2025年高考数学一轮复习-8.5.1-椭圆及其性质-专项训练【含解析】

2025年高考数学一轮复习-8.5.1-椭圆及其性质-专项训练【原卷版】基础巩固练1.已知点P在椭圆E：4x2+y2=16上，FA.5 B.6 C.7 D.82.已知F1，F2是椭圆C：x29+A.14 B.16 C.8+273.已知椭圆x2+y2mA.2 B.1 C.14 4.已知椭圆C的焦点为F10,−2，F20,2，过点F2的直线与CA.x29+y25=1 5.已知椭圆x23m+y2A.12 B.2 C.22 .6.(2024·九省适应性测试)若椭圆x2a2+y2=1(a>1)的离心率为12,则a=(A.233 B.2 C.3 D7.“0<a<1，A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知F1,F2分别是椭圆E：x29+y2A.17 B.5 C.10 D.11综合提升练9.（多选题）已知F1,F2分别是椭圆C：x2A.椭圆C的离心率为22 B.C.52−5≤P10.（多选题）已知椭圆C：x216+y29=1的左、右焦点分别为F1A.椭圆C的焦点在x轴上 B.△PFC.PF1的取值范围为[94，4)11.已知椭圆C：x2a12.已知椭圆C的两个焦点分别为F1−3,0，F2应用情境练13.在天文学上，航天器绕地球运行的椭圆轨道上距离地心最远的一点称为远地点，距离地心最近的一点称为近地点，远地点与地球表面的最短距离称为远地点高度，近地点与地球表面的最短距离称为近地点高度.已知某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地球（视为一个球体）的半径为R，若该航天器的远地点高度为5R，所在椭圆轨道的离心率为15，则该航天器的近地点高度为14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质.比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线都会经过另一个焦点.如图所示，设椭圆方程x2a2+y2b2=1a>b>0,创新拓展练15.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得PF116.[2024·长沙模拟]如图，椭圆C:x2a2+y24（1）过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若PF1P（2）过圆O上任意一点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直.2025年高考数学一轮复习-8.5.1-椭圆及其性质-专项训练【解析版】基础巩固练1.已知点P在椭圆E：4x2+y2=16上，F1，A.5 B.6 C.7 D.8[解析]由椭圆E：4x2+y2=16，即由椭圆定义可知PF2+P故选A.2.已知F1，F2是椭圆C：x29+y2A.14 B.16 C.8+27[解析]由题可知a=4，c=a2−b2=73.已知椭圆x2+y2m=1A.2 B.1 C.14 [解析]由条件可知，a2=m，b2=1，故选D.4.已知椭圆C的焦点为F10,−2，F20,2，过点F2的直线与C交于AA.x29+y25=1 [解析]依题意得{c=2,因为椭圆C的焦点在y轴上，所以椭圆C的标准方程为y29+x5.已知椭圆x23m+y2m=A.12 B.2 C.22 [解析]由题意,得m>0，a2=3m,b2=m，则6.(2024·九省适应性测试)若椭圆x2a2+y2=1(a>1)的离心率为12,则a=(A.233 B.2 C.3 D[解析]由题意得e=a2-1a=12,解得7.“0<a<1，0<A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]当a=b=14时，满足“0<a<1，0<b<1”，此时题中方程可化为x2+y2=4,其表示的曲线是圆而不是椭圆；当a=1,b=4时，故“0<a<1，0<b<1”是“方程a8.已知F1,F2分别是椭圆E：x29+y25=A.17 B.5 C.10 D.11[解析]由椭圆E的方程知，a=3，c=a2−由椭圆的定义知，PF所以PF又QF所以PF1+PQ≤11，当且仅当点F2即PF1+PQ的最大值为综合提升练9.（多选题）已知F1,F2分别是椭圆C：x250+A.椭圆C的离心率为22 B.C.52−5≤P[解析]依题意得a=52，b则PF1+PF2=2a=102，椭圆C∵a−c≤PF1≤当点P位于短轴的端点时，∠F1PF2取得最大值，此时PF1=PF2=a=52，F1F10.（多选题）已知椭圆C：x216+y29=1的左、右焦点分别为F1，FA.椭圆C的焦点在x轴上 B.△PFC.PF1的取值范围为[94，4)[解析]对于A，由椭圆C的方程可知，椭圆C的焦点在x轴上，故A正确；对于B，因为c=16−9=7，所以△PF1对于C，因为点P不在x轴上，所以a−c<PF1<a+c，所以对于D，设椭圆C的上顶点为B，则0≤∠F1PF2≤∠F1BF2<π2，所以tan∠F1PF2的最大值为tan∠F1BF2,设∠OB11.已知椭圆C：x2a2+[解析]由题意可得，椭圆C的长轴长2a、短轴长2b、焦距2c成等比数列，所以2b2=2a⋅2c，即b2=ac=a2−12.已知椭圆C的两个焦点分别为F1−3,0，F23,0，为了使椭圆[解析]根据椭圆的焦点坐标可知，c=3，且焦点在x轴上，若要使椭圆C的方程为x225+y216=1，应用情境练13.在天文学上，航天器绕地球运行的椭圆轨道上距离地心最远的一点称为远地点，距离地心最近的一点称为近地点，远地点与地球表面的最短距离称为远地点高度，近地点与地球表面的最短距离称为近地点高度.已知某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地球（视为一个球体）的半径为R，若该航天器的远地点高度为5R，所在椭圆轨道的离心率为15，则该航天器的近地点高度为3R[解析]设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则由题意，可知ca=15,a+14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质.比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线都会经过另一个焦点.如图所示，设椭圆方程x2a2+y2b2=1a>b>0,F1[解析]由椭圆的光学性质可知，BC,AD都经过点F1，且在△ABF1中，∠BAF1=90∘，tan∠由椭圆的定义可知3k+4k+5k又AF可得AF在Rt△AF1F2所以F1F2=创新拓展练15.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得PF1=6[解析]根据题意可设C的方程为x2b2+y2a2=1a>b所以2a7≥a−因为椭圆C的短轴长为4，即2b=4，解得由ca≥57，可得1所以椭圆C其中的一个标准方程为x216.[2024·长沙模拟]如图，椭圆C:x2a2+y24（1）过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若PF1P（2）过圆O上任意一点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直.[解析]（1）如图，设Px0,y0，由于而PF1PF所以x02+y因为OM=ON,所以（2）设Rm,n，则m2设当过