第4章测试信号的频谱分析

本章学习要求：1.掌握信号频谱的概念2.掌握频谱分析的作用与频谱求取方法3.理解信号频谱的数字计算4.了解快速傅里叶变换（FFT）的应用5.掌握随机信号的功率谱估计6.了解信号的倒频谱分析

复杂信号是由众多频率不同的谐波信号叠加而成的，各谐波的强弱比例的改变以及相位的改变，都会使信号总体特性产生变化。谐波的幅值和相位的构成被称为信号的频谱。分析信号的频谱有重要的意义，特别在振动工程、噪声、语音识别、语音合成、故障诊断等领域。信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。

时域(timedomain)分析与频域(frequencydomain)分析的关系时间幅值频率时域分析频域分析

信号频域分析是采用傅立叶（级数）变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。

8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz傅里叶变换X(t)=Asin(2πft)0t0f时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。

图例：受噪声干扰的多频率成分信号

在许多场合，用信号的频率来描述事物的特征也更简洁和明确。下表是不同音阶的时域波形和频谱，频率值的大小直观地反映了音阶的高低。

131Hz147Hz165Hz175Hz频域参数对应于设备转速、固有频率等参数，物理意义更明确。频谱图的概念

工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以fn(ωn)为横坐标，bn

、an为纵坐标画图，称为实频或虚频谱图。图例

以fn为横坐标，An、

为纵坐标画图，则称为幅值或相位谱；

以fn为横坐标，为纵坐标画图，则称为功率谱。

周期信号的频域分析：傅立叶级数非周期信号的频域分析：傅立叶变换对随机信号而言，不能直接用傅立叶积分进行频谱分析。原因是：不符合绝对可积的条件（狄里赫利条件）一般采用自相关函数或互相关函数的傅立叶变换（功率谱密度函数）。自功率谱密度函数(自谱):自相关函数的傅立叶变换互功率谱密度函数(互谱):互相关函数的FT

仿真实验：典型信号的频谱分析

白噪声信号对信号的波形干扰很大，但对信号的频谱影响很小。

谐波信号具有优异的数学性质和深厚的物理背景，通常作为基本信号之一。谐波信号在数学上是一个无起点的简谐震荡周期信号，数学表达式如下：4.1信号频谱的形式与物理意义

上式中的复指数通常称为复指数谐波，它同一个与其共轭的复指数谐波构成一个实际谐波。谐波信号(harmonicsignal)的波形总可由三个特征参数完全描述。其中频率f是一个重要参数，它描述了信号变化的快慢。也经常用到角频率w。谐波信号的重要性质包括两方面：微分不变性大部分工程实用信号都可以分解成一系列不同频率谐波的线性组合。

如何分解正是谐波分析的重要任务之一。4.1信号频谱的形式与物理意义

工程实践中有大量谐波信号。例如…

谐波信号往往对应信号源的一种单纯、谐和运动状态。

谐波成分的分布情况能很好说明信号的复杂程度，是信号传输、处理中需要了解的重要特性。

周期信号、瞬态信号、各态历经的平稳随机信号都可以通过相应的途径进行谐波分解。4.1信号频谱的形式与物理意义4.1.1周期信号的信号频谱借助于傅里叶级数(Fourierseries)，一般周期信号可利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号的线性叠加。前提是需满足Dirichlet条件（在周期内只有有限个间断点且绝对可积）。a)傅里叶级数的三角函数展开式：可变形为：式中：a0、an、bn为傅里叶系数

