2024年北京市高考数学真题试卷及答案

绝密★本科目考试启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共12页，150分.考试时长120分钟..考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．M{x|4x，N{x|1x）MN（1.已知集合x4x3x1x1A.2x1x4D.zi1z（2.iA.1ii1iD.1xy2xy0的圆心到xy20的距离（32）23.A.232D.64x4.x的二项展开式中x3的系数为（）413A.156D.ab·ab05.已知向量a，b，则“”是“ab或ab”）条件．A.必要而不充分条件充分且必要条件充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件πf1（fxx01，fx1，|xx|2min6.，）212A123D.4S1dd12.1，d2n1n与27.记水的质量为dSn系为（）A.n21第1共页1nB2S1nn若S1n2；112nnS1n2；1D.若S1128.已知以边长为4442222）23A.23D.322，2,y2y2x是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（1,y9.）11y21x21y21x2log2log2log2log2A.D.22221y21y212122210.若集合x),0txx,y|yxt(x2表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，）A.d3，S1d3，S1d，S1D.dS1，第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.2y16x，则焦点坐标为________．已知抛物线ππ，且αβ的终边关于原点对称，则12.已知,的最大值为________．63x21，则过3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．y213.已知双曲线414.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为________．Mk|ka，b不为常数列且各项均不相同，下列正确的______.nb，k15.naaa，bn①②③均为等差数列，则M中最多一个元素；均为等比数列，则M中最多三个元素；nnn，bn为等差数列，b为等比数列，则M中最多三个元素；n第2共页a单调递增，b单调递减，则M中最多一个元素.n④n三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.316.在△a7，A为钝角，sin2BbB．71）求A；2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△的面积．131452①b7BcsinA3．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17.已知四棱锥P-ABCDAD1，32E是AD上一点，PEAD．1）若F是中点，证明：．2）若AB，求平面PAB与平面夹角的余弦值．18.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付赔偿次数01234在总体中抽样100单，以频率估计概率：1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；2i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X，估计X的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．x22y2221ab02的t19.已知椭圆方程：tab的直线l与椭圆交于，，，连接交椭圆于D．C1）求椭圆方程和离心率；2）若直线的斜率为0．fxx1x20.在t,f处切线为．t0t第3共页1fx1）若切线l的斜率k单调区间；2）证明：切线l不经过0；O0,0，其中t0，，切线l与y轴交于点B时．当3）已知k1，At,ft，Cft2△15S△，符合条件的A的个数为？）（参考数据：，，．对于给定有穷数列Mi,j,s,ti2,j3,4,s5,6,t7,8,2ijst21.设集合，kMi,j,s,tkkkk，定义变换T：将数列AA:a1n8:,,...,，及序列n12sTTA21i,j,s,tTA1TA1i,j,s,t111111222221A．T...TTA作，得到数列，记为sA，写出；1）给定数列A和序列:1,3,5,7,6,8,1,3,5,7aaaaaaaa4A为212345678出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；aaaaA为常数列”3A“存在序列1357aaaaaaaa”．8的充要条件为“1234567第4共页绝密★本科目考试启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共12页，150分.考试时长120分钟..考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．M{x|4x，N{x|1x）MN（1.已知集合x1x1x4x3A.2x1x4D.【答案】A【解析】【分析】直接根据并集含义即可得到答案.MN3，【详解】由题意得故选：A.zi1z（2.iA.1ii1iD.1【答案】C【解析】【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.zii11i，【详解】由题意得故选：xy2xy0的圆心到xy20的距离（）23.A.23232D.6【答案】C【解析】第5共页【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.2x6y0x12y3210，【详解】由题意得x2y21323xy2032则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为，122故选：4x4.x的二项展开式中x3的系数为（）413A.156D.【答案】B【解析】r43【分析】写出二项展开式，令，解出r然后回代入二项展开式系数即可得解.2r4r4【详解】xx的二项展开式为r1Cr4x4rxCr41xr,r2,3,4，2r43r2，令，解得26.2故所求即为C24故选：ab·ab05.