2023八年级数学上册 第2章 三角形2.2 命题与证明第3课时 证明与反证法教案 （新版）湘教版

2023八年级数学上册第2章三角形2.2命题与证明第3课时证明与反证法教案（新版）湘教版主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容为湘教版2023八年级数学上册第2章三角形2.2命题与证明的第3课时，即证明与反证法。本节课的内容包括以下几个方面：

1.理解反证法的概念和基本步骤，能够运用反证法证明一些简单的数学命题。

2.掌握证明与反证法在解决数学问题中的应用，提高解决问题的能力。

3.通过实例分析，了解证明与反证法在实际问题解决中的重要性。

教学内容与学生已有知识的联系：

1.学生已经学习了命题与证明的基本概念，对于证明的方法有一定的了解，为本节课的反证法学习奠定了基础。

2.学生在七年级学习了平面几何的基本知识，掌握了基本的几何证明方法，为本节课的反证法证明提供了知识支撑。

3.学生在一元一次方程和不等式的学习中，已经接触过逻辑推理和反证法的方法，有利于理解本节课的反证法内容。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学逻辑推理能力和数学思维能力。通过学习反证法，学生能够理解并运用反证法证明数学命题，提高解决问题的能力。同时，通过实例分析，学生能够了解证明与反证法在实际问题解决中的重要性，培养学生的应用意识。此外，通过小组合作和讨论，学生能够提高合作交流能力，培养解决问题的积极主动性。学习者分析1.学生已经掌握了相关知识：学生在之前的学习中，已经掌握了命题与证明的基本概念，对于证明的方法有一定的了解。他们还学习了平面几何的基本知识，掌握了基本的几何证明方法。此外，学生在一元一次方程和不等式的学习中，已经接触过逻辑推理和反证法的方法。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：对于八年级的学生来说，数学证明和逻辑推理是较为抽象和难以理解的概念。其中一部分学生可能对此感兴趣，愿意投入时间和精力去理解和掌握；另一部分学生可能对此感到困难和无聊，需要教师通过具体实例和实际应用来激发他们的学习兴趣。在学习能力方面，学生的数学基础和学习能力参差不齐，有的学生可能需要更多的时间和帮助来理解和运用反证法。在学习风格上，有的学生喜欢通过直观的图示和实例来学习，而有的学生则更喜欢通过逻辑推理和证明来学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习反证法时，学生可能会遇到以下困难和挑战：一是理解反证法的概念和步骤，对于如何从假设出发推出矛盾有一定的困惑；二是如何将反证法应用到实际的数学问题中，对于如何选择合适的命题进行反证有一定的困难；三是对于一些复杂的数学问题，如何正确地运用反证法进行证明，可能会出现逻辑推理错误和证明不完整的情况。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略1.教学方法：针对本节课的教学内容，我选择采用讲授法、讨论法和案例研究法相结合的教学方法。首先，通过讲授法向学生系统地介绍反证法的概念、步骤和应用。然后，通过讨论法引导学生进行小组讨论，分享各自对反证法的理解和应用实例，促进学生之间的交流和思维碰撞。最后，通过案例研究法让学生通过研究具体的数学问题，运用反证法进行证明，提高学生解决问题的能力。

2.教学活动设计：

(1)导入：通过一个简单的数学问题，引发学生对证明与反证法的思考，激发学生的学习兴趣。

(2)讲授：采用PPT展示，结合板书，向学生系统地讲授反证法的概念、步骤和应用，让学生清晰地理解反证法的本质。

(3)小组讨论：将学生分成若干小组，让他们就事先准备好的数学问题进行讨论，分享各自对反证法的理解和应用实例，引导学生通过讨论交流，进一步深化对反证法的认识。

(4)案例研究：让学生分组研究具体的数学问题，运用反证法进行证明，培养学生的实际操作能力。

(5)总结与反思：在课堂的最后，组织学生进行总结和反思，让学生回顾所学内容，巩固知识，并对自己的学习过程进行评价。

3.教学媒体和资源：为了提高教学效果，我计划使用PPT、视频和在线工具等教学媒体和资源。

(1)PPT：制作精美的PPT，展示反证法的概念、步骤和应用，帮助学生清晰地理解知识点。

(2)视频：播放与反证法相关的教学视频，让学生更直观地了解反证法的应用过程。

(3)在线工具：利用在线工具，让学生在实际操作中运用反证法解决问题，提高学生的实践能力。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解反证法的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习反证法内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确反证法教学目标和反证法重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保反证法教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，提高学生学习反证法的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入反证法学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的命题与证明内容，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为反证法新课学习打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解反证法的概念、步骤和应用，结合实例帮助学生理解。

