2021-2022学年新教材湘教版高中数学必修第一册第一章集合与逻辑知识点考点重点题型归纳总结

第一章集合与逻辑

1.1集合....................................................................1

1.1.1集合...............................................................1

第i课时集合与元素................................................1

第二课时表示集合的方法...........................................5

1.1.2子集和补集........................................................9

1.1.3集合的交与并.....................................................14

1.2常用逻辑用语..........................................................19

1.2.1命题..............................................................19

1.2.2充分条件和必要条件...............................................22

1.2.3全称量词和存在量词...............................................27

1.1集合

1.1.1集合

第一课时集合与元素

知识点一元素与集合的相关概念

1.集合：把一些对象放在一起考虑时，这些对象组成了一个集合或集.通

常用大写拉丁字母表示，如48,…表示集合.

2.元素：这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素.通常用小写

拉丁字母表示，如mb…表示元素.

3.集合中元素的三个基本属性

互异性同一集合中的元素是互不相同的

集合中的元素是确定的，亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属

确定性

于这个集合是确定的

无序性集合中的元素没有顺序

1.集合是一个原始的、不加定义的概念，就像几何中点、线的概念一样,

只作描述性说明.

2.集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对

象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.

。想一想］

1.集合中的元素只能是数、点、代数式吗？

提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中

的各种各样的事物或人等.

2.某班所有的高个子男生能否构成一个集合？

提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标

准.

知识点二元素与集合的关系

表达集合和它的元素之间的归属关系的符号是

(1)属于：若5是一个集合，。是5的一个元素，记作“。豆S”，读作：“。属

王5”；

(2)不属于：若。不是S的元素，记作泼S(或aS)读作不属于S”.

。想一想1

1.元素与集合之间有第三种关系吗？

提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有与“渡4”这两种

关系.

2.符号““住”的左边可以是集合吗？

提示：和“住”具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不

可以是集合.

知识点三常见的数集及符号表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN,ZQR

。想一想I

N与N+有何区别？

提示：N+是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集

合，所以N比N+多一个元素0.

知识点四集合的分类

1.有限集：元素个数有限的集合（或有穷集）.

2.无限集：元素无限多的集合叫无限集（或无穷集）.

3.空集：没有元素的集合叫空集.记作。，空集也是有限集.

题型一

［例1］（多选）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（）

A.某校高一年级成绩优秀的学生

B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点

C.不小于3的自然数

D.2018年第23届冬季契运会金牌获得者

［解析］A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B、C、

D中的对象都满足确定性，所以能组成集合.

［答案］BCD

判断一组对象能否组成集合的标准

判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对

象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同肘还要注意集合中元

素的互异性、无序性.

题型二

［例2］（1）（多选）由不超过5的实数组成集合A.〃=也+小，贝IJ（）

A.a^AB./《A

C.-eAD.

a

（2）若集合4中的元素x满足三£N,N,则集合4中的元素为.

［解析］（1）。=啦+小<也+也=4<5,所以

a+1〈币+木+1=5,所以a+1々2=（地门+2啦X、/§+（镉尸=5+2%

>5所以层弧台南T（啦+新浣=斤也<5,所以为

A.

(2)由题意可得：x为自然数，所以士可以为2,3,6,因此x的值为2,1,

0.因此A中元素有2,1,0.

［答案］(l)ACD(2)2,1,0

判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法：①使用前提：集合中的元素是直接给出的；

②判断方法：首先明确集合由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合

中是否出现即可；

(2)推理法：①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；

②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否

满足集合中元素所具有的特价即可.

题型三元素特性的应用

[例3]已知集合A含有两个元素。和若1则实数〃的值为

［解析］若1£A,则〃=1或苏=1,即。=±1.

当〃=1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性,

・・・〃羊1;

当。=—1时，集合A含有两个元素1,—1,符合元素的互异性..*.a=—

1.

［答案］T

［母题探究］

1.(变条件)本例若将条件“1WA”改为“2£A”，其他条件不变，求实数。

的值.

解：因为2仁4,所以〃=2或/=2,即〃=2或〃=&或〃=一啦.经检验符

合元素的互异性.

2.(变条件)本例若去掉条件“1£A”，其他条件不变，则实数。的取值范围

是什么？

解：因为A中有两个元素。和片,所以。工，，解得。手0且々21.

3.(变条件)已知集合A含有两个元素1和层，若求实数。的值.

