第3章 时域分析法12-10-16

第三章

时域分析法在建立起系统数学模型之后，下一步就是对系统的控制性能进行全面的分析和计算。常用分析方法:时域分析法，根轨迹法和频率法。时域分析法是最基础、最常用的方法。第一节典型控制过程及性能指标系统的响应

取决于：其参数结构,外作用,初始条件。为了描述系统的内部特征，分析和比较系统性能的优劣，通常对外作用和初始条件做一些典型化处理。处理的原则是：接近实际，简单。第一节典型控制过程及性能指标一、典型初始状态

零初始状态：

系统的输出及其各阶导数在初始时刻均为零。初始时刻可以设定，所以该约束并不苛刻。二、典型外作用（信号）1．单位阶跃如：指令的突然转换,开关闭合,负荷突变。2．单位斜坡

如：主拖动系统发出的位置信号,数控机床加工斜面时的给进指令。3．单位脉冲

如：脉动电压、冲击力。4．正弦

如：海浪、噪声、伺服震动台。一般的，所有外作用都可近似成典型外作用或典型外作用的集合。第一节典型控制过程及性能指标三、典型时间响应初始状态为零的系统，在典型外作用下的输出。

1．单位阶跃响应：单位阶跃输入信号

2．单位斜坡响应：单位斜坡输入信号

3．单位脉冲响应：单位脉冲输入信号

三种响应之间的关系

第一节典型控制过程及性能指标第一节典型控制过程及性能指标四、阶跃响应的性能指标跟踪和复现阶跃作用对系统来说是较为严格的工作条件，通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义时域性能指标。2．峰值时间

超过稳态值而达到第一个峰值所需的时间。阶跃响应的性能指标1.上升时间

从0上升到稳态值

所需的时间（有超调）。4．调节时间(过渡过程时间)

达到并不再超出误差

带的最小时间。阶跃响应的性能指标3．超调量

5．稳态误差稳态误差

反映系统的最终控制精度。超调量反映系统的平稳性。

调节时间

表征系统过渡过程持续的时间，总体上反映了系统的快速性。

阶跃响应的性能指标上升时间

和峰值时间

表征系统响应初始阶段的快慢；第二节一阶系统分析一阶系统的微分方程：

2.一阶系统的传递函数：其中T为时间常数,表征系统的惯性，尽管物理意义不同，但总具有“秒”的量纲。一、一阶系统的单位阶跃响应

T是表征响应特性的唯一参数。关于时间常数T用实验方法鉴别和确定被测系统是否为一阶系统。时间常数的倒数=响应曲线的初始斜率。调节时间:（对应5%误差带）

（对应2%误差带）

T越小→ts越小→快速性越好。一阶系统的性能指标稳态误差:一阶系统在单位阶跃输入下的稳态误差为0。二、一阶系统的单位斜坡响应

注：一阶系统在单位斜坡输入下的稳态误差为T。它只能通过减小时间常数

T

来减小，而不能最终消除。稳态误差:三、一阶系统的单位脉冲响应结论：T越小→响应的持续时间越短→快速性越好。四、三种响应之间的关系

说明：系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。其中:——自然频率,——阻尼比。第三节二阶系统分析微分方程：

特征方程：

传递函数：第三节二阶系统分析特征根：

为不等负实根（过阻尼）

为重根（临界阻尼）

为共轭复根（欠阻尼)

一、二阶系统的单位阶跃响应1．

（过阻尼）

不等负实根,特征方程可写成:其中:且可看成是两个时间常数不等的惯性环节的串联.过阻尼二阶系统的单位阶跃响应过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振荡的,又不同于一阶系统(两个惯性环节串联).系统的一个负实根()比另一个()大4倍以上,等效为一个一阶系统.当

时,当

时,当时,过阻尼二阶系统的性能指标,,无意义,表达式太繁,近似式为:欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼二阶系统的性能指标欠阻尼二阶系统的性能指标解出即为.(第一次峰值)2.峰值时间

由定义,令:

欠阻尼二阶系统的性能指标对

求导并令其为0:

欠阻尼二阶系统的性能指标

经整理得:

即:

欠阻尼二阶系统的性能指标第一次峰值:n=1所以:tp=π/wd

峰值时间定性分析

wn↗→wd=wn(1-ξ2)1/2↗→tp↘ζ↘→wd=wn(1-ξ2)1/2↗→tp↘

峰值时间越小,快速性越好.