ω0为信号的基频

T为信号基波成分的周期

n称为谐波阶数

An为各谐波分量的幅值

Φn为各谐波分量的初相角b)傅里叶级数的复指数展开式：

按三角傅里叶级数展开式（4.1-6）或（4.1-11,12），已将x(t)分解成了一系列由序号n标记的实谐波之和。

n=0:直流分量—特殊谐波（最简单的谐波），即

n=1:基波分量-频率为f1(x(t)的基本频率）的谐波分量，即

n>1:n此谐波分量-频率为fn=nf1(基波频率的n倍）的谐波分量，即

按指数傅里叶级数展开式4.1-8，便将x(t)分解成了一系列由序号n标记的复（指数）谐波之和，则

n=0:直流分量-对于实信号x(t)，每个非直流谐波分量x+n(t)都将同一个与其共轭的复谐波x-n(t)合成一个实谐波分量。

n=1:基波分量-

n>1:n此谐波分量-将信号分解成谐波分量时，若将每个谐波分量的特征参数按序排列成图，便能形象地表达信号分解的情况。由于各个谐波分量可由其频率明确区分，故通常以谐波频率为序（不同频率对应不同谐波分量）来刻画谐波分量的幅度及相位等特征参数的分布情况，形成所谓的频谱。对应周期信号分解的四种表达形式，其频谱(spectrum)有五种不同的刻画方法：对应式4.1-11分解，用（单边）幅值谱An-f和（余弦）相位谱φn-f表示

幅频谱--以圆频率ω0（或频率f）为横坐标,幅值An为纵坐标

(amplitudespectrum)

相频谱--以圆频率ω0（或频率f）为横坐标,相位Φn为纵坐标

(phasespectrum)Anω1ω(f)ω20●●●●●●●●●●●●●ω1ω2ω3ω(f)φ(n)对应式4.1-12分解，用（单边）幅值谱An-f和（正弦）相位谱θn-f表示

对应式4.1-6分解，用余弦谱an-f和正弦谱bn-f表示。

对应式4.1-8分解，用双边幅值谱、双边相位谱，或实谱、虚谱表示。

常见单边频谱图4-5与双边频谱图4-6的关系为例1：复杂周期信号

通过求傅里叶级数，可得

例2如图所示的周期方波，以复指数展开形式求频谱，并作频谱图。

例3周期单位脉冲序列的频谱

周期单位脉冲序列函数（又称采样函数）表达式为

其频谱为：

不同形式的频谱的功效完全等价，之间有明确的对应关系（4.1-10、13、14），可任选其一。常用的频谱有图4-5、4-6两种。前者由于其描述的谐波参数有直观意义（有实际的物理意义）而受重用，后着则由于数学运算相对简单而受欢迎。三角函数展开形式的频谱是单边谱（ω从0到∞）复指数展开形式的频谱是双边谱（ω从-∞到∞）双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。

周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性。谱线间隔为：nw0=n2π/T0信号的能量主要集中在低频段选仪器时要注意频带宽度。对任意周期信号x(t)，定义其平均功率上式可表达信号x(t)的总体强弱。当x(t)分解成三角谐波分量组合时，其谐波分量的平均功率为4.1.2周期信号的功率谱当x(t)分解成指数谐波分量组合时，其谐波分量的的平均功率可定义为4.1.2周期信号的功率谱来表达其总体强弱。不难证明有下列Parserval关系：即周期信号无论分解成三角谐波之和还是指数谐波之和，其平均功率都等于所有各个谐波的平均功率之和。由此可知，各谐波分量的功率也是重要参数，可以比较直接地表达它对合成总信号的贡献。于是将谐波分量的功率按频率顺序排列，构成功率谱（单边和双边）。4.1.2周期信号的功率谱双边功率谱对称于纵轴。双边功率谱Sn与单边Gn有下列关系：对于非周期连续时间信号x(t),若满足Dirichlet条件，在数学上不难证明下列傅里叶变换关系与周期信号不同的是：1.每个谐波分量xf(t)的幅度X(f)df都是无穷小量2.各谐波分量在频率f轴上连续排列，而周期信号各谐波分量之间间隔频率f1=1/T由上式可知，它将时限信号x(t)分解成了一系列复指数谐波分量的和。4.1.3非周期信号的频谱密度虽然各谐波分量的幅度都是无穷小量，但可通过X(f)表达各自的特性：模X(f)可表达xf(t)幅度的相对大小，辐角argX(f)正是xf(t)的零时相位。可见：任意频率f附近单位频带内的谐波分量合成近似为频率f、幅度为、零时相位为argX(f)的（复）指数谐波。由此，X(f)被称为信号x(t)的（双边）频谱密度函数。相应地也分为幅度谱、相位谱、实谱、虚谱。进一步考察在任意频率f=f0附近单位频带f属于[f0-1/2,f0+1/2]内谐波分量的合成结果有4.1.3非周期信号的频谱密度非周期信号x(t)也可以分解为物理意义更加明确的实三角谐波之和。非周期信号的单边谱通常由双边谱的结果导出：4.1.3非周期信号的频谱密度实际应用中大都采用双边谱以求数学上的简便。双边幅值谱、实谱对称与纵轴，相位谱、虚谱为奇函数。对于能量有限的非周期信号，可定义能量W表示其总体强弱。考虑4.1-21可导出4.1.4非周期信号的能量谱(密度）这就是能量信号的Parserval公式。结论：时限信号的总能量等于其所有（无限小）谐波分量的能量之和。各谐波分量的能量也是无穷小量，但可定义双边能量谱密度Ex(f)表达谐波分量能量的相对大小。

