2025年高考数学一轮复习-第六章-第二节-等差数列-专项训练【含答案】

第六章-第二节-等差数列-专项训练一、单项选择题1．(2023·山东济宁一模)已知等差数列{an}的前5项和S5＝35，且满足a5＝13a1，则等差数列{an}的公差为()A．－3 B．－1C．1 D．32．(2024·陕西西安模拟)已知数列2an+1为等差数列，且a1＝1，aa2024＝()A．10111012 B．－C．20192021 D．－3．(2024·江苏南通模拟)现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5L，最大的三只茶壶容积之和为2.5L，则从小到大第5只茶壶的容积为()A．0.25L B．0.5LC．1L D．1.5L4．(2023·福建莆田二模)若2a＝3，2b＝6，2c＝12，则()A．a，b，c是等差数列B．a，b，c是等比数列C．1aD．1a5．(2023·江西五市九校联考)设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a5a7＝39A．13 B．1C．2 D．36．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7>0，S7<0，则()A．a3＋a6<0 B．a5＋a8>0C．S4<S7 D．S14>3a97．数列{an}中，a1＝5，a2＝9，若数列{an＋n2}是等差数列，则{an}的最大项为()A．9 B．11C．454 8．(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块 B．3474块C．3402块 D．3339块二、多项选择题9．(2024·辽宁朝阳模拟)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝66，a2＋a4＋a6＝57，则()A．{an}的公差为－3B．{an}的通项公式为an＝31－2nC．{an}的前n项和为59n−3D．{|an|}的前50项和为256510．(2024·湖北华中师大一附中模拟)数列{an}是等差数列，S8＝10，则下列说法正确的是()A．a3＋a6为定值B．若a1＝272，则当n＝5时SnC．若d＝12，则使Sn为负值的nD．若S4＝6，则S12＝12三、填空题11．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列an的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d12．(2023·北京东城一模)已知数列{an}的各项均为正数，a2＝3a1，Sn为其前n项和．若Sn是公差为12的等差数列，则a1＝________，a四、解答题13．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知2Snn＋n＝2a(1)证明：{an}是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．14．(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝n2+nan，记Sn，Tn分别为数列{an}，{(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d参考答案1．D[由题意得S5＝5a1＋10d＝35，a5＝a1＋4d＝13a1，解得d＝3，a1＝1.故选D.]2．B[因为数列2an+1为等差数列，且a1＝1，a4＝－12，所以设该等差数列的公差为d，则3d＝4－1＝3，即d＝1，21+a所以a2024＝－101110123．B[设九只茶壶按容积从小到大依次记为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＝0.5，a7＋a8＋a9＝2.5，所以3a2＝0.5，3a8＝2.5，∴a2＋a8＝1，∴a5＝a2故选B.]4．A[因为2a＝3，2b＝6，2c＝12，所以a＝log23，b＝log26，c＝log212，则2b＝a＋c，故a，b，c是等差数列．故A正确．]5．D[∵a5a7＝399，∴S9S136．D[∵S7＝7a1+a72＝7a4<0，∴a4<0，又a7>0，∵a3＋a6＝a4＋a5，a4<0，d>0，∴a5符号不确定，则a3＋a6符号不确定，A错误．∵a5符号不确定，a8>0，∴a5＋a8符号不确定，B错误．∵S7－S4＝a5＋a6＋a7＝3a6，又a6符号不确定，∴S4，S7大小不确定，C错误．∵S14－3a9＝14a1+a142－3a9＝7(a7＋a8)－3a9＝7(2a7＋d)－3(a7＋2d)＝11a7＋d>0，∴7．B[令bn＝an＋n2，又a1＝5，a2＝9，∴b2＝a2＋4＝13，b1＝a1＋1＝6，∴数列{an＋n2}的公差为13－6＝7，则an＋n2＝6＋7(n－1)＝7n－1，∴an＝－n2＋7n－1＝－n−722＋454，又n∈N*，∴当n＝3或4时，a8．C[由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n.设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝2n9+18n2－2×n9+9n2＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为故选C.]9．ACD[等差数列{an}中，3a3＝a1＋a3＋a5＝66，3a4＝a2＋a4＋a6＝57，解得a3＝22，a4＝19，因此{an}的公差d＝a4－a3＝－3，首项a1＝a3－2d＝28，A正确；数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝31－3n，B错误；数列{an}的前n项和Sn＝na1+由an≥0，得n≤10，因此数列{|an|}的前50项和为a1＋a2＋…＋a10－a11－a12－…－a50＝2S10－S50＝2×59×10−3×10故选ACD.]10．AD[由数列{an}是等差数列，S8＝10，有8a1+a82＝10，即a1＋a8＝52，由等差数列的性质得a3＋a6＝a当a1＝272时，a8＝－11，公差d＝－72，则数列{an}是递减数列，则a4＝3，a5＝－12，故n＝4时，当d＝12时，由于a1＋a8＝52，则a1＝－12，Sn＝－12n＋令Sn<0得0<n<3，又n∈N*，故使Sn为负值的n值有2个，C错误；当S4＝6时，设{an}公差为d，即4a1＋6d＝6，结合a1＋a8＝52，即2a1＋7d＝5解得a1＝2716，d＝－18，故S12＝12a1＋1212−1故选AD.]11．2[由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3·(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2．]12．142n−14[由题意知，an>0，由a2＝3a1，得S1＝a1，S2＝a1＋a2又等差数列{Sn}的公差为1所以S2−S1＝即a1＝12，解得a1＝所以Sn＝a1+12(n－1)＝n2当n≥2时，Sn－1＝14(n－1)2＝14n2－12n得an＝Sn－Sn－1＝14n2－14n当n＝1时，a1＝12−14＝14，与题意中的所以an＝2n−1413．解：(1)证明：因为2Snn＋n＝2即2Sn＋n2＝2nan＋n①，当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)②，①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－(n－1)2＝2nan＋n－2(n－1)an－1－(n－1)，即2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1，即2(n－1)an－2(n－1)an－1＝2(n－1)，所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*，所以an(2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72＝a4·a即(a1＋6)2＝(a1＋3)·(a1＋8)，解得a1＝－12，所以Sn＝－12n＋nn−12＝12n2－252n＝所以当n＝12或n＝13时，(Sn)min＝－78.14．解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，所以an＝nd.因为bn＝n2+nan，所以bn所以S3＝3a1+a32＝3d+3d2＝6d，T3＝b1＋因为S3＋T3＝21，所以6d＋9d＝21，解得d＝3或d＝1因为d＞1，所以d＝3.所以{an}的通项公式为an＝3n.(2)因为bn＝n2+na所以2b2＝b1＋b3，即2×6a2＝所以6a1+所以a12－3a1d＋2d解得a1＝d或a1＝2d.①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝n2+nanS99