2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系（教师用书）教案 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第1章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系（教师用书）教案新人教A版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析本节课的主要教学内容是同角三角函数的基本关系。具体包括：

1.掌握同角三角函数的定义及基本性质。

2.学习同角三角函数之间的基本关系，如正弦、余弦、正切函数之间的关系。

3.能够运用同角三角函数的基本关系进行角度的转换和三角函数的求值。

教学内容与学生已有知识的联系：

1.学生需要掌握初中阶段的三角函数知识，如正弦、余弦、正切函数的定义和性质。

2.学生需要具备一定的代数运算能力，如解方程、恒等式变换等。

3.学生应了解函数的概念和性质，能够理解函数之间的关系。

本节课的教学内容与课本《2024-2025学年高中数学第1章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系（教师用书）教案新人教A版必修4》相符合，紧密结合课本知识，符合教学实际。核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要体现在以下几个方面：

1.逻辑推理：通过学习同角三角函数的基本关系，使学生能够逻辑推理出不同三角函数之间的联系，培养学生的逻辑思维能力。

2.数学建模：学生能够运用同角三角函数的基本关系解决实际问题，如角度转换、三角函数求值等，培养学生的数学建模能力。

3.直观想象：通过示例和练习，让学生能够直观地理解同角三角函数之间的关系，培养学生的直观想象能力。

4.数学运算：学生需要在掌握同角三角函数基本关系的基础上，进行相关的运算，如解方程、化简表达式等，提高学生的数学运算能力。

5.数据分析：通过对同角三角函数数据的分析，使学生能够发现数据之间的规律，培养学生的数据分析能力。

6.知识应用：学生能够将所学的同角三角函数基本关系应用到实际问题中，提高学生的知识应用能力。

本节课的核心素养目标符合新教程的要求，紧密结合课本知识，注重培养学生的数学思维能力和实际应用能力，符合教学实际。学情分析本节课的学情分析主要从以下几个方面展开：

1.学生层次：根据新人教A版必修4的教材内容，本节课适用于高中一年级的学生。学生在学习本节课之前，已经掌握了初中阶段的三角函数知识，如正弦、余弦、正切函数的定义和性质。学生的数学基础知识和基本运算能力参差不齐，有的学生对三角函数的概念和性质理解不够深入，有的学生在代数运算方面存在困难。

2.知识、能力、素质方面：在学习本节课的过程中，学生需要具备一定的知识背景，如初中阶段的三角函数知识和对函数概念的理解。学生需要具备一定的代数运算能力，如解方程、恒等式变换等。同时，学生需要具备一定的逻辑推理能力和直观想象能力，能够理解并运用同角三角函数的基本关系。在素质方面，学生需要具备良好的学习习惯和积极的学习态度。

3.行为习惯：在学习本节课的过程中，学生的行为习惯对课程学习有很大的影响。有的学生可能存在学习拖延、课堂注意力不集中等问题，这些问题会影响学生对知识的理解和掌握。因此，教师需要在教学过程中关注学生的学习状态，及时进行引导和帮助。

4.对课程学习的影响：学生对课程学习的影响主要体现在以下几个方面：一是学生的知识基础，知识基础好的学生学习起来会更加轻松，知识基础薄弱的学生可能需要更多的辅导和关注；二是学生的学习习惯和态度，学习习惯良好、态度积极的学生能够更好地理解和掌握知识，而学习习惯差、态度消极的学生可能需要更多的激励和引导；三是学生的能力水平，能力水平较高的学生能够更好地应对学习中的挑战，能力水平较低的学生可能需要更多的支持和帮助。教学方法与手段教学方法：

1.问题驱动法：通过提出问题和情境，激发学生的思考和探究欲望，引导学生主动参与到学习过程中。例如，在讲解同角三角函数的基本关系时，可以提出实际问题，如测量一个角度的正弦、余弦、正切值，让学生思考并找出它们之间的关系。