欠阻尼二阶系统的性能指标3.超调量σ%

由h(t)求出h(tp)和h(∞),代入定义式即得.欠阻尼二阶系统的性能指标欠阻尼二阶系统的性能指标超调量σ%的定性分析σ%由ξ

唯一确定。

ξ

=0σ%=100%等幅振荡（无阻尼）

0<ξ

<1欠阻尼（有超调）

ξ

=0.707(最佳阻尼比)σ%=4.6%

ξ

=1（临界阻尼）σ%=0(无超调)欠阻尼二阶系统的性能指标4．调节时间tS

tS

定义:∣h(t)-h(∞)∣≤△h（∞）；t≥tS

其中：△=5%(或△=2%)

由此定义可推导出调节时间的计算公式.欠阻尼二阶系统的性能指标欠阻尼二阶系统的性能指标若：△=2%则：tS=ln[0.02（1-ξ2)1/2]-1/ξwn

≈4/ξwn定性分析:ξ,wn越大,调节时间越小,快速性越好。若：△=5%则：tS=ln[0.05（1-ξ2)1/2]-1/ξwn

≈3/ξwn稳态误差与参数

无关，等于0。欠阻尼二阶系统的性能指标5．稳态误差

二.二阶系统的单位脉冲响应欠阻尼：无阻尼：二.二阶系统的单位脉冲响应临界阻尼：过阻尼：二.二阶系统的单位脉冲响应主要讨论欠阻尼系统1.最大值时间

令：得：二.二阶系统的单位脉冲响应2.单位阶跃响应超调量:

∵σ%=[h(tp)–h(∞)]×100%/h(∞)=h(tp)–1

∴

σ%+1=h(tp)

又单位阶跃响应是单位脉冲响应的积分．所以：由t=0到

t=tp间（或k(t)为零对应的时间）,单位脉冲响应曲线与横轴所包围的面积等于1+σ%.

即:三．二阶系统的单位斜坡响应只讨论欠阻尼情况

三．二阶系统的单位斜坡响应

ξ↘→eSS↘，但ξ↘会使σ%↗，平稳性变差。

eSS(稳态精度)与σ%(平稳性)矛盾。稳态误差:只能减小，不能消除。四、改善二阶系统响应特性的措施1．误差信号的比例-微分控制（PD控制）

四、改善二阶系统响应特性的措施

特征方程s的一次项系数：

等效阻尼比：

阻尼比变大，σ%下降，平稳性变好；稳态时微分项不起作用,ess不受影响。解决了eSS（稳态精度）与σ%（平稳性）的矛盾。四、改善二阶系统响应特性的措施比例微分控制可由RC网络或运算放大器来近似实现

四、改善二阶系统响应特性的措施2．输出量的速度反馈控制

四、改善二阶系统响应特性的措施

wn2

G(s)=——————————

s2+(2ξwn+Ktwn2)s+wn2

特征方程s的一次项系数：2ξwn+Ktwn2

等效阻尼比：ξt=ξ+KtWn/2＞ξ

阻尼比变大，σ%下降，平稳性变好

Kts同样对稳态量eSS

不起作用解决了eSS(稳态精度）与σ%（平稳性）的矛盾。第四节高阶系统分析

一.三阶系统的单位阶跃响应----闭环负实数极点当时，三阶系统的单位阶跃响应其中:A=f(b),B=g(b),C=h(b)

b＜

b随着实数极点向虚轴方向移动(b值下降),超调量下降,上升时间和调节时间加长.b≤1,三阶系统呈明显的过阻尼特性．二．高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应由一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成.如所有闭环极点(s0和

