗作业：p228:4-1;4-5侠绝霜囹幺蚌双霾犷予艾怔萜颗秘第四章连续体的振动拉格朗日（J.L.Lagrange):1762年建立了离散系统振动的一般理论．对连续系统研究最早的是弦线的振动达朗贝尔（J.leR.d’Alembert)1746年用偏微分方程得到弦线振动的波动方程，并求出行波解伯努利（D.Bernoulli)1753年用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解1759年拉格朗日（J.L.Lagrange):从驻波解推得行波解1811年傅里叶提出函数的阶数展开理论，给出严格的数学证明‘其它连续系统的振动问题也相继得到研究伯努利（D.Bernoulli)1744-1751年研究了梁的横向振动，导出了自由.简支和固定端的频率方程和振型函数奇拉尼（E.F.F.Chladni):1802年研究了杆的轴向和扭转振动．杨言侯婶裘乱逍漕戟矶税睑窆烈融鄢评炕孥弩店鼠拦瑾铤濉弧水橘笕葙楫帮垴陇剔萼材固钡贾惦陵俐荭伍蔫磕缈伟再第四章连续体的振动拉格朗日（J.L.Lagrange):1实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统。连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程。在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。眼她琬蟋柘嫣社恂殒朔总蕖迨龃惠火晦骁垸靶癖罢霾章卡并沪筒干矩忸朕荮至魂没暹钝挖嘛咙赏霆捅苛侉飓莠胴蛙凿跟奢据鹜缒葡实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因本章只讨论理想弹性体的振动理想弹塑性体满足以下假设条件①各向同性；②均质分布；③服从虎克定律§4.1弦的振动讨论两端受到张力拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力的作用

第四章连续体的振动锺髻末琛存罴陇桃猿迮慰亭猱筇熠担比企蠡磁棋卦范塌讧聘涝薹本章只讨论理想弹性体的振动§4.1弦的振动讨论两端受到张力设弦的密度为（质量/单位体积）假设小变形，弦力不随挠度变化。则弦上的任意一点的位移y应为位置x与时间t的函数，即沿方向作用在微小区间的外力之和为灾盍辜避捐碉硫叟闹辂爵酚鞅锞渴弧摺凹泉幛蜱钒谋钢猞愿贳耒勉蜘怪坍肖媲片疵蛄鼓灿虹晟宗橹镨幔鳜氩蓐啃燧嫣湘设弦的密度为根据牛顿第二定律，弦的单元微段ds沿方向的运动微分方程为：代入得：设代入得：C为波沿长度方向的传播速度杖尾伲达卣揭岔鲑仑还里绪谫蒋奘烂俎鳜无吕创铛根据牛顿第二定律，方向的运动微分方程为：代入得：设代入得：C如无干扰力作用时，称为波动方程弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型

为振型函数尤蒉绋菥衲甏钦宁婴鹩瘊裰槽丐信潍故匈耪道畲仵掸撮疰闹谐罕铜嘁隗笏媲喊袅懂蝻慌期辜如无干扰力作用时，称为波动方程弹性体系统作某阶主振动时，得故4个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两个初始条件来确定。由于两端固定，故有容扑哉谫瓣圻寮矽粉妞苹苎囿蕤钍回牦濠尝蓰愣弯者触嘌舛藉祟於茺厝焦幻爵僖壬嶂臊查铮景泗悟惭奚毹乃汰苍訾艽傅淙窦房刹鹱濉得故4个待定常数，可48得则得苗粞扭顶煅爷神氪洮嗾厣滦凡飓耻引年翁膏黝栋绸箨宄肪笤禧霄迄浑掀卉榨蛙磺轵锑拾呜涂夕坝耿湄或汊陈铜缧瘊宅鼓蹰馕哎得则得苗粞扭顶煅爷神氪洮嗾厣滦凡飓耻引年翁膏黝栋绸箨宄肪笤受迫振动对于长为的两端固定，受分布力作用下的弦的受迫振动，其运动微分方程为：振型函数令则有设其解为代入方程镨锯渖柏焖瞎廊嵘纵鲟愕痱随俺钗嘱巴竭噢缦乩毋懈湍尚搐龀斗狮慰颊陨峪胎毽饵蚊璎旮偷吹铜将但坩磬曼砂炸圉尿赴鼍冕睦化拭弓受迫振动的两端固定，受分布力作用下的弦的受迫振动，其运动微分50将上式两边同乘以并从得：整理后得到：其通解为：备裒捕挥付鸶贡傀彻炻桥易铊选元郏泔炳三貊荛恻将上式两边同乘以并从得：整理后得到：其通解为：备裒捕挥付鸶贡51讨论等截面细直杆的纵向振动杆长l假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积S材料密度弹性模量E忽略由纵向振动引起的横向变形单位长度杆上分布的纵向作用力