已知向量a，b，则“”是“ab或ab”）条件．A.必要而不充分条件充分且必要条件【答案】A充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】abab0ab【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.ababa2b2022ab【详解】因为，可得ab，abab0ab，等价于ababab0，可知必要性成立；若ab或ab，可得abab0ab若，无法得出ab或ab，0,babab，可知充分性不成立；，满足ab且aabab0综上所述，“”是“ab且ab”的必要不充分条件.第6共页故选：A.π2f1fxx01，fx1，|xx|6.，（）212minA.123D.4【答案】B【解析】【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.fxfx为的最大值点，xx【详解】由题意可知：为的最小值点，12Tπ212Tπ，则22π且0，所以2.T故选：7.记水的质量为系为（S1dd12.1，d2n1n与2dSn）A.n211n2S1nn若S1n2；112nnS1n1D.若S12；12【答案】C【解析】S1ne2.11，讨论与的大小关系，结合指数函数单调性分析判断S1.【分析】根据题意分析可得S12e2.2S11S12dS11ne2.11【详解】由题意可得，解得，；S1d2n2e2.2S1S1S1S1若若S1S1，可得nn12e2.1e2.22.12.2S1S10，可得nn1；122.12.2第7共页S1S1S12.1e2.2S1S1，可得nn；12若e2.12.2结合选项可知C正确，错误；故选：C.8.已知以边长为4442222）23A.23D.322【答案】D【解析】，利用等体【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF积法求点到面的距离.【详解】如图，底面为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设22，AB,CDE,FPE,,，连接，分别取的中点,PE,，则E，AB，所以平面PEF，过P作EF的垂线，垂足为OPOEF，由平面，，，由题意可得：23,4222，121PEPFPEPFPOEFPO3则，可得，2EF所以四棱锥的高为3.当相对的棱长相等时，不妨设4，22，第8共页42，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.，2,y2y2x是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（1,y9.）11y21x21y21x2log2log2log2A.D.22221y21y2log2121222【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断；举例判断即可.xxy2x01y2，即，2x1x2【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以021221221221y21222xx2220，对于选项：可得122y2122121ylog2x根据函数是增函数，所以log2log22A正确，B错误；22xx1yy2对于选项：例如，12121y321ylog22log20,1log2211xC错误；22211xx2y,y对于选项D：例如，1212241y381ylog22log2331log2231xD错误，2222故选：A.10.若集合x),0txx,y|yxt(x2表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，）A.d3，S1d3，S1d，S1D.dS1，【答案】C【解析】2yxyx【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.1x2第9共页x2x2xxx0t，【详解】对任意给定xxtx2xxx2xx2xyx2，2yxyx再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，1x2A,B2,2,C2,4，如图阴影部分所示，其中d可知任意两点间距离最大值；1S△121阴影部分面积2故选：“以形助数数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.2y16x，则焦点坐标为________．已知抛物线【答案】4,0【解析】p2【分析】形如2,p0的抛物线的焦点坐标为,0，由此即可得解.y2y16x，所以其焦点坐标为0.2【详解】由题意抛物线的标准方程为故答案为：4,0.ππ，且αβ的终边关于原点对称，则12.已知,的最大值为________．631##0.5【答案】【解析】2π2kπ,kZ【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值.π2kπ,kZππcos，【详解】由题意，从而ππ6313312因为,，所以cos的取值范围是的取值范围是,,，，222π4π312当且仅当2kZ取得最大值，且最大值为.31故答案为：.2x21，则过3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．y213.已知双曲线41【答案】【解析】2【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.x25【详解】联立x3与y1，解得y2，这表明满足题意的直线斜率一定存在，42，则过点0ykx3且斜率为的直线方程为，，kk设所求直线斜率为2xy12，化简并整理得：14kx24kx36k4022224ykx322Δ24k0或2436k2414k02由题意得14k，11k或无解，即k，经检验，符合题意.221故答案为：.214.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为________．