解：由可知，

当。=1时，此时。2=1,与集合元素的互异性矛盾，

所以

当〃=/时，〃=0或〃=[(舍去).

综上可知，a=0.

根据集合中元素的特性求值的三个步骤

/求解厢据集合中元素的确定性,解出字母的所有取值|

1,,

/检验夕葆据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验|

,I一，

/作答方■回出所有符合同意的字母的取值|

第二课时表示集合的方法

知识点一列举法

把集合中的元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫

作列举法.

用列举法表示集合的注意点

(1)元素与元素之间需用“，”隔开；

(2)集合中的元素必须是确定的；

(3)不必考虑元素出现的前后顺序，但不能重复.

知识点二描述法

把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的屋性描述出来，以确定这

个集合，这种表示方法叫作描述法.

用描述法表示集合的注意点

(1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等；

(2)说明该集合中元素的共同属性，如满足的方程、不等式、函数或几何图形

(3)所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确;

⑷“｛｝”有“所有”“全体”的含义，因此自然数集可以表示为｛也为自然数｝

或N,但不能表示为为所有自然数｝或｛N｝.

知识点三区间的相关概念

1.区间的概念及记法

设小匕是两个实数，且。＜儿我们规定：

定义名称符号数轴表示

{x\a<x<b}开区间(。，b)abx

闭区间[〃，blab«

左闭右开区间•。・

b)abx

o•»

左开右闭区间3abx

2.无穷大

实数集R可以表示为(-8,+8),符号“8”读作“无穷大”，“一8”

读作“负无穷大”，“+8”读作“正无穷大”.

3.特殊区间的表示

定义区间数轴表示

[x\x^a\[〃，+8)

{x\x>a}(a,+8)

{x\x^b}(.8,加

{x|x<Z?}(-8,力

理解区间概念时的注意点

(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用隔开；

(2)区间表示实数集的三个原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或

闭不能混淆；

(3)“8”读作“无穷大”，是一个符号，不是数，以“一8”或“+8”为

区间的一端时，这一端必须用小括号.

题型一"用列举法表示集合

▼

［例1］用列举法表示下列集合：

(1)方程X2—1=0的解组成的集合；

(2)单词“see”中的字母组成的集合；

⑶所有正整数组成的集合；

(4)直线y=x与y=2x—l的交点组成的集合.

［解］(1)方程f-1=0的解为工=-1或x=l,所求集合用列举法表示为{一

1,1).

(2)单词“see”中有两个互不相同的字母，分别为“s”“e”，所求集合用列举法

表示为{s,e}.

(3)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.

y=x,fx=1,

(4)方程组彳c，的解是，所求集合用列举法表示为{(1,1)}.

［y=2x-\［y=1,

列举法表示集合的步骤及注意点

列举法表示集合,要分清是数集还是点

分清元素

集

书写集合列元素时要做到不重复、不遗漏

［提醒］二元方程组的解集、函数的图象、点形成的集合都是点的集合，一

定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{(2,3),(5,-1)}.

题型二用描述法表示集合

［例2］用描述法表示下列集合:

(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;

(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;

(3)不等式X—2V3的解组成的集合.

［解］(1){(号y)\y=-x}.

(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成

的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x£R||x|

>3}.

(3)不等式4一2<3的解是xV5,则不等式X-2V3的解组成的集合用描述法

表示为{MxV5}.

描述法表示集合的2个步骤

分清楚集合中的元素是点逐是数或是其

写代表元素

他的元素

明确元素将集合中元素所具有的公共特征，写在聂

的侍征线的后面

用区间表示集合

［例3］(链接教科书第5无例5)用区间表示下列集合：

(I){x|x>-1}=；

(2){x|2〈xW5}=；

(3){x|xW—3}=；

(4){x|2WxW4}=.

［解析］(1)集合{小>一1}可用开区间表示为(-1,+8)；⑵集合{x|2VxW5}

可用半开半闭区间表示为(2,5］：(3)集合{4rW—3}可用半开半闭区间表示为(一

8,-3］：(4)集合{x|2WxW4}可用闭区间表示为［2,4J.

［答案］(1)(-1,+8)(2)(2,5］(3)(—8，-3］(4)［2,4］

用区间表示数集的方法

(1)区间左端点值小于右端点值；

(2)区间两端点之间用“，”隔开；

(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；

(4)以“一8”，“+8”为区间的一端时，这端必须用小括号.

