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文档简介
§1.3等式性质与不等式性质考试要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用.知识梳理1.两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-b>0⇔a>b,,a-b=0⇔a=b,,a-b<0⇔a<b.))(a,b∈R)2.等式的性质性质1对称性:如果a=b,那么b=a;性质2传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;性质3可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性质4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性质5可除性:如果a=b,c≠0,那么eq\f(a,c)=eq\f(b,c).3.不等式的性质性质1对称性:a>b⇔b<a;性质2传递性:a>b,b>c⇒a>c;性质3可加性:a>b⇔a+c>b+c;性质4可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;性质5同向可加性:a>b,c>d⇒a+c>b+d;性质6同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;性质7同正可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2).常用结论1.若ab>0,且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2.若a>b>0,m>0⇒eq\f(b,a)<eq\f(b+m,a+m);若b>a>0,m>0⇒eq\f(b,a)>eq\f(b+m,a+m).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.(√)(2)若eq\f(b,a)>1,则b>a.(×)(3)若x>y,则x2>y2.(×)(4)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b),则b<a.(×)教材改编题1.如果ac>bc,那么下列不等式中,一定成立的是()A.ac2>bc2 B.a>bC.a+c>b+c D.eq\f(a,c)>eq\f(b,c)答案D解析若c<0,则a<b,所以ac2<bc2,a+c<b+c,A,B,C均错;因为ac>bc,则c2>0,因为ac>bc,则eq\f(ac,c2)>eq\f(bc,c2),即eq\f(a,c)>eq\f(b,c),故D正确.2.已知M=x2-3x,N=-3x2+x-3,则M,N的大小关系是________.答案M>N解析∵M-N=(x2-3x)-(-3x2+x-3)=4x2-4x+3=(2x-1)2+2>0,∴M>N.3.若1<a<2,2<b<3,则eq\f(a,b)的取值范围是________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),1))解析由2<b<3,得eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2),又1<a<2,∴1×eq\f(1,3)<a×eq\f(1,b)<2×eq\f(1,2),即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<1.题型一数(式)的大小比较例1(1)已知p∈R,M=(2p+1)(p-3),N=(p-6)(p+3)+10,则M,N的大小关系为()A.M<N B.M>NC.M≤N D.M≥N答案B解析因为M-N=(2p+1)(p-3)-[(p-6)(p+3)+10]=p2-2p+5=(p-1)2+4>0,所以M>N.(2)若a>b>1,P=aeb,Q=bea,则P,Q的大小关系是()A.P>Q B.P=QC.P<Q D.不能确定答案C解析P,Q作商可得eq\f(P,Q)=eq\f(aeb,bea)=eq\f(\f(eb,b),\f(ea,a)),令f(x)=eq\f(ex,x),则f′(x)=eq\f(exx-1,x2),当x>1时,f′(x)>0,所以f(x)=eq\f(ex,x)在(1,+∞)上单调递增,因为a>b>1,所以eq\f(eb,b)<eq\f(ea,a),又eq\f(eb,b)>0,eq\f(ea,a)>0,所以eq\f(P,Q)=eq\f(\f(eb,b),\f(ea,a))<1,所以P<Q.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.跟踪训练1(1)已知a,b为不相等的实数,记M=a2-ab,N=ab-b2,则M与N的大小关系为()A.M>N B.M=NC.M<N D.不确定答案A解析因为M-N=(a2-ab)-(ab-b2)=(a-b)2,又a≠b,所以(a-b)2>0,即M>N.(2)已知M=eq\f(e2021+1,e2022+1),N=eq\f(e2022+1,e2023+1),则M,N的大小关系为________.答案M>N解析方法一M-N=eq\f(e2021+1,e2022+1)-eq\f(e2022+1,e2023+1)=eq\f(e2021+1e2023+1-e2022+12,e2022+1e2023+1)=eq\f(e2021+e2023-2e2022,e2022+1e2023+1)=eq\f(e2021e-12,e2022+1e2023+1)>0.∴M>N.方法二令f(x)=eq\f(ex+1,ex+1+1)=eq\f(\f(1,e)ex+1+1+1-\f(1,e),ex+1+1)=eq\f(1,e)+eq\f(1-\f(1,e),ex+1+1),显然f(x)是R上的减函数,∴f(2021)>f(2022),即M>N.题型二不等式的性质例2(1)已知a>b>c>0,下列结论正确的是()A.2a<b+c B.a(b-c)>b(a-c)C.eq\f(1,a-c)>eq\f(1,b-c) D.(a-c)3>(b-c)3答案D解析∵a>b>c>0,∴2a>b+c,故A错误;取a=3>b=2>c=1>0,则a(b-c)=3<b(a-c)=4,故B错误;由a>b>c>0可知,a-c>b-c>0,∴eq\f(1,a-c)<eq\f(1,b-c),(a-c)3>(b-c)3,故C错误,D正确.