)都具有负实部,则所有指数项和阻尼正弦(余弦)项均趋于0.闭环极点负实部的绝对值越大,对应的响应分量衰减越快,对动态过程的影响越小.h(t)不仅与闭环极点有关,也与闭环零点有关(系数A,B,D).三.闭环主导极点闭环主导极点：离虚轴最近的,对系统性能起主要作用的闭环极点。闭环非主导极点：实部与闭环主导极点相差6(3)倍以上的闭环极点。高阶系统通过主导极点近似成二阶(或一阶)系统.应用主导极点的概念可以导出高阶系统单位阶跃响应的近似表达式.闭环主导极点设:单位反馈高阶系统具有一对共轭复数闭环主导极点则可得高阶系统单位阶跃响应的近似表达式为:其中:D(s)-----特征方程1.峰值时间几点结论:⑴.闭环零点的作用是减小峰值时间,越接近虚轴,作用越明显.⑵.闭环非主导极点的作用是增大峰值时间.⑶.若闭环零点和极点彼此接近,则它们的影响相互抵消.⑷.若系统不存在闭环零点和闭环非主导极点,则:

四.高阶系统的动态性能估算高阶系统的动态性能估算2.超调量

σ%=PQe-σtp100%其中:nn

P=∏│si│/∏│s1-si│闭环非主导极点影响修正系数

i=3i=3

mm

Q=∏│s1-zi│/∏│zi│闭环零点影响修正系数

i=1i=1高阶系统的动态性能估算σ%=PQe-σtp×100%几点结论：⑴.闭环零点靠近虚轴,Q增大,σ%增大,减小阻尼.⑵.闭环非主导极点靠近虚轴,P减小,σ%减小,增大阻尼.⑶.不存在闭环零点和闭环非主导极点,则有:P=Q=1,高阶系统的动态性能估算

3.调节时间其中:

几点结论：⑴.闭环零点距靠近虚轴,Q增大,调节时间长.⑵.闭环非主导极点靠近虚轴,F减小,调节时间短.

第五节应用计算机求取系统的响应

控制系统计算机辅助设计:

利用计算机帮助设计人员应用控制理论设计控制系统。用计算机进行数字仿真:控制系统计算机辅助设计的一种手段。数字仿真:

根据性能相似原理构成系统的仿真模型，然后用计算机求取系统响应（解微分方程），检验设计结果是否满足给定的性能指标。

连续系统数字仿真常用算法1．常微分方程的解析算法虽精确，但程序繁琐，计算费时。2．常微分方程的数值积分算法主要讨论。3．离散相似法（又称状态转移矩阵法）适应于非线性系统。数值积分法解常微分方程的基本思路

用一阶微分方程组（即状态方程）表示系统的高阶微分方程，将时间离散化，使其成为一系列相等（也可以不相等）的时间间隔，在已知前一时刻的状态向量值的情况下，按照给定的步长，估算下一时刻的状态向量值。合理选择数值计算方法应考虑1．所要求的准确度——它依赖于积分每一步所引起的截断误差和舍入误差及其以后的传播。2．每一步估计误差的容易程度。3．完成计算的速度。4．编制程序的容易程度。欧拉法

xn+1=xn+hf(xn,tn)其中:f(x,t)=dx/dt，h=t1-t0

(步长)特点:简单,粗糙,误差积累.截断误差:1、欧拉法公式就是精确解(泰勒公式)截去第三项及其以后各项而得到的近似公式。这样引起的误差称为截断误差。

欧拉法的截断误差可以表示为o(h2)。2、当某一数值方法的截断误差等于(hp+1)时，即称其具有p阶精度。所以欧拉法为一阶精度。预报-校正法

xn+1=xn+h[f(xn,tn)+f(x(1)n+1,tn+1)]/2，

其中:x(1)n+1=xn+hf(xn,tn).

例：

x2=x1+h×f(x1,t1)/2+h×f(x(1)2,t2)/2，

改进了的欧拉法.