1.1.2子集和补集

知识点一子集

1.韦恩图(Venn图)

用平面上封闭曲线的内部表示集合.如图这类表示两集合间关系的

示意图叫作韦恩图(即Venn图).

2.子集

定义：如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就说A

包含于见或者说8包含A,则称4是8的一个子集.

-Venn图：

A是8的

一个子集

1—符号表示或者KM.

3.两个集合相等

定义:如果AU8并且8UA,就说集合A,8相等.

A与B

相等

—符号表示:若AqB且纥弓，则A=8.

4.真子集

定义：如果但4W8,就说A是8的真子集.

-Venn图：

4是8的

真子集

一符号表示:也.

集合间关系的性质

(1)空集包含于任一集合，是任一集合的子集；

(2)任何一个集合都是它本身的子集，即4巨A；

(3)对于集合4,B,C,若A1B,且BGC,则AGC；若AB,BJC,则

4C.

1.符号与“三”有什么区别？

提示：①是表示元素与集合之间的关系，比如1£N,—14N.

②“工”是表示集合与集合之间的关系，比如NGR,｛I,2,3｝旦｛3,2,

③的左边是元素，右边是集合，而“三”的两边均为集合.

2.。与0,｛0｝,｛。｝有何区别？

提示：

0与0。与｛0｝0与{0}

相同点都表示无的意思都是集合都是集合

不同点0是集合；

0不含任何元素；｛0｝含一个0不含任何元素；｛0卜含一个

0是实数

元素0元素，该元素是。

关系0^0。{0}0{0}

知识点二补集

1.全集：如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集,

就可以约定集合U叫作全集(或基本集).

2.补集

若A是全集U的子集，U中丕虹A的元素组成的子集，叫作A的

定义

补集，记作［以

符号语言[uA={x-UU,且—

u__

图形语言

［注意］且KA｝

1.补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全

集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围.

2,补集的性质

(1)若A7U,则①［以7。；②［y(［u4)=A；③(［心)=0;④［W=U.

(2)已知ANU,BWU,相关结论如下：

①若AG8,贝此②若则AG3.

特别地，若A=3,则［uA=(u&反之，若［uA=［u8,则A=B.

题型一"集合间关系的判断

［例1］指出下列各对集合之间的关系：

(1)A={-1,1},3={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}；

(2)A={x|-14<4},B={x|x-5<0}；

(3)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};

(4)M={x|x=2〃-1,〃£N+},N={x|x=2〃+1,〃£N+}；

(5)A={x|x=2〃+3Z?,〃wZ,b£Z},B=(x\x=4m—3”，，九WZ,〃eZ}.

［解］(1)集合A的代表元素是数，集合8的代表元素是有序实数对，故A与

B之间无包含关系.

(2)集合B={x|x<5},用数轴表示集合4,B如图所示，由困可知4B.

______B

.!.A.!［.

-2-1012345x

(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A

B.

(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于〃WN+,因此集合M含有元

素“1”，而集合N不含元素“「'，故NM.

(5)A={戈|x=2a+3/?,〃£Z,b^Z］,因为任意〃eZ,〃=2X(一〃)+3〃£A,

所以4={x|x=2a+3b,〃eZ,b^Z］=Z,因为任意〃£Z,〃=4〃-3〃£B,所

以8={x|x=4m—3〃，m£Z,〃£Z}=Z,所以4=B=Z.

判断集合间关系的常用方法

(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定

义得出集合之间的关系；

(2)集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，

再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系.

一般地，设4={川〃伏)},B={x\q(x)}f①若由p(x)可推出如r),则AGB；②

若由q(x)可推出p(x),则BNA；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A=B；④若由

p(x)推不出q(x),由式x)也推不出p(x),则集合A,B无包含关系；

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其

中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法.

题型二确定有限集合的子集、真子集及其个数

［例2］(1)集合M={1,2,3}的真子集个数是()

A.6B.7

C.8D.9

(2)满足{1,2}M1{1,2,3,4,5}的集合M有个.

［解析］(1)集合M的算子集所含有的元素的个数可以有。个，1个或2个，

含有0个元素的真子集为。，含有1个元素的真子集有3个{1},{2},{3},含有

2个元素的真子集有{1,2},{1,3}和{2,3},共有7个真子集，故选B.

(2)由题意可得{1,2}MJ{1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有元素

1,2,且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如

下：

含有三个元素：{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};

含有四个元素：{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5);

含有五个元素：{1,2,3,4,5).