2.合作学习法：鼓励学生进行小组讨论和合作，共同解决问题，培养学生的团队合作能力和交流沟通能力。例如，在学习同角三角函数的基本关系时，可以让学生分组进行讨论，探讨不同函数之间的关系，并共同得出结论。

3.案例分析法：通过分析具体的案例，让学生理解和运用同角三角函数的基本关系。例如，可以选择一些实际问题或者数学题目，让学生运用所学的同角三角函数基本关系进行解决，加深对知识的理解和应用。

教学手段：

1.多媒体教学：利用多媒体设备，如PPT、视频等，展示同角三角函数的图像和实例，直观地展示函数之间的关系，帮助学生更好地理解和记忆。例如，在讲解同角三角函数的基本关系时，可以通过PPT展示不同函数的图像，让学生直观地观察和分析它们之间的关系。

2.教学软件辅助：利用教学软件，如数学软件、在线教学平台等，进行数学运算和模拟实验，增强学生的实践操作能力和解决问题的能力。例如，可以利用数学软件进行同角三角函数的运算和转换，让学生亲自动手操作，加深对知识的理解和应用。

3.互动式教学：通过提问、回答、讨论等方式，与学生进行互动，激发学生的学习兴趣和主动性。例如，在讲解同角三角函数的基本关系时，可以适时提问学生，让学生积极参与到课堂讨论中，提高学生的思维能力和口头表达能力。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对同角三角函数基本关系的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道同角三角函数是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于三角函数的图像或实际应用场景，让学生初步感受同角三角函数的魅力或特点。

简短介绍同角三角函数基本关系的定义和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.同角三角函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解同角三角函数基本关系的概念和原理。

过程：

讲解同角三角函数基本关系的定义，包括其主要组成元素和恒等式。

详细介绍同角三角函数之间的基本关系，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.同角三角函数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解同角三角函数基本关系的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的同角三角函数问题进行分析。

详细介绍每个问题的背景、特点和解决方法，让学生全面了解同角三角函数基本关系的应用。

引导学生思考这些案例对实际数学学习和问题解决的影响，以及如何运用同角三角函数基本关系解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与同角三角函数基本关系相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的实际应用、解题策略以及可能的拓展思路。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对同角三角函数基本关系的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的实际应用、解题策略及拓展思路。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调同角三角函数基本关系的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括同角三角函数基本关系的定义、恒等式、案例分析等。

强调同角三角函数基本关系在数学学习和问题解决中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用同角三角函数基本关系。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于同角三角函数基本关系的应用案例分析报告，以巩固学习效果。知识点梳理本节课的主要知识点包括同角三角函数的定义、基本性质和恒等式，以及同角三角函数之间的基本关系。下面将对这些知识点进行详细的梳理。

1.同角三角函数的定义：

-正弦函数：正弦函数是指在直角三角形中，对边与斜边的比值，用符号sin表示。

-余弦函数：余弦函数是指在直角三角形中，邻边与斜边的比值，用符号cos表示。

-正切函数：正切函数是指在直角三角形中，对边与邻边的比值，用符号tan表示。

2.同角三角函数的基本性质：

-周期性：同角三角函数具有周期性，即函数值每隔一定的角度重复一次。例如，正弦函数的周期为2π。

-奇偶性：同角三角函数具有奇偶性，即函数关于原点对称。正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。

-单调性：同角三角函数在其定义域内具有单调性，即函数值随着角度的增加而单调增加或减少。

3.同角三角函数的恒等式：

-和差化积公式：同角三角函数的和差化积公式是指两个同角三角函数的和或差可以转化为它们的乘积形式。例如，sinα±cosα=√2sin(α±π/4)。

-积化和差公式：同角三角函数的积化和差公式是指两个同角三角函数的乘积可以转化为它们的和或差的形式。例如，sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]。

4.同角三角函数之间的基本关系：

-正弦、余弦、正切函数之间的关系：同角三角函数之间存在基本关系，即正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1（sin²α+cos²α=1），正切函数等于正弦函数除以余弦函数（tanα=sinα/cosα）。