第共页2【答案】【解析】【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.2232523252π2π230hh10，【详解】设第一个圆柱的高为，第二个圆柱的高为1222652325πh1π221152hh，故，212故答案为：.Mk|ka，b不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.nb，k15.naaaa，bn①②③④均为等差数列，则M中最多一个元素；均为等比数列，则M中最多三个元素；nnnn，bn为等差数列，b为等比数列，则M中最多三个元素；n单调递增，b单调递减，则M中最多一个元素.n【答案】【解析】【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.a,b【详解】对于①，因为而两条直线至多有一个公共点，故M中至多一个元素，故①正确.n均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，nn2n1,n21,则a,b均为等比数列，nnan为偶数时，有an2n1n2n1，此时M中有无穷多个元素，n故②错误.q1abk0，，nbnn若M中至少四个元素，则关于的方程Aqnb至少有4个不同的正数解，nqq1由yAq和nyknbn的散点图可得关于的方程b至多有两个不同的解，n若矛盾；nb奇数解的个数和偶数解的个数，n若当qq1，考虑关于nnb有偶数解，此方程即为Aqb，q0方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，q0Aq,ybny单调性相反，nb至多一个偶数解，Aqnb有奇数解，此方程即为Aqnb，当方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时q0即q0q0Aq,ybny单调性相反，nb至多一个奇数解，Aqq0，q0不可能同时成立，nb不可能有4个不同的正数解，故③正确.故b为递减数列，前者散点图呈上升趋势，na对于④，因为为单调递增，n后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.316.在△a7，A为钝角，sin2BbB．71）求A；2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△的面积．131452①b7BcsinA3．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．2π【答案】（）A；3342）选择①无解；选择②和③△面积均为.【解析】）利用正弦定理即可求出答案；33（2）选择①，利用正弦定理得B，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sinB，再3代入式子得b3，再利用两角和的正弦公式即可求出C，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首53先得到c5，再利用正弦定理得到sinC，再利用两角和的正弦公式即可求出B，最后利用三14角形面积公式即可；【小问1详解】3由题意得2sinBBbB，因为A为钝角，7b2a733则B02sinBbsinB3sinAsinA，解得sinA，7272πA为钝角，则A【小问2详解】.33332π选择①b7sinBb7，因为AB为锐角，则B，3314142ABπ，不合题意，舍弃；13233B选择②，因为B为三角形内角，则sinB1，143333则代入2sinBb得2b，解得b3，772π32π2πsinCsinABsinBsinBsinB33313353,2212153153则SabsinC73.2144535csinA3c3，解得c5，选择③，则有22275ac5314则由正弦定理得3sinC，解得sinC，sinAsinC22531114C为三角形内角，则cosC1，142π32π2πsinBsinACsinCsinCsinC则33315333，22121333则△sinB752417.已知四棱锥P-ABCDAD1，32E是AD上一点，PEAD．1）若F是中点，证明：．2）若AB，求平面PAB与平面夹角的余弦值．【答案】（）证明见解析302）30【解析】1PD的中点为SSF,SC为平行四边形，由线面平行的判定定理可.得2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB和平面的法向量后可求夹角的余弦值.【小问1详解】1SF,SCSF//ED,SF1取PD的中点为S，2ED//BC,ED2BCSF//BC,SFBC，故四边形为平行四边形，而，，故.【小问2详解】21AE//BC,AE=BC，为平行四边形，故，所以故四边形PE,PADCEPE,CEED而PAD，，故建立如图所示的空间直角坐标系，A,B,C1,0,0,D2,0,P0,0,2，则则2,2,2,2,m,y,z，设平面PAB的法向量为m0y2z0m，xy2z0m0的法向量为n,,c，设平面n0ab0，nb2c0n01故,n，5630故平面PAB与平面夹角的余弦值为3018.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付赔偿次数01234在总体中抽样100单，以频率估计概率：1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；2i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X，估计X的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．1【答案】（）2）(i)0.122【解析】）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;2为赔付金额，则3，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，EX从而可求.EYⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求【小问1详解】.设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，603010800100603010101PA由题设中的统计数据可得.【小问2详解】（ⅰ）设为赔付金额，则3，800451001P0,P0.8由题设中的统计数据可得，1000100010603303P1.6)PP2.4)，，1000501010001001，10001004133130.278E00.81.62.4故51050100100EX故（万元）.410.496%0.41.20.4032ⅱ）由题设保费的变化为，55EY故（万元）x22y2221ab02tt19.