提高了准确度.

截断误差:o(h3)龙格-库塔法xn+1=xn+h[(k1+2k2+2k3+k4]/6

其中:k1=f(xn,tn)k2=f(xn+hk1/2,tn+h/2)k3=f(xn+k2/2,tn+h/2)k4=f(xn+k3,tn+h)第四节稳定性与代数判据一、稳定概念如系统受扰，偏离原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，否则称系统是不稳定的。

稳定性是系统的一种固有特性（去掉扰动后自身的一种恢复能力），只取决于系统的结构参数，与初始条件及外作用无关。二、稳定的数学条件及定义系统的微分方程：

拉氏变换后：

(a0sn+…+an)C(s)=(b0sm+…+bm)R(s)+M0(s)其中：M0(s)——与初始条件有关的多项式

D(s)=a0sn+…+anD(s)=0特征方程

M(s)=b0sm+…+bm二、稳定的数学条件及定义C(s)=M(s)R(s)/D(s)+M0(s)/D(s)假定:D(s)=0有n个互异的特征根si,

即

D(s)=a0П(s-si)假定:R(s)有L个互异的极点srj（j=1，2，…，L）

(如特征方程有重根，不影响结论)则：

C(s)=ΣAi0/(s-si)+ΣBj/(s-srj)+ΣCi/(s-si)

结构参数输入初始条件二、稳定的数学条件及定义C(t)=ΣAi0esit+ΣBjesrjt+ΣCiesit其中：ΣBjesrjt取决于输入，是一稳态分量；

ΣAi0esit和Σciesit取决特征根(由系统的结构参数确定)，是瞬态分量。瞬态分量衰减为0→系统稳定。（去掉扰动后自身的一种恢复能力）稳定性定义：二、稳定的数学条件及定义

稳定性的充分必要条件：为系统特征方程的所有根都具有负实部。

注：判别系统是否稳定，可归结为判别特征根实部的符号:

Re[si]＜0，（si在左半S平面）——稳定；Re[si]=0，(si在虚轴上）——临界稳定；Re[si]＞0，（si在右半S平面）——不稳定。三、稳定判据（Routh判据）

系统稳定的充分必要条件:Routh表中第一列系数全部大于零；否则系统不稳定，且该列中数值符号改变的次数等于系统特征方程正实根的数目。

系统的特征方程：

a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0.

三、稳定判据（Routh判据）Routh表：sna0a2a4…sn-1a1a3a5

…sn-2c13=(a1a2-a0a3)/a1c23=(a1a4-a0a5)/a1…sn-3c14=(a3c13-a1c23)/c13c24=(a5c13-a1c33)/c13…∶s1c1ns0c1(n+1)=an

三、稳定判据（Routh判据）例：单位负反馈系统的开环传递函数为：

GK(s)=K/[s(0.1s+1)(0.25s+1)]1．试求增益K的稳定域。

2．欲使特征根全部位于垂线s=-1之左侧（稳定度a=1），问K的允许调整范围是多少？三、稳定判据（Routh判据）解：1.GB(s)=GK(s)/[1+GK(s)]=K/[s(0.1s+1)(0.25s+1)+K

特征方程：s(0.1s+1)(0.25s+1)+K=0

0.025s3+0.35s2+s+K=0Routh表：

s30.025

1

s20.35

K

s1(0.35-0.025K)/0.35

0

s0K

系统稳定的条件:K＞0，且0.35-0.025K＞0即K＜14

因而K的稳定域为:0＜K＜14。三、稳定判据（Routh判据）2.取s=s1-1代入特征方程

0.025(s1-1)3-0.35(s1-1)2+(s1-1)+K=0

整理得：s13+11s12+15s1+(40K-27)=0Routh表:

s3

1

15

s2

11

40K-27

s1[11×15-(40K-27)]/11

0

s040K-27

系统稳定的条件：11×15-(40K-27)＞0即K＜4.8

40K-27＞0即K＞0.675

当特征根全部位于垂线S=-1之左侧（稳定度a=1）时，K的允许调整的

范围是0.675＜K＜4.8。对Routh表中出现的特殊情况的处理1．Routh表的任意一行，第一个元素为0，其余元素不为0或部分为0时用一个很小的正数ε代替这个0。对Routh表中出现的特殊情况的处理例：s4+3s3+s2+3s+1=0

s4111

s3330

s2ε10

s1(3ε-3)/ε00

s01ε很小，3-3/ε＜0,系统不稳定。且有两个特征根在右半S平面（Routh表第一列系数数值符号改变二次）。对Routh表中出现的特殊情况的处理2.Routh表中出现全0行时用全0行上一行的元素构成一辅助方程，再对其求导得到新方程，用新方程的系数代替全0行。对Routh表中出现的特殊情况的处理例：s6+s5–2s4–3s3–7s2–4s–4=0

s61-2-7-4

s51-3-4

s41-3-4辅助方程：s4–3s2–4=0

s30(4)

0(-6)

0(0)

求导：4s3–6s=0

s2-3/2-40

s1-16.70

s0-4

系统不稳定。且具有一个正实部根。四、结构不稳定及其改进措施仅调整参数仍无法稳定的系统称为结构不稳定系统。例：液位控制系统

KpKmKlKa

Gk(s)=————

s2(Tms+1)

传递函数：

G(s)=H(s)/Ho(s)

=K/(Tms3+s2+K)

四、结构不稳定及其改进措施特征方程：Tms3+s2+K=0s3Tm

0

s21

K

s1-TmK

0

s0K无论怎样改变参数，只要Tm＞0，K＞0，系统就不稳定。即为结构不稳定系统。欲使系统稳定，必须改变结构。造成结构不稳定的原因:特征方程缺项——前向通路有两个积分环节.消除结构不稳定的措施改变积分性质或引入比例微分控制。1．改变积分性质A．用KH包围积分环节

X2(s)/X1(s)=Ka/(s+KaKH)

包围受控对象(积分环节)，使之变成惯性环节。液位控制系统的特征方程变为：

Tms3+（1+TmKaKH）s2+KaKHs+K=0没有缺项消除结构不稳定的措施B．用反馈KH包围电动机的传递函数

X2(s)/X1(s)=Km/[(Tms+1)+KmKH]

破坏了原电动机传递函数中的积分性质。

积分性质的破坏，改善了系统的稳定性，但会使系统的稳态精度下降。消除结构不稳定的措施2．引入比例微分控制

G(s)=H(s)/Ho(s)

=K(τs+1)/[s2(Tms+1)+K(τs+1)]

液位控制系统的特征方程变为：

Tms3+s2+Kτs+K=0

消灭了缺项,只要适当匹配参数,即可使系统稳定.第五节稳态误差分析第五节稳态误差分析控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量,通常称为稳态性能。系统的稳态误差与系统本身的结构、参数以及外作用的形式密切相关。注意：只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义；对于不稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。把在阶跃函数作用下没有稳态误差的系统，称为无差系统；而把具有稳态误差的系统，称为有差系统。系统误差e(t)

=期望值-实际值

两种定义：

1．从输出端：e(t)=r(t)-c(t)2．从输入端：e(t)=r(t)-b(t)对单位负反馈系统[H(s)=1]，两种定义是统一的。

稳态误差：误差信号在时间趋于无穷大时的数值定义，记为一、误差及稳态误差的定义cc二、稳态误差的计算二、稳态误差的计算

ess=limsE(s)(拉氏变换的终值定理)

s→0例：系统结构如图,其中K1,K2均大于零

当输入r(t)=I(t)，干扰n(t)=I(t)时，求系统总的稳态误差。稳态误差的计算举例解：

1．判别稳定性

特征方程：两个传递函数，两个特征方程都是:s+K1K2=0∵特征根：s1=-K1K2﹤0∴系统稳定。稳态误差的计算举例2．求r(t)作用下的ER(s)[n(t)=0]

