新高考数学一轮复习讲义第1章　§1.3　等式性质与不等式性质（含解析）

§1.3等式性质与不等式性质考试要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))(a，b∈R)2．等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性质性质1对称性：a>b⇔b<a；性质2传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常用结论1．若ab>0，且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．若a>b>0，m>0⇒eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；若b>a>0，m>0⇒eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(√)(2)若eq\f(b,a)>1，则b>a.(×)(3)若x>y，则x2>y2.(×)(4)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则b<a.(×)教材改编题1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是()A．ac2>bc2 B．a>bC．a＋c>b＋c D.eq\f(a,c)>eq\f(b,c)答案D解析若c<0，则a<b，所以ac2<bc2，a＋c<b＋c，A，B，C均错；因为ac>bc，则c2>0，因为ac>bc，则eq\f(ac,c2)>eq\f(bc,c2)，即eq\f(a,c)>eq\f(b,c)，故D正确．2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．答案M>N解析∵M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，∴M>N.3．若1<a<2,2<b<3，则eq\f(a,b)的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))解析由2<b<3，得eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又1<a<2，∴1×eq\f(1,3)<a×eq\f(1,b)<2×eq\f(1,2)，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<1.题型一数(式)的大小比较例1(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为()A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N答案B解析因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能确定答案C解析P，Q作商可得eq\f(P,Q)＝eq\f(aeb,bea)＝eq\f(\f(eb,b),\f(ea,a))，令f(x)＝eq\f(ex,x)，则f′(x)＝eq\f(exx－1,x2)，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)＝eq\f(ex,x)在(1，＋∞)上单调递增，因为a>b>1，所以eq\f(eb,b)<eq\f(ea,a)，又eq\f(eb,b)>0，eq\f(ea,a)>0，所以eq\f(P,Q)＝eq\f(\f(eb,b),\f(ea,a))<1，所以P<Q.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为()A．M>N B．M＝NC．M<N D．不确定答案A解析因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.(2)已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，则M，N的大小关系为________．答案M>N解析方法一M－N＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)－eq\f(e2022＋1,e2023＋1)＝eq\f(e2021＋1e2023＋1－e2022＋12,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021＋e2023－2e2022,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021e－12,e2022＋1e2023＋1)>0.∴M>N.方法二令f(x)＝eq\f(ex＋1,ex＋1＋1)＝eq\f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq\f(1,e)＋eq\f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，显然f(x)是R上的减函数，∴f(2021)>f(2022)，即M>N.题型二不等式的性质例2(1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是()A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c)C.eq\f(1,a－c)>eq\f(1,b－c) D．(a－c)3>(b－c)3答案D解析∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误；取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，∴eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c)，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确．(2)(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是()A．ad>bc B.eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)<0C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)答案BCD解析因为a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A错误；因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，所以eq\f(ac＋bd,cd)＝eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)<0，故B正确；因为c<d，所以－c>－d，因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正确；因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确．思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2(1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)，则a<bC．若a<b<c<0，则eq\f(b,a)<eq\f(b＋c,a＋c)D．若a>b，则a2>b2答案C解析对于A选项，当c＝0时不满足，故错误；对于B选项，由不等式性质知，eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)两边同时乘以c2>0，可得a>b，故错误；对于C选项，若a<b<c<0，则a＋c<0，b－a>0，(b－a)c<0，a(a＋c)>0，故eq\f(b,a)－eq\f(b＋c,a＋c)＝eq\f(ba＋c－ab＋c,aa＋c)＝eq\f(b－ac,aa＋c)<0，即eq\f(b,a)<eq\f(b＋c,a＋c)，故正确；对于D选项，取a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故错误．(2)(多选)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式正确的是()A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab) B．|a|＋b>0C．a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) D．lna2>lnb2答案AC解析由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可知b<a<0.A中，因为a＋b<0，ab>0，所以eq\f(1,a＋b)<0，eq\f(1,ab)>0.则eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)，故A正确；B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；C中，因为b<a<0，又eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则－eq\f(1,a)>－eq\f(1,b)>0，所以a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)，故C正确；D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以lnb2>lna2，故D错误．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.