(2)(多选)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论正确的是()A.ad>bc B.eq\f(a,d)+eq\f(b,c)<0C.a-c>b-d D.a(d-c)>b(d-c)答案BCD解析因为a>0>b,c<d<0,所以ad<0,bc>0,所以ad<bc,故A错误;因为0>b>-a,所以a>-b>0,因为c<d<0,所以-c>-d>0,所以a(-c)>(-b)(-d),所以ac+bd<0,cd>0,所以eq\f(ac+bd,cd)=eq\f(a,d)+eq\f(b,c)<0,故B正确;因为c<d,所以-c>-d,因为a>b,所以a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d,故C正确;因为a>0>b,d-c>0,所以a(d-c)>b(d-c),故D正确.思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证.(2)利用特殊值法排除错误选项.(3)作差法.(4)构造函数,利用函数的单调性.跟踪训练2(1)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是()A.若a>b,则ac2>bc2B.若eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2),则a<bC.若a<b<c<0,则eq\f(b,a)<eq\f(b+c,a+c)D.若a>b,则a2>b2答案C解析对于A选项,当c=0时不满足,故错误;对于B选项,由不等式性质知,eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)两边同时乘以c2>0,可得a>b,故错误;对于C选项,若a<b<c<0,则a+c<0,b-a>0,(b-a)c<0,a(a+c)>0,故eq\f(b,a)-eq\f(b+c,a+c)=eq\f(ba+c-ab+c,aa+c)=eq\f(b-ac,aa+c)<0,即eq\f(b,a)<eq\f(b+c,a+c),故正确;对于D选项,取a=-1,b=-2,可得a2<b2,故错误.(2)(多选)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0,则下列不等式正确的是()A.eq\f(1,a+b)<eq\f(1,ab) B.|a|+b>0C.a-eq\f(1,a)>b-eq\f(1,b) D.lna2>lnb2答案AC解析由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0,可知b<a<0.A中,因为a+b<0,ab>0,所以eq\f(1,a+b)<0,eq\f(1,ab)>0.则eq\f(1,a+b)<eq\f(1,ab),故A正确;B中,因为b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故B错误;C中,因为b<a<0,又eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0,则-eq\f(1,a)>-eq\f(1,b)>0,所以a-eq\f(1,a)>b-eq\f(1,b),故C正确;D中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上单调递减,可得b2>a2>0,而y=lnx在定义域(0,+∞)上单调递增,所以lnb2>lna2,故D错误.题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是__________,3x+2y的取值范围是________.答案(-4,2)(1,18)解析∵-1<x<4,2<y<3,∴-3<-y<-2,∴-4<x-y<2.由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,∴1<3x+2y<18.延伸探究若将本例(1)中条件改为-1<x+y<4,2<x-y<3,求3x+2y的取值范围.解设3x+2y=m(x+y)+n(x-y),则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m+n=3,,m-n=2,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=\f(5,2),,n=\f(1,2).))即3x+2y=eq\f(5,2)(x+y)+eq\f(1,2)(x-y),又∵-1<x+y<4,2<x-y<3,∴-eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(x+y)<10,1<eq\f(1,2)(x-y)<eq\f(3,2),∴-eq\f(3,2)<eq\f(5,2)(x+y)+eq\f(1,2)(x-y)<eq\f(23,2),即-eq\f(3,2)<3x+2y<eq\f(23,2),∴3x+2y的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),\f(23,2))).(2)已知3<a<8,4<b<9,则eq\f(a,b)的取值范围是________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),2))解析∵4<b<9,∴eq\f(1,9)<eq\f(1,b)<eq\f(1,4),又3<a<8,∴eq\f(1,9)×3<eq\f(a,b)<eq\f(1,4)×8,即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<2.思维升华求代数式的取值范围,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.跟踪训练3(1)已知1≤a≤2,-1≤b≤4,则a-2b的取值范围是()A.[-7,4]B.[-6,9]C.[6,9]D.[-2,8]答案A解析因为-1≤b≤4,所以-8≤-2b≤2,由1≤a≤2,得-7≤a-2b≤4.(2)已知实数a,b,c,满足a>b>c,且a+b+c=0,那么eq\f(c,a)的取值范围是________.答案-2<eq\f(c,a)<-eq\f(1,2)解析由于a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-a-c,-a-c<a,2a>-c,eq\f(c,a)>-2,-a-c>c,-a>2c,eq\f(c,a)<-eq\f(1,2),所以-2<eq\f(c,a)<-eq\f(1,2).课时精练1.(2023·长春模拟)已知a>0,b>0,M=eq\r(a+b),N=eq\r(a)+eq\r(b),则M与N的大小关系为()A.M>NB.M<NC.M≤ND.M,N大小关系不确定答案B解析M2-N2=(a+b)-(a+b+2eq\r(ab))=-2eq\r(ab)<0,∴M<N.2.