2025年高考数学一轮复习-第七章-第三节-等比数列-专项训练【含答案】

等比数列一、单项选择题1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－7，S6＝－63，则公比q＝()A．－2 B．2C．－12 D．2．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()A．12 B．24C．30 D．323．已知递增的等比数列{an}中，前3项的和为7，前3项的积为8，则a4的值为()A．2 B．4C．6 D．84．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝()A．2 B．3C．4 D．55．已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为()A．3 B．18C．54 D．1526．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝()A．120 B．85C．－85 D．－1207．音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位．一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列．八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为12002的等比数列．已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若m＝2n，则k－lA．400 B．500C．600 D．8008．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＝16，公比q＝12，则Tn取最大值时nA．3 B．6C．4或5 D．6或7二、多项选择题9．Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则()A．a＋c＝0 B．b是数列{an}的公比C．ac<0 D．{an}可能为常数列10．(2024·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且an＋1＝3an＋2n，则()A．数列{an＋2n}是等比数列B．数列anC．an＝2×3n－2n+1D．Sn＝2(3n－2n)三、填空题11．在正项等比数列an中，a3与a8是方程x2－30x＋10＝0的两个根，则lga1＋lga2＋…＋lga1012．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋a，则a＝________，数列{an2四、解答题13．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，Sn＝2＋an＋1.(1)证明：数列{Sn－2}为等比数列；(2)记数列1Sn的前n项和为Tn，证明：Tn14．已知{an}为等差数列，{bn}为公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)证明：a1＝b1；(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．参考答案1．B[法一：由等比数列的性质，得q3＝S6−S3S3法二：由题得q≠1，∵等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝－7，S6＝－63，∴S解得q＝2.故选B.]2．D[法一：设等比数列{an}的公比为q，所以a2+a3+a4a1+a2+a3＝a1+a2+a3qa1+a2+a3＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝17，所以a6＋a7＋法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3．设数列{an}的公比为q，则bn+1bn＝an+1+an+2+an+3an+an+1+an+2＝an+an+1+a3．D[由前3项的和为7，得a1＋a1q＋a1q2＝7，前3项的积为8，得a1a2a3＝a23＝8，即a则a1＝2q，代入a1＋a1q＋a1q2＝7，得2q+2q·q＋2q·q2＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得因为an所以q＝2，则a1＝2q所以a4＝1×23＝8.故选D.]4．C[∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n-1＝2n.又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴2k+11−2即2k+1(210－1)＝25(210－1)，∴2k+1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.故选C.]5．C[因为{an}为等比数列，an＋1＝2Sn＋2，所以a2＝2S1＋2＝2a1＋2，a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a1＋6，由等比数列的性质可得，a22＝a1·即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a1，所以a1＝2或a1＝－1(舍)，所以a2＝6，q＝3，则a4＝a1·q3＝2×33＝54.故选C.]6．C[法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则a11−q41−q=−5，a11−q6法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝54.当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝54时，结合S4＝－5得a11−q41−q7．C[由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为12002的等比数列，设第一个音为a1，所以an＝a1(12002)n－1，故m＝a1(12002)k－1，n＝a1(12002因为m＝2n，所以mn＝a1(12002)k−1a1(12002)l−1＝(12002)k－故选C.]8．C[an＝a1qn-1＝16×12n−1＝24×21-n＝25-故Tn＝a1a2…an＝24×23×…×25-n＝24+3+…+5-n＝2n4+5−n2因为n∈N*，所以当n＝4或5时，Tn取得最大值．故选C.]9．ABC[设等比数列{an}的公比为q.当q＝1，Sn＝na1，显然不是Sn＝a·bn＋c的形式，故不满足，D错误；当q≠1，Sn＝a11−qn1−q＝a11−q−a11−q·qn，所以c＝a11−q，a＝－a10．ABD[an＋1＋2n+1＝3an＋2n＋2n+1＝3an＋3·2n＝3(an＋2n)，又a1＋2＝4≠0，an+1+2n+1an+2n＝3，故数列{an＋2n}是以4为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n＝4×3n-1，an＝4×3n-1－2an+12n+1＋1＝3an+2n211．5[因为a3与a8是方程x2－30x＋10＝0的两个根，所以a3a8＝10，因为{an}为正项等比数列，所以a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝10，所以lga1＋lga2＋…＋lga10＝lg(a1·a2·…·a10)＝lg(a3a8)5＝lg105＝5．]12．－19n−12[设数列{an2}的前n项和为Tn，因为Sn＝3n＋a，所以Sn－1＝3n-1＋a(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2·3n-1(n≥2)，且S1＝a1＝3＋a.又数列{an}为等比数列，所以an＝2·3n-1且2＝3＋a，所以a＝－1．因为an+12an2＝an+113．证明：(1)因为Sn＝2＋an＋1＝2＋(Sn＋1－Sn)，所以2Sn＝Sn＋1＋2，所以Sn＋1－2＝2(Sn－2)，因为S1－2≠0，所以Sn－2≠0，Sn+1−2Sn−2(2)由(1)可知Sn－2＝2n-1，所以1Sn＝12+2n−1<12n−1，所以＝1−12n14．解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d，由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4，知a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝d－