故满足题意的集合M共有7个.

［答案］(1)B(2)7

求集合子集、真子集个数的3个步骤

［例3］(1)设全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则［uM=()

A.UB.［1,3,5}

C.{3,5,6)D.(2,4,6)

(2)已知全集。=曰集合4=口枕<-2或x>2},则［必=.

［解析］(1)因为U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4),由补集的定义,

可知［uM={3,5,6).

(2)如图，在数轴上表示出集合A,可知［以={川-2《冗<2}.

__

-22«

［答案］(1)C(2)3—2WxW2}

求集合补集的2种方法

(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；

(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.

题型四由集合间的关系求参数值(范围)

[例4]已知集合A={M-3WxW4},B={x\\<x<m](m>\]f且则实数

的取值范围是.

［解析］由于B7A,结合数轴分析可知，加W4,

又加>1,所以l</nW4.

-3-2-10123m4%

［答案］(1,4］

［母题探究］

1.(变条件)本例若将改为“8={川0〈机}”，其他

条件不变，则实数机的取值范围是什么？

解：若mW1,则8=0,满足

若m>\,则由例题解析可知1<〃ZW4.

综上可知实数〃z的取值范围是(-8,4］.

2.(变条件)本例若将aB={x\\<x<m］(nt>lY，改为aB={x\2m-\<x<m+

1}”，其他条件不变，则实数机的取值范围是什么？

解：因为

①当B=0时，m+lW2/n—1,解得加22.

,3＜2加一1,

②当时，有＜〃z+lW4,

、2机-1＜m+1,

解得一1W机＜2.

综上得实数6的取值范围为［-1,4-oo).

3.(变条件)本例若将集合A,B分别改为4={-1,3,2/n-l},8={3,,n2},

其他条件不变，则实数机的值又是什么？

解：因为BGA,所以＞=2加一1,即(加-1)2=0,所以加=1,当机=1时，

A={-1,3,1),8={3,1}满足B7A.所以〃2的值为1.

由集合间的包含关系求参数的方法

(1)当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，建立方程(组)求

解，此时应注意分类讨论；

(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是

实点还是虚点.

［注意］(1)不能忽视集合为。的情形；

(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论.

1.1.3集合的交与并

知识点一两个集合的交

两个集合交运算的性质

AGB=BGA；AGA=A；AC0=。；AC\B=A^A^B.

知识点二两个集合的并

两个集合并运算的性质

AUB=BUA；AUA=A；AU0=A；AUB=A^>B^A.

对并集、交集概念的再理解

(l)AUB.都是一个集合；

(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言

或包含三种情况：“xWA,但依8"；“工但KA“；

且；

(3)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时

是两个集合中的元素.

集合AU8的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？

提示：不一定，AU3的元素个数小于或等于集合A与集合3的元素个数之

和.

题型一交集的运算

[例1](1)已知集合4={-2,0,3},B={Mf-x-2=0}：则AA8=()

A.0B.{2}

C.(0)D.{-2}

(2)设集合A="|—8={x［0Wx<4},则AH8=()

A.{x|0WxW2}B.{x|lWx<2}

C.{x|0WxW4}D.{和近xW4}

［解析］(1)

,4一

-2-101234人

方程f-x-2=0的解为工=-1或2,：.B={-lt2),・・・408=。.故选A.

(2)在数轴上表示出集合A与B,如图所示，则由交集的定义知，AQB=

304W2}.

［答案］(1)A(2)A

求两个集合的交集的方法

(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；

(2)对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于

两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍.

题型二

［例2］(链接效科书第10页例12)(1)已知集合M={x\-3<x^5}fN={x\x

V-5或x>5},则MUN=()

A.{HrV—5或x>—3}B.{x|-5<x<5}

C.(x|-3<x<5}D.{冰V-3或x>5}

(2)已知集合加={0,1},则满足MUN={0,1,2}的集合N的个数是()

A.2B.3

C.4D.8

f解析］(1)在数轴上表示出集合M,M图略)，可知MUN={HrV—5或

—3}.故选A.

(2)依题意，可知满足MUN={0,1,2}的集合N有{2},{0,2},{1,2),

{0,1,2),共4个.故选C.

［答案］(DA(2)C

求集合并集的2种基本方法

(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；

(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数

轴分析法求解.

