2025年高考数学一轮复习-9.2-两直线的位置关系-专项训练【含解析】

9.2-两直线的位置关系-专项训练【原卷版】基础巩固练1.（改编）若直线a，b的斜率分别为方程3x2−5x−A.0∘ B.30∘ C.45∘2.已知直线4x+my−6=0与直线A.7 B.9 C.11 D.−3.平行直线x+2ay−A.0 B.32 C.3 D.4.已知直线l1：ax+a+2y+A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.（改编）已知直线l1：3x+y−1=0，若直线A.6+24 B.6−246.[2024·云南联考]当点M2,−3到直线4mA.2 B.47 C.−2 7.已知点1,−1关于直线l1：y=x的对称点为A，若直线l2经过点A.2x+3y+5=0 B.3x8.(2024·九省适应性测试)已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足QP=(1,-3),记P的轨迹为E,则().A.E是一个半径为5的圆B.E是一条与l相交的直线C.E上的点到l的距离均为5D.E是两条平行直线综合提升练9.（多选题）对于直线l1：axA.“l1//l2”的充要条件是“a=3C.直线l1一定经过点M3,0 D.点10.[2024·台州模拟]（多选题）已知直线l1：xA.l1在x轴上的截距为−1 B.l2C.若l1//l2，则a=−1或11.[2024·嘉兴模拟]已知直线l与直线l1：2x−y+2=0和l2：x12.[2024·宁波模拟]（双空题）已知A−3,0，B3,0及直线l1：x−y+1=0，l2应用情境练13.如图，射线OA，OB所在直线的方向向量分别为d1=1,k，d2=1,−kk>0（1）若k=1，P(32（2）若P2,1，△OMP的面积是创新拓展练14.（双空题）已知直线l1：2x−y+a=0，l2：4x−2y−1=0，l3：x+y−1=0，且原点到直线l1的距离是355，则15.[2024·广东阶段练习]瑞士数学家欧拉Euler于1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上,后来,人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC的顶点A−4,0①△ABC的外心为−1,1;②△ABC的顶点C的坐标可能为−2,0；③△ABC的垂心坐标可能为9.2-两直线的位置关系-专项训练【解析版】基础巩固练1.（改编）若直线a，b的斜率分别为方程3x2−5x−3=A.0∘ B.30∘ C.45∘[解析]因为直线a，b的斜率分别为方程3x2−由根与系数的关系得kakb=−1，所以直线a，b的夹角为2.已知直线4x+my−6=0与直线5x−A.7 B.9 C.11 D.−[解析]因为直线4x+my−6=0与直线5x−2y+又点t,1在直线2x+5y−3=0上，则垂足为−1,1.又点−1,1在5x−2y+n=0上，将−3.平行直线x+2ay−1=A.0 B.32 C.3 D.[解析]若直线x+2ay−1=0则a=2aa−1，解得当a=0时，直线x+2ay−1=0当a=32时，直线x+2ay−此时直线x+3y−1=0与直线x+4.已知直线l1：ax+a+2y+1=A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]已知直线l1：ax由l1⊥l2，得a−aa所以“a=−1”是“l1⊥l25.（改编）已知直线l1：3x+y−1=0，若直线l2A.6+24 B.6−24[解析]因为直线l2与l1垂直，所以kl1kl2因为l2的倾斜角为α，所以tanα=33.所以cosα−π126.[2024·云南联考]当点M2,−3到直线4m−1A.2 B.47 C.−2 [解析]将直线4m−1x−联立4x−y+2=0,当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，此时4m−1m−1⋅−7.已知点1,−1关于直线l1：y=x的对称点为A，若直线l2经过点A，则当点A.2x+3y+5=0 B.3x[解析]设Aa,b，解得a=−1,设点B2,−1到直线l2当d=AB此时直线l2垂直于直线AB所以直线l2的斜率k所以直线l2的方程为y即3x−2y+58.(2024·九省适应性测试)已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足QP=(1,-3),记P的轨迹为E,则(C).A.E是一个半径为5的圆B.E是一条与l相交的直线C.E上的点到l的距离均为5D.E是两条平行直线[解析]设P(x,y),由QP=(1,-3),得Q(x-1,y+3),由点Q在直线l:x+2y+1=0上,得x-1+2(y+3)+1=0,化简得x+2y+6=0,即点P的轨迹E为一条直线且与直线l平行,E上的点到l的距离d=|6-1|故选C.综合提升练9.（多选题）对于直线l1：ax+2yA.“l1//l2”的充要条件是“a=3C.直线l1一定经过点M3,0 D.点[解析]当l1//l2时，aa−1−6=0，解得a=3或a=−2，当a=−2时，直线l1,l2的方程分别为x−y+3=0,当a=25时，直线l1,l2的方程分别为x+5y+3=0,15x直线l1：ax+2y+3a=0，即ax+3因为直线l1：ax+2y+3a=0过定点−3,0，所以当直线l1：ax+2y+3a=0与点P1,10.[2024·台州模拟]（多选题）已知直线l1：x+aA.l1在x轴上的截距为−1 B.l2C.若l1//l2，则a=−1或[解析]对于A，在直线l1:x+a−1y+1=0中对于B，在直线l2：ax+2y+2=0中，令x=0,则y=−1，故直线对于C，l1//l2⇒aa−对于D，l1⊥l2⇒a+2a11.[2024·嘉兴模拟]已知直线l与直线l1：2x−y+2=0和l2：x+y[解析]因为直线l与直线l1：2x−y+2=0设Ax1,且P2,0是线段AB的中点，解得x1=−23,x2=14所以直线AB的方程为y−0=−112.[2024·宁波模拟]（双空题）已知A−3,0，B3,0及直线l1：x−y+1=0，l2：x[解析]由题意知，直线l1：x−y+作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C，D由两平行线间的距离公式可得CD=因为A−3,设直线l3的方程为x联立x+y+b=0同理求得D(1−所以AC+其中b−52+b−12+b+52+b+12表示点Pb所以AC+DB的最小值为[5−−5]应用情境练13.如图，射线OA，OB所在直线的方向向量分别为d1=1,k，d2=1,−kk>0（1）若k=1，P(32（2）若P2,1，△OMP的面积是[解析]（1）因为P(32,12若k=1，则d1=1,1，所以直线OA则点P到直线OA的距离为32所以OM=（2）直线OA的方程为kx−y=0,点P2,1到直线OA所以△OMP的面积为1所以k=112创新拓展练14.（双空题）已知直线l1：2x−y+a=0，l2：4x−2y−1=0，l3：x+y−1=0，且原点到直线l1的距离是355，则a=±[解析]因为原点到直线l1的距离d=2×0−0若a>0，得a=3设存在点Pm,n由点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍，得4m−2n由点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是得2m−n+3因为m>0,n>0，所以故满足条件的点P的坐标为(19,15.[2024·广东阶段练习]瑞士数学家欧拉Euler于1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上,后来,人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC的顶点A−4,0①△ABC的外心为−1,1;②△ABC的顶点C的坐标可能为−2,0；③△ABC的垂心坐标可能为−[解析]由顶点A−4,0,B0,4△ABC的外心在直线x−y联立x−y+2=0,设外心为G,则G−1,1所以外接圆方