突出反证法重点，强调反证法难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕反证法问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

设计实践活动或实验，让学生在实践中体验反证法的应用，提高实践能力。

在反证法新课呈现结束后，对反证法知识点进行梳理和总结。

强调反证法的重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对反证法的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决反证法问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的反证法错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与反证法内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合反证法内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习反证法的心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的反证法内容，强调反证法的重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的反证法内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。学生学习效果1.知识与技能：

学生能够理解反证法的概念、步骤和应用，能够运用反证法证明一些简单的数学命题。通过案例研究和实践活动，学生能够掌握反证法在解决数学问题中的应用，提高解决问题的能力。

2.过程与方法：

3.情感态度与价值观：

学生能够了解证明与反证法在实际问题解决中的重要性，认识到数学知识在现实生活中的应用价值。通过学习反证法，学生能够培养对数学的兴趣和自信心，激发继续学习数学的动力。

具体到本节课的内容，学生应该能够：

1.掌握反证法的概念和步骤，了解反证法与直接证明的区别和联系。

2.能够运用反证法证明一些简单的几何命题，如三角形的性质、平行线的性质等。

3.在解决数学问题时，能够灵活运用反证法，找到解决问题的方法，提高解决问题的效率。

4.通过小组讨论和实践活动，培养合作交流能力，学会与他人共同解决问题。

5.培养对数学的兴趣和自信心，激发继续学习数学的动力。重点题型整理1.题型一：反证法的应用

题目：已知三角形ABC中，AB=AC，求证三角形ABC是等腰三角形。

解题思路：

（1）假设三角形ABC不是等腰三角形，即AB不等于AC。

（2）根据假设，得出BC的长度大于AC的长度。

（3）根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，得出AB+AC>BC。

（4）但是，根据假设，AB=AC，所以AB+AC=AC+AC=BC。

（5）得出矛盾，因为AB+AC>BC与AB+AC=BC同时成立。

（6）由矛盾得出假设不成立，即三角形ABC是等腰三角形。

答案：三角形ABC是等腰三角形。

2.题型二：反证法证明线段长度关系

题目：已知线段AB和线段BC，且AB>BC，证明线段AC<AB+BC。

解题思路：

（1）假设线段AC>AB+BC。

（2）根据假设，得出AC的长度大于AB和BC的长度之和。

（3）根据线段的性质，任意两边之和大于第三边，得出AB+BC>AC。

（4）但是，根据假设，AC>AB+BC，所以AB+BC<AC+BC。

（5）得出矛盾，因为AB+BC>AC与AB+BC<AC+BC同时成立。

（6）由矛盾得出假设不成立，即线段AC<AB+BC。

答案：线段AC<AB+BC。

3.题型三：反证法证明角度关系

题目：已知三角形ABC中，角A不等于角B，证明三角形ABC不是等腰三角形。

解题思路：

（1）假设三角形ABC是等腰三角形，即角A等于角B。

（2）根据假设，得出三角形ABC的两个底角相等。

（3）根据三角形内角和定理，三角形内角和等于180度，得出角A+角B+角C=180度。

（4）但是，根据假设，角A等于角B，所以角A+角B+角C=2角A+角C=180度。

（5）得出矛盾，因为角A+角B+角C=180度与2角A+角C=180度同时成立。

（6）由矛盾得出假设不成立，即三角形ABC不是等腰三角形。