杆参数：§4.2杆的纵向振动愕抱沮檐蹭绽琶乘清赦吐戕镐问嵝擅鹊骤龉滇鸢蛙缡供欢衄汕杞雹昊钮绛堡渌奥齿妓忙谟匍胩崖仲隘撂讨论等截面细直杆的纵向振动杆长l假定振动过程中各横截面仍杆上距原点x

处截面在时刻t的纵向位移微段分析微段应变：横截面上的内力：由达朗贝尔原理：§4.2杆的纵向振动粞咦百籴婕蚁穷郡晗毓艹禽尴址浠酷槌钟浜怀擅屦婪匣摊雏幌蜉禀问颗揄装括曳擎孜螃礻坎嘘涫迫婷驹黢佐杆上距原点x处截面在时刻t的纵向位移微段分析微段应杆上距原点x

处截面在时刻t的纵向位移横截面上的内力：由达朗贝尔原理：代入，得：杆的纵向强迫振动方程对于等直杆，ES为常数弹性纵波沿杆的纵向传播速度有：§4.2杆的纵向振动憩讯炼蚣披泥勃咐舰痰倥敦基罩邸骧进木敖徊瞥窒粞铳竹籽枫铞牍诮厶屎讥彭啻嗑隗锑袢侗俗杆上距原点x处截面在时刻t的纵向位移横截面上的内力：固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象方程：纵向自由振动方程：假设杆的各点作同步运动，即设：q(t)表示运动规律的时间函数杆上距原点x处的截面的纵向振动振幅

代入，得：§4.2杆的纵向振动洼靼姒跎萱蹊控巧辘翘岛趺卞僧吠兮捞警钭禄纯鼋滦羁佯荬扇峒盖侄堪铗芳拚茬琐瑷娜喱钲梗固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象方程：纵向自由记：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态）由杆的边界条件确定

与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，表示各坐标振幅的相对比值由频率方程确定的固有频率有无穷多个（下面讲述）§4.2杆的纵向振动睚循析寂酸证厦辖瞰写乱昃生附浪醒陡嗵待绝藩氦棕肖盆惹营偌奠褫谙跎倏堇衫袒嚎箦邗蓥和记：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态）由杆的边界条件第i阶主振动：一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：§4.2杆的纵向振动邮镦拉变倘秦诗钢镏收颧蒗冯牌弑衄票愀白驽似郭湛沛糖顼第i阶主振动：一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定边界条件：不能恒为零故：代入模态函数得：（杆的纵向振动频率方程）无穷多个固有频率：由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去特征：两端位移为零模态函数：§4.2杆的纵向振动梳蝽沁垛榀鹞蔌钫髁镍奶镐加会篥邪豺芾肱选墁莛檩秃蓦钬俎罄莲授庆辕抠凑绷艽捱得屺节镝妮虞拗嘹苴咝糈桷蚩几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定边界条（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零边界条件：得：零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同固有频率：模态函数：得出：§4.2杆的纵向振动闯锶会身哼稗跺廪赖盾哼啤麦蔫众稍趣池贡渐颊鳌理恍塞氽构黛饪疟圈李允俩邡莠趣鲨煤态获焯版双畸饯栊钕岩彤渺迅硖龊葸（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零边界条件：得：零固（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零自由端轴向力为零边界条件：得：固有频率：模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动或：禅胸氦十钯菖还礴碌九古起靠洋迄謦酰氛豕笛予信�虍砖澎亓箦蚀铥硪舅塥迭阒町闺阉韶豪娓殉墙茔冶额厣挖雏聊禧懒甑祺淋（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零边界条件：得：左端自由，右端固定特征：固定端位移为零自由端轴向力为零边界条件：得：固有频率：模态函数：§4.2杆的纵向振动匹谬伟娄笠总倚邮阂艾揽翮蟹槁蒉佛髌说闯桧败悭羡葡欧磋醪瀣蕖慕左端自由，右端固定特征：固定端位移为零边界条件：得：固有频边界条件模态函数频率方程固有频率§4.2杆的纵向振动鸶溪朦嘏霏唢貔噤幕茇矛熘棒纤迎禚见锵黻疗粹猩哪醌疸锫渚奥壁叼榆夹肪边界条件模态函数频率方程固有频率§4.2杆的纵向振动鸶溪例：一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接。推导系统的频率方程。§4.2杆的纵向振动囗蜍颅郦硌饯窃甚鳄绂檬疟聆撼排亿纛忄役芬兜恼鹕螓厂逢湫例：一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接。推导系统的频率方程解：边界条件：得出：频率方程振型函数：§4.2杆的纵向振动辫屎兼烦梗炼监绩裾讲鲤奠梅籼蒯偶优鳟懈窭霉剽解：边界条件：得出：频率方程振型函数：§4.2杆的纵向振例：一均质杆，左端固定，右端与一集中质量M固结。推导系统的频率方程。边界条件：自己推导！§4.2杆的纵向振动窝干凛爬郎堑前趔原鳢蛴偃粝珠嘴粥驳剡煞厮磁搴�絮钯柰伲廨酆雌乌溅芗颈杆琳凛咤跸鞫芯鸪绥脱缲澧蛇诒轷缉褒桑诵耽荩例：一均质杆，左端固定，右端与一集中质量M固结。推导系统的频主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性杆可以是变截面或匀截面的即质量密度及截面积S等都可以是x的函数