题型三交集、并集、补集的综合运算

[例3](1)若全集U={1,2,3,4},集合M={x|f—41+3=0},N={x\^

一51+6=0},贝iJ(u(Mn7V)=()

A.{4}B.{1,2)C.{1,2,4)D.{1,3,4)

(2)已知全集U=R,集合A={x|xW0},8={x|x》l},则集合[u(AUB)=()

A.{小20}B.{x|xWl}

C.{x|O«l}D.{x|O<x<l)

［解析］(1)・・・M={1,3},N={2,3},・・・MnN={3},2,

4),故选故

(2)由已知,得4UB={x|xW0或x?l},故CU(AU8)=304<1},故选D.

［答案］(1)C(2)D

解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所绐集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交

集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解；

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数

轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.

题型四V由集合的并集、交集求参数

［例4］已知集合A={x|-3aW4},集合8={AU+1WXW2Z-1},且AU8

=A,试求上的取值范围.

[ft?](1)当B=0,即hH>2左一1时，辰2,满足AUB=A

(2)当时，要使AUB=A,

f-3<Ar+l,

只需，422Z—1,解得2WZW|.

限+1印一1,

5

综合(1)(2)可知，2的取值范围是［—8,2

［母题探究］

1.(变条件)把本例条件“AU3=A”改为"AnB=A”,试求A的取值范围.

解：由AAB=A可知A1A

kW—4,

—32%+1,

所以，即《

⑵:一124,k*,

所以k£0.

所以上的取值范围为包

2.(变条件)把本例条件“AU8=A”改为"AUB={x|—3<xW5}”，求Z的

值.

—3<k+lW4,

解:由题意可知<解得％=3.

⑵:-1=5,

所以2的值为3.

利用集合交集、并集的性质解题的方法

(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到AQB=A9AUB=B

等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析,

如AU8=BU>4G8等，解答时应灵活处理；

(2)当集合514时，如果集合4是一个确定的集合，而集合8不确定，运算

时一定要考虑8=。的情况，切不可漏掉.

1.2常用逻辑用语

1.2.1命题

知识点一命题的定义及分类

1.逻辑用语：在数学乃至科学中常用于引入概念、表述规律、推导定理法

则或交流信息的词语，经过规范化使之意义更为清楚严谨,这类词语叫做逻辑用

2.命题的定义：可判断真假的陈述句叫做命题.

3.命题的分类：判断为真(成立)的命题叫作真命题，判断为假(不成立)的命

题叫作假命题.

4.猜想：数学中暂时不知道真假的命题可以叫作猜想.

知识点二命题及其否定的结构形式

1.数学中，许多命题可表示为“如果p,那么夕”或“若p,则4”的形式,

其中区叫作命题的条件，4叫作命题的结论.

2.命题的否定：如果〃是一个命题，则“〃不成立”也是一个命题，叫作〃

的否定,记作定p,读作“非p”.

对一般命题若p,则q的否定为若0则，q

3.

［例

(1)3是有理数;

(2)3fW5；

(3)梯形是不是平面图形呢？

(4)一个数的算术平方根一定是负数.

［解］(1)”■^是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题.

(2)因为无法判断“3fW5”的真假，所以它不是命题.

(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题.

(4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是

命题.

判断语句是否是命题的策略

(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是

命题；

(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若

能，就是命题；若不能，就不是命题.

题型二

［例2］(链接教科书第14页例1)判断下列命题的真假，并说明理由.

(1)正方形既是矩形又是菱形；

(2)当x=4时,2x+l<0；

(3)若x=3或x=7,则(x—3)(x—7)=0.

［解］(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形.

(2)是假命题，x=4不满足2x+l<0.

(3)是真命题，x=3或x=7能得到。-3)。-7)=0.

命题真假的判定方法

(1)真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有

事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证;

(2)假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个

命题为假命题的常用方法.

题型三命题的结构形式

［例3］将下列命题改写成“若p,则g”的形式，并判断命题的真假：

(1)6是12和18的公约数的否定；

(2)当〃>—1时，方程加+公一1=0有两个不等实根；

⑶平行四边形的对角线互相平分；

(4)已知My为非零自然数，当y-x=2时，y=4,x=2.

［解］(1)若一个数是6,则它不是12和18的公约数，是假命题.

⑵若〃>一1,则方程加+〃-1=0有两个不等实根，是假命题.

(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题.

(4)已知x,y为非零自然数，若y-x=2,则y=4,x=2f是假命题.

