2025年高考数学一轮复习-第七章-第一节-数列的概念-专项训练【含答案】

第七章-第一节-数列的概念-专项训练一、单项选择题1．已知数列2，5，22，…，则2A．第5项 B．第6项C．第7项 D．第8项2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2－1，则a3＝()A．－5 B．5C．7 D．83．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an+2，n为偶数，an+3，nA．18 B．16C．11 D．64．已知数列{an}满足an＋1＝11−an，若a1＝12A．－2 B．－1C．12 5．已知数列{an}满足a1＝2，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝()A．2n B．nC．n2＋1 D．n＋16．已知数列{an}为递减数列，其前n项和Sn＝－n2＋2n＋m，则实数m的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(2，＋∞) D．(－∞，2)7．已知数列{an}满足an＋1－an＝2n－11，且a1＝10，则an的最小值是()A．－15 B．－14C．－11 D．－68．已知数列{an}的各项均为正数，数列an+n2A．是递增数列 B．是递减数列C．先递增后递减 D．先递减后递增二、多项选择题9．数列{an}的首项为1，且an＋1＝2an＋1，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是()A．a3＝7B．数列{an＋1}是等比数列C．an＝2n－1D．Sn＝2n+1－n－110．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·67A．数列{an}的最小项是a1B．数列{an}的最大项是a4C．数列{an}的最大项是a5D．当n≥5时，数列{an}递减三、填空题11．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式为an＝________．12．已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝________．四、解答题13．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，从①an＝n－Sn；②bn＝an－1；③Tn＝1214．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝3n−λan2，若数列{参考答案1．C[由数列2，5，22，…的前三项2，5，8可知，数列的通项公式为an＝2+3n−12．B[因为Sn＝n2－1，所以a3＝S3－S2＝(32－1)－(22－1)＝5.故选B.]3．B[b4＝a7＝a6＋2＝(a5＋3)＋2＝a5＋5＝(a4＋2)＋5＝a4＋7＝(a3＋3)＋7＝a3＋10＝(a2＋2)＋10＝a2＋12＝(a1＋3)＋12＝1＋15＝16.故选B.]4．D[a1＝12，则a2＝11−a1＝11−12＝2，a3＝11−a2＝11−2＝－1，故{an}为周期为3的数列，因为2024＝674×3＋2，所以a2024＝a2＝2.故选D.]5．A[由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即an+1an＝n+1n，则anan−1＝nn−1，an−1an−2＝n−1n−2，an−2an−3＝又a1＝2，符合上式，所以an＝2n.故选A.]6．A[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋2n＋m－[－(n－1)2＋2(n－1)＋m]＝－2n＋3，故可知当n≥2时，{an}单调递减，故{an}为递减数列，只需满足a2<a1，即－1<1＋m⇒m>－2.故选A.]7．A[∵an＋1－an＝2n－11，∴当n≤5时，an＋1－an<0，当n>5时，an＋1－an>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6<a7<a8<…，显然an的最小值是a6.又an＋1－an＝2n－11，∴a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝10＋(－9)＋(－7)＋(－5)＋(－3)＋(－1)＝－15，即an的最小值是－15.故选A.]8．A[设an+n2n＝k(k为常数)，∴an＝k·2n∵an>0，∴k>n2n，易得k>an－an－1＝k·2n－n－k·2n-1＋n－1＝k·2n-1－1>12×21－1＝0(n≥∴an－an－1>0，数列{an}为递增数列．故选A.]9．AB[∵an＋1＝2an＋1，可得an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，B正确；an＋1＝2n，∴an＝2n－1，C错误；a3＝7，A正确；Sn＝21−2n1−2－n＝2n故选AB.]10．BCD[假设第n项为{an}的最大项，则a即n所以n≤5，n≥4，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝611．2，n=1，6n−5，n≥2，n∈N∗[当当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列{an}的通项公式为an＝2，12．1n(答案不唯一)[符合条件的数列有1n，13．证明：选①②作为条件证明③.因为an＝n－Sn，所以当n＝1时，a1＝12当n≥2时，an－1＝n－1－Sn－1，两式相减得an－an－1＝1－an，所以2an＝an－1＋1，所以2(an－1)＝an－1－1.因为bn＝an－1，所以2bn＝bn－1，即bnbn−1所以数列{bn}是首项为－12，公比为1所以Tn＝−121−选①③作为条件证明②.因为an＝n－Sn，所以当n＝1时，a1＝12当n≥2时，an－1＝n－1－Sn－1，两式相减得an－an－1＝1－an，所以2an＝an－1＋1，所以2(an－1)＝an－1－1，所以an−1a所以数列{an－1}是首项为－12，公比为1所以an－1＝－12n，所以an＝1－因为Tn＝12n－1，所以当n＝1时，b1＝T1＝－当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝12n－12因为当n＝1时也满足上式，所以bn＝－12故bn＝an－1.选②③作为条件证明①，因为Tn＝12所以当n＝1时，b1＝T1＝－12当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝12n－12因为当n＝1时也满足上式，所以bn＝－12因为bn＝an－1，所以an＝1－12所以Sn＝n－121+122+…+故an＝n－Sn.14．解：(1)∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，即nan＋1＝(n＋1)an，∴an+1∴ann＝an−