答案：三角形ABC不是等腰三角形。

4.题型四：反证法证明几何图形的性质

题目：已知正方形ABCD，证明对角线AC和BD相等。

解题思路：

（1）假设对角线AC和BD不相等。

（2）根据假设，假设AC>BD。

（3）根据正方形的性质，对角线将正方形分成两个等腰直角三角形。

（4）根据等腰直角三角形的性质，得出AC=2AD和BD=2BC。

（5）但是，根据假设，AC>BD，所以2AD>2BC，即AD>BC。

（6）得出矛盾，因为AD=BC（正方形的性质）。

（7）由矛盾得出假设不成立，即对角线AC和BD相等。

答案：对角线AC和BD相等。

5.题型五：反证法证明数学命题的正确性

题目：已知正整数a、b和c满足a+b+c=100，证明至少有一个正整数是偶数。

解题思路：

（1）假设所有正整数a、b和c都是奇数。

（2）根据假设，得出a=2m+1，b=2n+1，c=2p+1，其中m、n、p是正整数。

（3）将a、b、c的表达式代入a+b+c=100，得出2m+1+2n+1+2p+1=100。

（4）化简得出2(m+n+p)+3=100。

（5）进一步化简得出2(m+n+p)=97。

（6）得出矛盾，因为97是一个素数，无法被2整除。

（7）由矛盾得出假设不成立，即至少有一个正整数是偶数。

答案：至少有一个正整数是偶数。内容逻辑关系①反证法的概念和步骤

反证法是一种证明方法，通过否定要证明的命题，进而推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。反证法的步骤包括：

1.否定要证明的命题。

2.推导出矛盾。

3.得出原命题的正确性。

②反证法与直接证明的区别和联系

反证法与直接证明是两种不同的证明方法，它们之间的区别和联系如下：

1.直接证明是通过正面论证命题的正确性来证明命题，而反证法是通过否定命题来证明命题的正确性。

2.直接证明更直接、直观，反证法更曲折、深入。

3.反证法是一种更加强调逻辑推理和思维能力的证明方法，可以引导学生深入思考问题的本质。

③反证法在实际问题中的应用

反证法在实际问题中的应用非常广泛，例如在数学问题解决、逻辑推理、科学探究等领域都有应用。以下是一些反证法在实际问题中的应用实例：

1.数学问题解决：通过否定一个命题，推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。

2.逻辑推理：通过否定一个前提，推导出矛盾，从而证明前提的不正确性。

3.科学探究：通过否定一个假设，推导出矛盾，从而证明假设的不正确性。

④反证法的优缺点

反证法虽然是一种强有力的证明方法，但也存在一些优缺点，例如：

1.优点：反证法可以引导学生深入思考问题的本质，提高逻辑推理和思维能力，可以解决一些直接证明难以解决的问题。

2.缺点：反证法需要较强的逻辑推理能力，对于一些初学者来说可能比较困难。

⑤反证法在数学教学中的应用

反证法在数学教学中非常重要，可以用来证明数学定理和公式，提高学生的数学思维能力。以下是一些反证法在数学教学中的应用实例：

1.证明数学定理：通过否定定理的条件或结论，推导出矛盾，从而证明定理的正确性。

2.证明数学公式：通过否定公式的两边，推导出矛盾，从而证明公式的正确性。

⑥反证法在实际生活中的应用

反证法不仅在学习中有着广泛的应用，在实际生活中也有着广泛的应用。以下是一些反证法在实际生活中的应用实例：

1.逻辑推理：在辩论中，通过否定对方的观点，推导出矛盾，从而证明自己的观点的正确性。

2.科学探究：在科学研究中，通过否定一个假设，推导出矛盾，从而证明假设的不正确性。

八、板书设计

板书设计应条理清楚、重点突出、简洁明了，以便于学生理解和记忆。以下是一个板书设计的示例：

1.反证法的概念和步骤

-否定要证明的命题

-推导出矛盾

-得出原命题的正确性

2.反证法与直接证明的区别和联系

-直接证明：正面论证命题的正确性

-反证法：否定命题，推导出矛盾

3.反证法在实际问题中的应用

-数学问题解决

-逻辑推理

-科学探究

4.反证法的优缺点

-优点：深入思考问题的本质，提高逻辑推理和思维能力

-缺点：需要较强的逻辑推理能力，初学者可能感到困难

5.反证法在数学教学中的应用

-证明数学定理

-证明数学公式

6.反证法在实际生活中的应用

-逻辑推理

-科学探究教学评价与反馈1.课堂表现：

在课堂上，学生的表现是教学评价的重要方面。通过观察学生的课堂参与度、提问和回答问题的情况，可以了解学生对反证法的理解和掌握程度。例如，学生是否能够正确运用反证法的步骤，是否