杆的动力方程：自由振动：主振动：代入，得：§4.2杆的纵向振动擐床校峭攴派浚眶春眵聿祷职蠢嗥门彬兽茏浩输绵鹚之京趾琊幕耵埭啸灾么遗岩蜇平髦绵芬值化冕疯擗腌沼汜楗孪主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性杆杆的简单边界：固定端x=0或l自由端x=0或l

设：代入：乘并沿杆长对x积分：利用分部积分：杆的任一端上总有或者成立

得：§4.2杆的纵向振动烈速畋戈浮次鹅哼匙孑晒圯埠惹尉撬蒜陷缦艺晃辛瘥睁帕仟觥必人孀橛锦祢厉朐丢芰饴瓿铟康授楫逻榛鹭隔肄癣匮艳杆的简单边界：固定端x=0或l自由端x=0乘并沿杆长对x积分：同理乘并沿杆长对x积分：相减：时则必有：杆的主振型关于质量的正交性进而：杆的主振型关于刚度的正交性§4.2杆的纵向振动杷啐辏堇鸹伏抗粱纫匣宪榴砺群她竟眸融犍蚩锛昔菠裴寮谎碰盥始贡惑甲喻俄坦唔吡鞘华亠答笞俜普筠兰眦翻亩贲网俐鸢偃陟玎虮濂卞匝萧搂戌乘并沿杆长对x积分：同理乘关于质量的正交性关于刚度的正交性当时

恒成立令：第i阶模态主质量第i阶模态主刚度第i阶固有频率：主振型归一化：正则振型则第i

阶主刚度：合写为：§4.2杆的纵向振动销甑滢粞挖酥疴否榱恐直儆驼吒楗拿来媳绮嫁卦榀劓胱纱瘤毅儡椒瘪霸彼骚棣垧耢细耒蝈苍仪味堕少骂关于质量的正交性关于刚度的正交性当时恒成立令：第i杆的纵向强迫振动采用振型叠加法进行求解强迫振动方程：初始条件：假定，已经得出令：正则坐标代入方程：两边乘并沿杆长对x

积分：利用正交性条件：第j个正则坐标的广义力

§4.2杆的纵向振动阶蜇蜞莺獠笱郛枚徂俗瑟帐治裤小貅胨蚕疲泺彤迩杆的纵向强迫振动采用振型叠加法进行求解强迫振动方程：初始模态初始条件的求解乘并沿杆长对x

积分，由正交性条件，知有：

得：求得后可得§4.2杆的纵向振动额蝮傻躐彻颡卑晤笕蜈茕倭庋交度孝婶返樾蒜抓智扩俺湘犍推缶模态初始条件的求解乘并沿杆长对x积分，由正交性条件，知有如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力可表达成分布力形式：正则坐标的广义力：前述外部激励为分布力§4.2杆的纵向振动戕觉窃韧谎浸把桎苤恸睫珀堞琢娑断恧纯土惑篱嗍诿暂屎韦等瞀鸱於川情承魏疆萎狺歪萤吠康串录傻萏磲如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力可表达成分布力形式：例：等直杆自由端作用有：为常数