-三角函数的倒数关系：同角三角函数的倒数关系是指正弦函数的倒数是余弦函数，余弦函数的倒数是正弦函数，正切函数的倒数是正割函数，正割函数的倒数是正切函数。典型例题讲解例1：已知sinα=1/2，求cosα、tanα、sin²α+cos²α的值。

解答：

由正弦函数的定义，sinα=1/2，则cosα=√(1-sin²α)=√(1-1/4)=√3/2。

由同角三角函数的基本关系，tanα=sinα/cosα=1/√3=1/3。

由基本恒等式，sin²α+cos²α=1。

例2：已知cosα=2/5，求sinα、tanα、sin²α+cos²α的值。

解答：

由余弦函数的定义，cosα=2/5，则sinα=√(1-cos²α)=√(1-4/25)=√21/25。

由同角三角函数的基本关系，tanα=sinα/cosα=√21/25/2/5=√21/20。

由基本恒等式，sin²α+cos²α=1。

例3：已知tanα=3，求sinα、cosα、sin²α+cos²α的值。

解答：

由正切函数的定义，tanα=3，则sinα=3cosα。

由基本恒等式，sin²α+cos²α=1。

将sinα=3cosα代入基本恒等式中，得9cos²α+cos²α=1，解得cosα=1/2，sinα=3/2。

例4：已知sin²α+cos²α=1，求sinα、cosα、tanα的值。

解答：

由基本恒等式，sin²α+cos²α=1，则sinα=±√(1-cos²α)，cosα=±√(1-sin²α)。

由于sin²α+cos²α=1，sinα和cosα的符号不确定，需要根据具体情况进行判断。

例如，如果sinα=√(1-cos²α)，则cosα=0，tanα=sinα/cosα=√(1-cos²α)/0，这是不合理的。

因此，我们需要选择另一个解，即sinα=-√(1-cos²α)，cosα=√(1-sin²α)。

这样，sinα和cosα的值分别为±√(1-cos²α)和±√(1-sin²α)。

例5：已知sinα=3/5，cosα=4/5，求tanα、sin²α+cos²α、tan²α+1的值。

解答：

由同角三角函数的基本关系，tanα=sinα/cosα=3/4。

由基本恒等式，sin²α+cos²α=1。

由tan²α+1=sec²α，其中secα=1/cosα=5/4，所以tan²α+1=5/4。内容逻辑关系①知识点梳理：

1.同角三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数。

2.同角三角函数的基本性质：周期性、奇偶性、单调性。

3.同角三角函数的恒等式：和差化积公式、积化和差公式。

4.同角三角函数之间的基本关系：正弦、余弦、正切函数之间的关系，三角函数的倒数关系。

②词、句解释：

1.正弦函数：sinα=对边/斜边

2.余弦函数：cosα=邻边/斜边

3.正切函数：tanα=对边/邻边

4.周期性：正弦、余弦、正切函数的值每隔2π重复一次。

5.奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。

6.单调性：正弦函数在[0,π]区间内单调递增，在[π,2π]区间内单调递减；余弦函数在[-π,0]区间内单调递增，在[0,π]区间内单调递减；正切函数在[0,π]区间内单调递增，在[π,2π]区间内单调递减。

7.和差化积公式：sinα±cosα=√2sin(α±π/4)

8.积化和差公式：sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

9.正弦、余弦、正切函数之间的关系：sin²α+cos²α=1

10.三角函数的倒数关系：sinα的倒数是cosα，cosα的倒数是sinα，tanα的倒数是cotα，cotα的倒数是tanα。

③板书设计：

1.同角三角函数的定义

-正弦函数：sinα=对边/斜边

-余弦函数：cosα=邻边/斜边

-正切函数：tanα=对边/邻边

2.同角三角函数的基本性质

-周期性：正弦、余弦、正切函数的值每隔2π重复一次

-奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数

-单调性：正弦、余弦、正切函数的单调性

3.同角三角函数的恒等式

-和差化积公式：sinα±cosα=√2sin(α±π/4)

-积化和差公式：