已知a,b∈R,若a>b,eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立,则()A.ab>0 B.ab<0C.a+b>0 D.a+b<0答案A解析因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b),所以eq\f(1,a)-eq\f(1,b)=eq\f(b-a,ab)<0,又a>b,所以b-a<0,所以ab>0.3.(多选)已知a<b<0,则下列结论正确的是()A.b2<ab B.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C.2a>2b D.ln(1-a)>ln(1-b)答案AD解析对于A,因为a<b<0,所以b-a>0,则b2-ab=b(b-a)<0,即b2<ab,故选项A正确;对于B,因为a<b<0,所以ab>0,则eq\f(a,ab)<eq\f(b,ab),即eq\f(1,b)<eq\f(1,a),故选项B错误;对于C,因为a<b<0且函数y=2x是增函数,所以2a<2b,故选项C错误;对于D,因为a<b<0,所以1-a>1-b>1,又因为函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增,所以ln(1-a)>ln(1-b),故选项D正确.4.若-π<α<β<π,则α-β的取值范围是()A.-2π<α-β<2π B.0<α-β<2πC.-2π<α-β<0 D.{0}答案C解析∵-π<β<π,∴-π<-β<π,又-π<α<π,∴-2π<α-β<2π,又α<β,∴α-β<0,∴-2π<α-β<0.5.已知x,y∈R,且x>y>0,则()A.cosx-cosy>0B.cosx+cosy>0C.lnx-lny>0D.lnx+lny>0答案C解析对于A,y=cosx在(0,+∞)上不是单调函数,故cosx-cosy>0不一定成立,A错误;对于B,当x=π,y=eq\f(π,2)时,cosx+cosy=-1<0,B不一定成立;对于C,y=lnx在(0,+∞)上为增函数,若x>y>0,则lnx>lny,必有lnx-lny>0,C正确;对于D,当x=1,y=eq\f(1,2)时,lnx+lny=ln
eq\f(1,2)<0,D不一定成立.6.(多选)(2023·汕头模拟)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是()A.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0C.cb2<ab2 D.ab>ac答案BCD解析因为a,b,c满足c<a<b,且ac<0,所以c<0,a>0,b>0,a-c>0,b-a>0,所以ac(a-c)<0,c(b-a)<0,cb2<ab2,ab>ac.7.(多选)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有()A.c2<cd B.a-c<b-dC.ac<bd D.eq\f(c,a)-eq\f(d,b)>0答案AD解析因为a>b>0>c>d,所以a>b>0,0>c>d,对于A,因为0>c>d,由不等式的性质可得c2<cd,故选项A正确;对于B,取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则a-c=3,b-d=3,所以a-c=b-d,故选项B错误;对于C,取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=-2,bd=-2,所以ac=bd,故选项C错误;对于D,因为a>b>0,d<c<0,则ad<bc,所以eq\f(c,a)>eq\f(d,b),故eq\f(c,a)-eq\f(d,b)>0,故选项D正确.8.(多选)(2022·沈阳模拟)已知非零实数a,b满足a>|b|+1,则下列不等关系一定成立的是()A.a2>b2+1 B.2a>2b+1C.a2>4b D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))>b+1答案ABC解析对于非零实数a,b满足a>|b|+1,则a2>(|b|+1)2,即a2>b2+2|b|+1>b2+1,故A一定成立;因为a>|b|+1≥b+1⇒2a>2b+1,故B一定成立;又(|b|-1)2≥0,即b2+1≥2|b|,所以a2>4|b|≥4b,故C一定成立;令a=5,b=3,满足a>|b|+1,此时eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))=eq\f(5,3)<b+1=4,故D不一定成立.9.已知M=x2+y2+z2,N=2x+2y+2z-π,则M________N.(填“>”“<”或“=”)答案>解析M-N=x2+y2+z2-2x-2y-2z+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3≥π-3>0,故M>N.10.能够说明“设a,b,c是任意实数.若a2>b2>c2,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________.答案-3,-1,0(答案不唯一)解析令a=-3,b=-1,c=0,则a2>b2>c2,此时a+b=-4<0,所以a+b>c是假命题.11.若1<α<3,-4<β<2,则2α+|β|的取值范围是________.答案(2,10)解析∵-4<β<2,∴0≤|β|<4,又1<α<3,∴2<2α<6,∴2<2α+|β|<10.12.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.答案eπ·πe<ee·ππ解析eq\f(eπ·πe,ee·ππ)=eq\f(eπ-e,ππ-e)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,π)))π-e,又0<eq\f(e,π)<1,0<π-e<1,∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,π)))π-e<1,即eq\f(eπ·πe,ee·ππ)<1,即eπ·πe<ee·ππ.13.已知0<a<b<1,设m=blna,n=alnb,p=lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lna,lnb))),则m,n,p的大小关系为()A.m<n<p B.n<m<pC.p<m<n D.p<n<m答案A解析因为0<a<b<1,则eq\f(b,a)>1,且lna<ln
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