Ex(f)显然是偶函数。见图4-13.4.1.4非周期信号的能量谱密度对实信号x(t)进行实三角谐波分解，有单边能量谱（密度）：不难导出双边能量谱（密度）Ex(f)与单边能量谱（密度）Nx(f)有如下关系：4.1.4非周期信号的能量谱且有：随机信号的随机性表现在：4.1.5各态历经平稳随机信号的功率谱（密度）对与测试而言，随机信号和确定信号没有本质区别，都是对某个物理量的时间历程进行的，并不在乎被测信号是否有规律。

:S1-Sn的结构及参数“完全一样”，但发出的信号不一样---每个Si在各行其是，随机发出信号。xi(t)随时间t的变化规律不受Si结构参数的控制—它在随机变化。对xi(t)的测试分析是为了了解总体X(t)的统计规律。由于实际的测试分析都只能对有限的信号且在有限的时间范围内进行，因此，只有对各态历经的平稳随机总体的样本信号进行测试、分析才是有意义的。4.1.5各态历经平稳随机信号的功率谱（密度）由于X(t)是各态历经的，可以通过单个样本信号xi(t)的测试分析，了解X(t)的统计规律（信息），因为各态历经性保证由任一样本都可以统计出总体的规律。由于X(t)是平稳的，便可通过对样本信号xi(t)在有限的时间范围内的测试分析，了解整个xi(t)的统计特性。对于各态历经平稳随机信号，可以由其任一样本xi(t)指代。

4.1.5各态历经平稳随机信号的功率谱（密度）

x(t)的平均功率是有限的，定义为：平均功率表达总体X(t)及其样本x(t)的总体强弱。如图4-15，截取样本信号x(t)的一段，构成时限信号。4.1.5各态历经平稳随机信号的功率谱（密度）可得：时限信号xT(t)可分解为式中

4.1-33代入4.1-32可得4.1.5各态历经平稳随机信号的功率谱（密度）定义：相应有：

Sx(f)df是频率为f的复指数谐波分量的平均功率。Sx(f)称为随机信号x(t)的双边功率谱（密度）函数，是表达随机信号统计规律的一个重要函数。单边功率谱密度函数Gx(f)定义为：4.1.5各态历经平稳随机信号的功率谱（密度）相应有：