已知椭圆方程：ab的直线l与椭圆交于，，，连接交椭圆于D．C1）求椭圆方程和离心率；2）若直线的斜率为0．x2y22【答案】（）e4222）t2【解析】2，进一步得，由此即可得解；a）由题意得bc:yt,t2Ax,y,Bx,y2AB，1122yy2412kt241x1,12AD:y1y1x0，即可得解.定理有121222k2【小问1详解】2由题意bc2，从而ab2c22，2x2y221，离心率为e所以椭圆方程为；422【小问2详解】B,D显然直线AB斜率存在，否则重合，直线BD斜率不存在与题意不符，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，:yt,t2Ax,y,Bx,y从而设，，112222xy1，化简并整理得12kx4ktxt40，22242yt1t284k2t0Δ16k2t282k2222k,t由题意应满足4k2t0，22412kt2412,12，22k12D2,2，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设1yxxy1AD:y2，在直线AD方程中令，x01124kt21y22y1xtxt21xtxx222yC122121t1，得1212124tt2，22t22204k4k22k应满足k应满足kk或，k02222综上所述，t2满足题意，此时kk或.22fxx1xt0处切线为．t,f20.在t1fx1）若切线l的斜率k单调区间；2）证明：切线l不经过0；O0,0，其中t0，，切线l与y轴交于点B时．当3）已知k1，At,ft，Cft2△15S△，符合条件的A的个数为？（参考数据：，，）(0)).【答案】（）单调递减区间为，单调递增区间为2）证明见解析【解析】（）2）直接代入k1，再利用导数研究其单调性即可；k1ttyft)1(xtt0)Ft)t)（2）写出切线方程，将代入再设新函数，1t利用导数研究其零点即可；t2S15S13t)2t0，再设新函数（3）分别写出面积表达式，代入得到1tt1tht)13t)tt0)研究其零点即可.【小问1详解】1xf(x)xxf(x)1(x，1x1x当fx0x，fx0；xf(x)在(0)上单调递减，在(0,)上单调递增.(0)).则f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为【小问2详解】k1xkf(x)1，切线l的斜率为1，1t(xtt0)，kyft)1则切线方程为1tk1tkft)t1,ft)t1将代入则，1tk1ttt即tkt)ttt)，t)0，1t1ttFt)t)令，1tFt)在t(0,)存在零点.l过11ttt2，F(t)在Ft)F(0)0，Ft)0)上单调递增，1tt)2t)F(t)在(0,)无零点，与假设矛盾，故直线l0).【小问3详解】1x2k1f(x)xxf(x)10.1x1x1SACOtft)ly(0,q)与轴交点B为，2q0t0时，若，则此时l与f(x)必有交点，与切线定义矛盾.q0q0，由（2.11tytt1xt，则切线l的方程为tx0yqyt)令.t1tt12S15Stft)tt)，tt1t13t)t150ht)13t)tt0)，1t满足条件的A有几个即ht)有几个零点.t132t2t11t(t2t29t4(2ttht)2，2(t2(t2(t21ththt0当，此时，此时单调递减；21当t,4htht0单调递增；2t0，此时ht单调递减；当t1h(0)hh(4)13ln520131.6200.80，21524725725h(24)13ln2548所以由零点存在性定理及ht)26ln548261.614820.540，2512ht)ht),4上必有一个零点，的单调性，在上必有一个零点，在2SACO15SABO综上所述，有两个零点，即满足的A有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.．对于给定有穷数列Mi,j,s,ti2,j3,4,s5,6,t7,8,2ijst21.设集合，kMi,j,s,tkkkk，定义变换T：将数列AA:a1n8:,,...,，及序列n12si,j,s,tTA1TA1i,j,s,t1TTA2111111222221A．T...TTA作，得到数列，记为sA，写出；1）给定数列A和序列:1,3,5,7,6,8,1,3,5,7aaaaaaaa4A为212345678出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；aaaaA为常数列”3A“存在序列1357aaaaaaaa的充要条件为“”．12345678A:4,5,8,4,3,10【答案】（）2）不存在符合条件的，理由见解析3）证明见解析【解析】）直接按照A的定义写出A即可；2）利用反证法，假设存在符合条件的，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；3）分充分性和必要性两方面论证.【小问1详解】A:4,5,8,4,3,10由题意得【小问2详解】假设存在符合条件的，可知；的第1,2Aaas3,4aas项之和为，34项之和为126212sa21则，而该方程组无解，故假设不成立，234sa443故不存在符合条件的；【小问3详解】a1n8T...TTAa1n8a，特别规定0,n我们设序列必要性：为.k21k,nn:,,...,，使得sA若存在序列为常数列.12aaas,3aas,5aas,7as,8aaas,3aaaaa，所以.ss,2s,4s,5s,6s,7s,8则ss,2s,4s,6a的定义，显然有k,2j1j4k2,....，T...TTAk,2jk1,2j1ak1,2j，这里k21aaaaaaaa所以不断使用该式就得到，充分性：，必要性得证.12345678aaaaaaaa8若.1234567aaaaaaaaaaaa，所以12345678由已知，为偶数，而1357a2a4684aaa35a也是偶数.712121A中，使得T...TTA是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列我们设saaas,3aas,5aas,7as,8最小的一个.ss,2s,4s,6ak,2jk1,2j1k1,2j，这里j1,2,3,4，k2,....上面已经证明k,2j1aaaaaaaaasas,2as,3as,4as,5as,6as,7as,8从而由.12345678ijstakk,3k,5k,7aaaa和的奇偶性保持不变，k,2k,4k,6k,8kkkkaaaaaaaa