2025年高考数学一轮复习-8.1直线的方程-专项训练【含答案】

8.1直线的方程-专项训练一、单项选择题1．过点(1，2)且直线的方向向量为(－1，2)的直线方程为()A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝02．已知A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，且A，B，C三点共线，则m＝()A．32 B．2C．－32 D．－3．过点A(－1，1)的直线l的倾斜角是直线l1：3x－y＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程是()A．3x－y＋3＋1＝0B．3x＋y＋3－1＝0C．3x－3y＋3＋3＝0D．3x＋3y＋3－3＝04．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是()A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝05．已知直线l1：3x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角为60°，则实数k的值为()A．3 B．－3C．3或0 D．－2或－36．如图，在矩形ABCD中，|BC|＝3|AB|，直线AC的斜率为33，则直线BCA．3 B．3C．233 7．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为()A．k≥2或k≤34 B．k≥34或k≤C．－4≤k≤34 D．34≤k8．若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4二、多项选择题9．已知直线l：x＝my＋1，则()A．直线l恒过定点(1，0)B．直线l的斜率必定存在C．m＝3时，直线l的倾斜角为60°D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为110．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为()A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0三、填空题11．对于任意实数λ，直线x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒过定点A，且点B(1，0)，则直线AB的一个方向向量为________．12．已知点M是直线l：y＝3x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________．13．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84m，|OA1|＝78m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索所在直线的斜率为()A．±13 B．±1C．±4239 D．±14．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．25 B．32C．3 D．615．已知直线l的倾斜角为α，sinα＝35，且这条直线l经过点P(3，5)，则直线l16．直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和________参考答案1．A[由题意可知直线的斜率k＝－2，由点斜式方程得，所求直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A.]2．A[由A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，可得AB＝(－m，1)，BC＝(3，－2)，因为A，B，C三点共线，所以AB∥BC，即(－m)×(－2)－1×3＝0，解得m＝323．B[因为k1＝tanα＝3，所以α＝60°，所以k＝tan120°＝－3，所以直线l的方程是y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3－1＝0.故选B.]4．A[易知A(－1，0)．∵|PA|＝|PB|，∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，∴B(5，0)．∵PA，PB关于直线x＝2对称，∴kPB＝－1．∴lPB：y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0.故选A.]5．C[因为l1：3x＋y＝0的斜率为k＝－3，所以其倾斜角为120°.直线l2：kx－y＋1＝0恒过点(0，1)，如图，若直线l1与直线l2的夹角为60°，则l2的倾斜角为60°或0°，所以k＝3或k＝0.故选C.]6．A[由题意，在Rt△BCD中，∠BCD＝π2，|BC|＝3|AB|＝3|CD∴tan∠CBD＝33，∴∠CBD＝π6，∴直线BC的倾斜角为π3，故kBC＝tanπ7．A[已知点A(2，3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，直线l：kx－y－k＋1＝0，即直线l：k(x－1)－y＋1＝0，它经过定点M(1，1)，所以直线MA的斜率为3−12−1＝2，直线MB的斜率为−2−1−3−1＝则直线l的斜率k的取值范围为k≥2或k≤348．D[因为直线ax＋by＝ab过点(1，1)，所以a＋b＝ab，又因为a＞0，b＞0，所以1b所以直线xb+ya＝1在b＋a＝(b＋a)1b+1a＝2＋ab+ba≥2＋2ab所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4.故选D.]9．AD[由直线方程知，直线恒过定点(1，0)，A正确；当m＝0时，直线斜率不存在，B错误；m＝3时，直线l：y＝33(x则直线l的斜率为33m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则直线l与x轴、y轴的交点分别为(1，0)，0，−1故选AD.]10．ABC[当直线经过原点时，斜率为k＝2−01−0所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝a，把点A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0，x＋y－3＝0.故选ABC.]11．(－1，－1)(答案不唯一)[由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得x+y−3=0，x−2y=0，解得x=2又B(1，0)，则AB＝(－1，－1)．即直线AB的一个方向向量为(－1，－1)．]12．x＝－3或y＝33(x＋3)[在y＝3x＋3中，令y＝0，得x＝－3，即M(－3，0)．因为直线l的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－3；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan30°＝33，故其方程为y＝33(x13．B[由题意可知，{OPi}，{OBi}(i＝1，2，3，…，10)分别是公差为4和18的等差数列，则|OP10|＝|OP1|＋9×4＝84＋9×4＝120，|OB10|＝|OB1|＋9×18＝78＋9×18＝240，故kB10P10＝120−00+240＝1所以最长拉索所在直线的斜率为±1214．D[由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1，0)，动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令x−2=0，3−y=0，可得B(2，3)，又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因为PA2+PB22≥PA+PB2215．3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0[因为sinα＝35，所以cosα＝±1−sin2α＝±45，所以直线l的斜率为k＝tanα＝±34，又因为直线l经过点P(3，5)，所以直线l的方程为y－5＝34(x－3)或y－5＝－34(x－3)，所以直线l的一般式方程为3x－416．−1±52或－2或－43(任选2个即可)[令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tanα＝2，tanθ当围成的等腰三角