Gx(f)df是随机信号x(t)中频率为f的三角谐波分量的平均功率。从x(t)的频谱中找出信号源的某些特征。如发动机，发电机。通过对输入、输出信号频谱的比较分析，辨识信号测试系统的传递特性（如频响函数frequenceresponsefunction等）。评估待测量信号的复杂程度，以便为其配置合适的测量系统。（如估计信号的有效频带）4.2频谱分析的作用与频谱求取方法4.2.1频谱分析的作用功率谱在设备诊断中的应用汽车变速箱上加速度信号的功率谱图正常异常故障频率（a）（b）向系统输入周期为T的信号x(t),系统将输出同周期的信号y(t)输入：输出：1.线性时不变系统的频响函数辨识幅频特性：相频特性：向系统输入时限信号x(t),系统将输出时限信号y(t)输入：输出：1.线性时不变系统的频响函数辨识可得：向系统输入各态历经平稳随机信号x(t),系统将输出各态历经平稳随机信号y(t)。记x(t),y(t)的双边功率谱密度为Sx(f),Sy(f),则有输出：1.线性时不变系统的频响函数辨识如果仿照Sx(f)定义y(t)与x(t)的互功率谱密度函数Syx(f),则有周期信号的有效频带估计若已知周期信号x(t)的单边功率谱，则可由频谱图分布试选有效频带下限为，上限为，将功率较大的谐波分量保留在初选的有效频带内（图4-17）。此时，内谐波分量的合成信号为

2.信号的有效频带估计计算x*(t)的平均功率：2.信号的有效频带估计计算x(t)的平均功率：验算P*/P:

如果P*/P略大于Δ（常取0.9~0.99），则可认为x(t)的有效频带为，即在工程上可由x*(t)代替x(t).

如果P*/P<Δ,则适当拓宽的范围后再验算。

如果P*/P明显大于Δ，则适当减小的范围后再试。2.信号的有效频带估计时限信号的有效频带估计求得时限信号x(t)的单边能量谱（密度）Nx(f)后，由谱图分布初步试选有效频带下限为fl,上限为fh,将能量谱密度较大的谐波分量保留在初选的有效频带内，4-18，内谐波分量合成信号为计算x*(t)的能量：计算x(t)的总能量：验算W*/W,若略大于Δ，则可认定x(t)的有效频带为，即在工程上可以由信号x*(t)代替x(t).2.信号的有效频带估计各态历经平稳随机信号的有效频带估计得到x(t)的单边功率谱（密度）Gx(f)后，由谱图分布初步试选有效频带下限为fl,上限为fh,将功率谱密度较大的谐波分量保留在初选的有效频带内，4-19.计算带内谐波分量合成信号的平均功率：验算P*/P：若略大于Δ，则可认定x(t)的有效频带为。计算x(t)的总功率：4.2.2信号频谱的求取方法在数学上就是完成相应的积分运算。对于周期信号xT(t),按4.1-9完成傅里叶级数展开FS{xT(t)}:

对于非周期信号x(t),按式（4.1-24）完成傅里叶变换F{x(t)}:求取信号频谱的方法有三种：解析法、模拟仪器分析法和数字计算法。如果信号的解析表达式已知，并且表达式不太复杂，便可用解析法完成傅里叶级数或傅里叶变换，获得所需的频谱。4.2.2信号频谱的求取方法傅里叶级数和傅里叶变换都有许多特性和现成的结果用于简化运算。有几种特殊的频谱值得关注。直流信号单位冲击信号4.2.2信号频谱的求取方法单位阶跃信号(unit-stepsignal)单边指数信号补充知识：单位脉冲函数的特性：1）乘积特性（抽样）2）积分特性（筛选）3）卷积特性频谱：均匀谱4.2.2信号频谱的求取方法需要指出的是，在广义傅里叶变换的框架下（引入奇异的单位冲击函数δ(t)),周期信号也可以进行傅里叶变换。对于周期信号其频谱密度函数为对此XT(f)实施傅里叶逆变换可验证其正确性。4.2.2信号频谱的求取方法对于未知解析表达式的实测周期和随机（电）信号，可采用专门的模拟仪器，如频谱分析仪、功率谱（密度）分析仪、互功率谱密度分析仪等获取频谱。