延伸探究若将本例(1)中条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．解设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,m－n＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2).))即3x＋2y＝eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，∴－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(x＋y)<10,1<eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(3,2)，∴－eq\f(3,2)<eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(23,2)，即－eq\f(3,2)<3x＋2y<eq\f(23,2)，∴3x＋2y的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(23,2))).(2)已知3<a<8,4<b<9，则eq\f(a,b)的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))解析∵4<b<9，∴eq\f(1,9)<eq\f(1,b)<eq\f(1,4)，又3<a<8，∴eq\f(1,9)×3<eq\f(a,b)<eq\f(1,4)×8，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<2.思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是()A．[－7,4]B．[－6,9]C．[6,9]D．[－2,8]答案A解析因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.(2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么eq\f(c,a)的取值范围是________．答案－2<eq\f(c,a)<－eq\f(1,2)解析由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c<a,2a>－c，eq\f(c,a)>－2，－a－c>c，－a>2c，eq\f(c,a)<－eq\f(1,2)，所以－2<eq\f(c,a)<－eq\f(1,2).课时精练1．(2023·长春模拟)已知a>0，b>0，M＝eq\r(a＋b)，N＝eq\r(a)＋eq\r(b)，则M与N的大小关系为()A．M>NB．M<NC．M≤ND．M，N大小关系不确定答案B解析M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2eq\r(ab))＝－2eq\r(ab)<0，∴M<N.2．已知a，b∈R，若a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立，则()A．ab>0 B．ab<0C．a＋b>0 D．a＋b<0答案A解析因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.3．(多选)已知a<b<0，则下列结论正确的是()A．b2<ab B.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．2a>2b D．ln(1－a)>ln(1－b)答案AD解析对于A，因为a<b<0，所以b－a>0，则b2－ab＝b(b－a)<0，即b2<ab，故选项A正确；对于B，因为a<b<0，所以ab>0，则eq\f(a,ab)<eq\f(b,ab)，即eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故选项B错误；对于C，因为a<b<0且函数y＝2x是增函数，所以2a<2b，故选项C错误；对于D，因为a<b<0，所以1－a>1－b>1，又因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以ln(1－a)>ln(1－b)，故选项D正确．4．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是()A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2πC．－2π<α－β<0 D．{0}答案C解析∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.5．已知x，y∈R，且x>y>0，则()A．cosx－cosy>0B．cosx＋cosy>0C．lnx－lny>0D．lnx＋lny>0答案C解析对于A，y＝cosx在(0，＋∞)上不是单调函数，故cosx－cosy>0不一定成立，A错误；对于B，当x＝π，y＝eq\f(π,2)时，cosx＋cosy＝－1<0，B不一定成立；对于C，y＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，若x>y>0，则lnx>lny，必有lnx－lny>0，C正确；对于D，当x＝1，y＝eq\f(1,2)时，lnx＋lny＝ln

eq\f(1,2)<0，D不一定成立．6．(多选)(2023·汕头模拟)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是()A．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0C．cb2<ab2 D．ab>ac答案BCD解析因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac.7．(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有()A．c2<cd B．a－c<b－dC．ac<bd D.eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0答案AD解析因为a>b>0>c>d，所以a>b>0,0>c>d，对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2<cd，故选项A正确；对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故选项B错误；对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故选项C错误；对于D，因为a>b>0，d<c<0，则ad<bc，所以eq\f(c,a)>eq\f(d,b)，故eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，故选项D正确．8．(多选)(2022·沈阳模拟)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是()A．a2>b2＋1 B．2a>2b＋1C．a2>4b D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))>b＋1答案ABC解析对于非零实数a，b满足a>|b|＋1，则a2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；因为a>|b|＋1≥b＋1⇒2a>2b＋1，故B一定成立；又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；令a＝5，b＝3，满足a>|b|＋1，此时eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝eq\f(5,3)<b＋1＝4，故D不一定成立．9．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)答案>解析M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，故M>N.10．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．答案－3，－1,0(答案不唯一)解析令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2>b2>c2，此时a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命题．11．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________．答案(2,10)解析∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10.12．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．答案eπ·πe<ee·ππ解析eq\f(eπ·πe,ee·ππ)＝eq\f(eπ－e,ππ－e)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,π)))π－e，又0<eq\f(e,π)<1,0<π－e<1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,π)))π－e<1，即eq\f(eπ·πe,ee·ππ)<1，即eπ·πe<ee·ππ.13．已知0<a<b<1，设m＝blna，n＝alnb，p＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lna,lnb)))，则m，n，p的大小关系为()A．m<n<p B．n<m<pC．p<m<n D．p<n<m答案A解析因为0<a<b<1，则eq\f(b,a)>1，且lna<ln