ER(s)=R(s)-C(s)

=R(s)–GR(s)R(s)

=R(s)[1-K1K2/s/(1+K1K2/s)]

R(S)=1/s

=1/(s+K1K2)3．求n(t)作用下的En(s)[r(t)=0]

En(s)=R(s)–C(s)

=0–GN(s)N(s)

=[-K2/s/(1+K1K2/s)]N(s)

=-K2/[s(s+K1K2)]稳态误差的计算举例4．求E(s)

由叠加原理

E(s)=Er(s)+En(s)

=1/(s+K1K2)-K2/[s(s+K1K2)]5．求ess

三、输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结构的关系系统的开环传递函数可写成典型环节串联的形式：

式中：K——开环增益,v——积分环节数E(s)=GER(s)R(s)

=R(s)/[1+GK(s)]系统的稳态误差ess：1.与外作用R(s)有关外；2.还与系统的开环增益K

；3.与积分环节数v

有关。

输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结构（型别）的关系1．阶跃输入：

若v=0，则

ess=R/(1+K)

若v≥1，则

ess=0

在阶跃输入下，系统消除稳态误差的条件是v≥1，即在开环传递函数中至少要有一个积分环节。输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结构的关系2．斜坡输入

当v=0，ess=∞

当v=1，ess=R/K

当v≥2，ess=0

在斜坡输入下，系统消除稳态误差的条件是v≥2。即在开环传递函数中至少要有二个积分环节。输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结构的关系3．等加速度输入

v≤1ess=∞v=2ess=R/Kv≥3ess=0

在等加速度输入下，系统消除稳态误差的条件是v≥3。即在开环传递函数中至少要有三个积分环节。输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结构的关系

提高系统的稳态精度（减小ess）要求增加积分环节数，但这与系统的稳定性将产生矛盾。四、系统的型别和静态误差系数1．系统的型别

式中：K——开环增益,v——积分环节数v反应了系统的型别。

v=0的系统

称为0型系统，

对阶跃输入的ess为常值,

对斜坡和等加速度输入的ess为∞。系统的型别和静态误差系数v=1的系统称为I型系统.对阶跃输入的ess为0,对斜坡输入的ess为常值,对等加速度输入的ess为∞；v=2的系统称为Ⅱ型系统对阶跃和斜坡输入的ess为0,对等加速度输入的ess为常数.依次类推。系统的型别越高，跟踪典型输入信号的无差能力越强。系统的型别和静态误差系数2．静态误差系数A．静态位置误差系数Kp反应系统在阶跃输入下的稳态精度。

0型系统（v=0）:KP=K

I型及以上系统（v≥1）:KP=∞

KP反映了系统跟踪阶跃信号的能力。KP越大，ess

越小。系统的型别和静态误差系数B．静态速度误差系数Kv

表示系统在斜坡输入下的稳态精度。

0型系统（v=0）：Kv=0

;I型系统（v=1）：Kv=KⅡ型及以上系统（v≥2）：Kv=∞

稳态误差

Kv

反映了系统跟踪斜坡信号的能力。Kv越大，ess

越小。

Kv虽然称为速度误差系数，但得出的ess

并不是速度的误差，而是系统在跟踪等速信号时出现的位置上的误差。系统的型别和静态误差系数C．静态加速度误差系数Ka表示系统在等加速度输入下的稳态精度.

0型，I型系统（v≤1）：Ka=0Ⅱ型系统（v=2）：Ka=KⅢ型及以上系统（v≥3）：Ka=∞

稳态误差：

Ka

反映了系统跟踪等加速度输入信号的能力。Ka越大，ess越小。

Ka

虽然称为加速度误差系数，但得出的ess并不是加速度的误差，而是系统在跟踪等加速信号时出现的位置上的误差。系统的型别和静态误差系数误差系数Kp,Kv,Ka与系统的型别一样，均是从系统本身的结构特征上体现了系统消除稳态误差的能力，反映了系统跟踪典型输入信号的能力。不同输入信号作用下系统类型