模拟频谱分析仪曾经是实际信号频谱分析的主要工具。随着计算机技术的发展和快速数字计算方法（如FFT等）的应用，已逐渐被成本低廉很多，但精度能达到更高要求的数字频谱分析方法（仪器）所取代。后续章节将详述之。1.什么是谐波信号，它的重要的数学性质包括哪两个方面？2.周期信号进行分解时，有哪四种表达形式，分别写出它们的数学表达式。3.什么是信号的频谱。对应周期信号的四种表达形式，其频谱的五种不同的刻画方法是什么？4.某周期信号为,试画出其单边和双边功率谱。5.双边指数衰减函数表达式如下，试求其频谱。作业：6.频谱分析的作用主要有哪几个方面？7.求取信号频谱的方法主要有哪三种？作业：傅立叶变换的性质c.对称性若x(t)←→X(f)，则X(-t)←→x(+f)a.奇偶虚实性b.线性叠加性若x1(t)←→X1(f)，x2(t)←→X2(f)

则：c1x1(t)+c2x2(t)←→c1X1(f)+c2X2(f)e.时移性若x(t)←→X(f)，则x(t±t0)←→e±j2πft0X(f)d.时间尺度改变性若x(t)←→X(f)，则x(kt)←→1/k[X(f/k)]f.频移性若x(t)←→X(f)，则x(t)e±j2πf0t←→X(f±f0)g.卷积特性

若x(t)←→X(f)，y(t)←→Y(f),则x(t)*y(t)←→X(f)Y(f)

x(t)y(t)←→X(f)*Y(f)4.3信号频谱的数字计算4.3.1香农（Shannon）采样定理采样是将采样脉冲序列p(t)与信号x(t)相乘，取离散点x(nt)的值的过程。tx（t）0tp（t）0X(0),X(1),X(2),……,X(n)

tX（t）•P(t）0tx（nt）0每周期应该有多少采样点？最少2点:tx（t）0tx（t）04.3.1香农（Shannon）采样定理

数字计算频谱前必须对信号x(t)进行采样得到x[n],能否由x[n]计算出x(t)的频谱，香农采样定理给出了有条件的肯定答案。假设以采样间隔Ts对x(t)采样，采样所得信号称为采样信号（冲激抽样信号）

其中

对上式两边取傅里叶变换，根据傅里叶变换的频域卷积定理4.3.1香农（Shannon）采样定理

4.1.1节例3结果为：

上式代入上上式：

根据δ函数的卷积特性得：理想脉冲采样过程

一个连续信号经过理想采样以后，它的频谱将沿着频率轴每隔一个采样频率ωs,重复出现一次，即其频谱产生了周期延拓，其频谱形状不变。

频域解释

当采样信号的频率低于被采样信号的最高频率时，采样所得的信号中混入了虚假的低频分量，这种现象叫做频率混叠。

使信号复原时丢失原始信号中的高频信息。

采样定理

(samplingratetheorem)

为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信号信息，信号采样频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍。这是采样的基本法则，称为采样定理。fs

＞2fc

需注意，满足采样定理，只保证不发生频率混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号x(t)。工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的3到5倍。（在预处理时信号先通过抗混滤波器）tx（t）0tx（t）04.3.2周期信号频谱的数字计算

1.理想状态下的精确结果与离散傅里叶级数（DFS）对于周期为T的周期信号x(t),设f1=1/T,Ck为x(t)的复频谱，其频谱密度函数相应为：以间隔Ts=T/N对x(t)离散采样，称为整周期采样，采样频率相应为fs=1/Ts=Nf1,得到周期为N的周期离散信号由x[n]构造冲击抽样信号

可以验证xδ(t)也是周期为T的周期信号，求它的复频谱可得式中，0-，T-表示时间0，T的左极限。记称DFS{x[n]}为对离散周期信号x[n]的离散傅里叶级数，简称DFS。已验证：x[k]是周期离散函数，周期也是N，并且有反演关系

称IDFS{X[k]}为对周期离散函数X[k]的逆离散傅里叶级数，简称IDFS。基于X[k]=DFS{x[n]},有Cδk=X[k]。于是xδ(t)的频谱密度函数相应为若x(t)为带限周期信号，非零频带为,相应有当满足采样定理时，即fs>2fh时，有

将式4.3-7和式4.3-10代入上式，有比较此式两边，并注意到fs=Nf1,便可得因为fs>2fh时，N/2>Nh,所以上式已给出了x(t)的所有非零频谱。

可见，对于周期信号x(t),如果采样间隔Ts=T/N,并且满足香农采样条件，则可以由DFS{x[n]}得到x(t)频谱的精确结果。2.频谱混叠状况下的近似计算只有在满足采样定理的条件下，在的范围内Ck=Cδk=X[k]=DFS{x[n]}。

实际上严格满足采样条件是很困难的，如果fs足够高，时Ck非常小，频谱混叠不严重，仍然可以由X[k]比较精确地逼近Ck.如果频谱混叠严重，则可以利用x[n],通过线性插值或抛物线插值构造一个逼近x(t)的连续时间信号x*(t),则x*(t)的复频谱C*k通常能较好地逼近Ck,不受频谱混叠的制约。4.3.2非周期信号频谱的数字计算

1.理想状态下的结果与离散傅里叶变换（DFT）对时限信号x(t)（t属于0，Ta)以Ts为间隔离散采样，得到延续区间为n属于[0,N-1]的有限长度离散信号x[n].由式（4.3-4）可得用计算机计算频谱时，只能计算它在有限个频率点上的离散采样值。于是，考虑以fΔ=fs/N=1/NTs=1/Ta为频率间隔，对频谱进行离散采样，得

1.理想状态下的结果与离散傅里叶变换（DFT）上式中的运算通常称为对n属于[0,N-1]有限时常信号x[n]的离散傅里叶变换，用DFT表示，结果记为X[k],即不难验证，X[k]是k的周期函数，周期为N，并可导出其中定义的IDFT称为为X[k]的离散傅里叶逆变换

1.理想状态下的结果与离散傅里叶变换（DFT）于是有假定x(t)是最高谐波频率为fh的带限信号，即如果fs>2fh,则由有

2.频谱混叠状况下的近似计算（同上节）频谱的取样间隔为时域取样长度的导数，Ta不能随意取大，因此fΔ不能随意取小。

3.栅栏效应问题于是对某些频谱变化比较剧烈的信号，fΔ会显得过宽。（如图所示）没能有效描述原信号频谱的波动规律。这种由于频率取样间隔过大而不能有效表达频谱特征的情况，称为栅栏效应。

例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。分析时应注意怎样获得准确的频谱。对于延续时间τ有限的信号，首先要使取样时段要包含信号的延续区域Ta>τ,否则会引起频谱泄露。

3.栅栏效应问题将信号延续区间以后的零值取样进去而增大Ta，而使频谱细化。（补零细化）减小栅栏效应的办法就是增加Ta长度，但加大计算负担。为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。

用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析，这个过程称信号截断。4.3.4频谱泄露与合理取样周期延拓信号与真实信号是不同的：能量泄漏

周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。

设有余弦信号x(t),用矩形窗函数w(t)与其相乘，得到截断信号:y(t)=x(t)w(t)将截断信号谱XT(ω)与原始信号谱X(ω)相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱.原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。

1.加窗取样对信号x(t)进行有限长截取相当于将其与一个在截取区间以外恒为0的窗函数w(t,tw,tc)相乘，形成另一个信号。即相应计算结果实际是此xw(t)的频谱。图4-39(a)直接截取的窗函数波形呈矩形，称为矩形窗图4-39(a)常用的窗函数(windowfunction)

1）矩形窗

矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。2）三角窗

三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣

3）汉宁窗从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。

常用窗函数

对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。

2.截尾取样对于初始变化幅度较大的有始信号，一般应采用半边窗截尾，即原样保持起始的信号波形，以尽量减小泄露效应。矩形截尾函数三角形截尾函数升余弦形截尾函数改进升余弦形截尾函数

3.补尾取样对于延续时间较长的有始信号x(t),一种有效抑制频谱泄露的取样办法是，以合适的取样长度矩形截尾，得然后根据截尾前信号的变化趋势，选择合适的函数形式，通过对截尾前一段信号的回归分析，估计出截尾点后信号变化的一个可解析求取频谱的近似表达式c(t),得到式中，X1(f)由数字计算得到，而C(f)由解析求取。从而可以得到信号的频谱为1.信号时移预处理对图4-46所示起点为t1的x(t)信号，可令y(t)=x(t+t1),使y(t)符合DFT计算频谱的要求（起点在0时刻）。由Y(f)换算出X(f).即4.3.5数字计算频谱的预处理然后，根据2.防混叠滤波处理

若x(t)所含谐波频率fh很高，直接离散采样很难满足fs>2fh的要求。在只需分析了解其低频谐波情况（低频率段频谱）时，可用低通滤波器将不需了解的高频成分滤掉，使剩余成分的最高谐波频率减小到fh*,可在满足fs>2fh*的条件下离散采样，保证得到精确的低频段频谱。这就是防混叠滤波。4.3.5数字计算频谱的预处理A/D采样前的抗混迭滤波：

物理信号对象传感器电信号放大调制电信号A/D转换数字信号展开低通滤波(0-Fs/2)放大

由4.3节可知，数字计算信号频谱时的主要工作是完成下述两种相关的运算：4.4.1FFT(fastFouriertransform)的由来

对于有限长离散信号x[n]有

对于周期离散信号x[n]有

鉴于F{}和F-1{}与DFT(DFS)和IDFT(IDFS)的上述对应关系，不妨将F{}也称为离散傅里叶变换，F-1{}也称为离散傅里叶逆变换。4.4.1FFT的由来

直接计算F{}和F-1{}都要进行N*N次复数乘法运算和N*（N-1）此复数加法运算。当N较大时，运算量巨大以致可能无法完成。4.4.1FFT的由来

FFT算法的基本思想是将N长度的DFT运算分解成几段分别进行计算，并且设法找到各段计算中的相同项，只计算一次，利用计算机的存储单元存储、调用，避免重复计算，节省计算时间，提高速度。

根据分段方式不同，FFT有各种具体算法。但通用性最强的是库利-图基的基2-FFT算法。即每次将序列按奇偶或前后分成两段，直到最后进行长度为2的DFT计算。4.6随机信号的功率谱估计如4.1.5所述，用其任一样本信号x(t)指代各态历经随机信号X(t),并且假设其均值为0.

可按式（4.1.38）定义功率谱（密度）函数式中xT(t)是由x(t)截取的时限信号。4.6.1功率谱估计方法概述也可以由自相关函数Rx(τ)定义功率谱密度函数两种定义等价，但都不能解析求取，只能数字计算。即对x(t)抽样获取x[n]再对其进行数字计算获取Sx(f)的离散抽样值。对第一个定义，有估计值4.6.1功率谱估计方法概述对于第二个定义首先也需要满足采样定理。此外，上述两个定义中的无穷极限及无穷积分都不能精确实现，因此只能获得估计值。式中，τ属于[-Γ,+Γ]是包含Rx(τ)显著段的有限区间。由于Rx(τ)也包含不能精确实现的无穷积分，只能获得其估计值。即先设法估计出信号的相关函数，进而估计功率谱密度函数，此为古典间接估计法。式4.6-4称为古典直接估计法。4.6.1功率谱估计方法概述因此式（4.6-5）只能实现为1.直接估计的估计质量与改善措施是一个矩形窗函数，其傅里叶像函数为4.6.1功率谱估计方法概述按式（4.1-33）定义的xT(t)相当于式中由式4.6-8和卷积积分的定义可导出1.直接估计的估计质量与改善措施4.6.1功率谱估计方法概述于是可得式（4.6-4）直接估计的功率谱与其精确值的关系为：相应的估计偏差为估计方差为1.直接估计的估计质量与改善措施4.6.1功率谱估计方法概述当T趋近于无穷大时，W0(f)趋近于δ函数，从而有可见，Sx(f)的直接估计SxA(f)是渐近无偏的，但不是一致性的估计。对于有限长样本的