将命题改写为“若P,则形式的方法及原则

［注意］若判断一个命题的真假性时，从原命题入手不易判断时，可以考虑

判断该命题的否定的真假性，根据〃与的真假关系得出结论.

题型四由命题的真假求参数的范围

［例4］(2021•苏州检测)已知集合4=［-3,6),3=(—8,㈤，若

是假命题，则实数。的取值范围是.

［解析］法一：若AGB=0是真命题，则々W—3,

・・・AnB=0是假命题时，a>-3.

法二：若403=0是假命题，则AGBW0是真命题，即集合A,3有公共元

素，在数轴上表示出两个集合，

t<U-4—>1，4

-30a6与-306ax

(1)(2)

易得a>—3.

［答案］(-3,+8)

由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤

第一步，明确命题的条件和结论；

第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件；

第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围.

［注意］若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对

应的补集.

1.2.2充分条件和必要条件

知识点一充分条件和必要条件

“若P，则4”是假命

命题真假“若P，贝iJg”是真命题

题

推出关系p0qp#q

〃叫作q的充分条件;q叫作p不是q的充分条件；

条件关系

p的必要条件g不是〃的必要条件

1.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系

(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；

(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.

2.充分条件、必要条件的理解

〃04可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于0的成立是充分的;

反过来，若夕不成立，则p必不成立，即4对于p的成立是必要的.

。想一想

LP是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？

提示：相同，都是pnq.

2.以下五种表述形式：①p=q；②p是g的充分条件；③4的充分条件是p；

④夕是p的必要条件；⑤p的必要条件是夕.这五种表述形式等价吗？

提示：这五种表述形式是等价的.

知识点二充分必要条件(充要条件)

1.定义：如果既有又有心，就记作即〃既是q的充分条件,

又是g的必要条件，此时我们称〃是夕的充分必要条件，简称充要条件.当然，

此时。也是〃的充分必要条件.

2.记法：如果〃是q的充要条件，就记作，今小称为“〃与4等价”，或

“p等价于q”.

3.传递性：和“o”都具有传递性，即

(1)如果pOq,q，s,那么〃弓

(2)如果〃今夕，q0s,那么〃合$.

对充分必要条件的再理解

(1)如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要

条件；

(2)p是q的充分必要条件op成立当且仅当q成立.

。想一想I

1.若p是夕的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法

对吗？

提示：正确.若〃是q的充要条件，则〃即〃等价于4

2.“p是q的充要条件”与的充要条件是，'的区别在哪里？

提示：〃是q的充要条件说明〃是条件，q是结论；〃的充要条件是q说明夕

是条件，〃是结论.

题型一充分、必要、充要条件的判断

［例1］下列各题中，〃是夕的什么条件?

(l)p：x=l或x=2,q：X—1=yjx—1；

(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分;

(3)p：xy>0,q：x>0,y>0；

(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.

I解］(1)因为工=1或x=20工一1=4—1,X—1=yjx—\^x=1或x=2,所

以P是4的充要条件.

(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p=q.反之,若

四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q合p.

所以〃是q的充分不必要条件.

(3)因为xy>0时，x>0,y>0或x<0,y<0.

故p#4,但qOp.

所以p是夕的必要不充分条件.

’四边彩的对角线用等0/四边彩是平行四边形，

⑷因为，

''［四边形是平行四边形o/四边形的对角线相等，

所以p是q的既不充分也不必要条件.

充分、必要、充要条件的判断方法

⑴定义法

若p0q,夕#P，则p是1的充分不必要条件；

若〃今夕，q—p，则〃是夕的必要不充分条件；

若pOq,q今p,则〃是q的充要条件；

若p今q,q#p、则p是q的既不充分又不必要条件.

(2)集合法

对于集合A={x|x满足条件〃},3={工仅满足条件夕},具体情况如下:

若A38,则〃是q的充分条件；

若A33,则〃是4的必要条件；

若A=3,则p是4的充要条件；

若AB,则p是q的充分不必要条件；

若A从则p是4的必要不充分条件.

题型二充分条件与必要条件的应用

［例2］已知p：—2WxWl(),q：1—AMWXW1+〃2(/H>0),若〃是夕的必要不

充分条件，求实数〃2的取值范围.

［解］p:—2WxW10,q:1—znWxW1+m(〃?>0).

因为〃是q的必要不充分条件，

所以4是〃的充分不必要条件，

即{x|l-mWxW1+/%}{川一2WxW10},

1—2,11—wi>—2,

故有V,或I.

[+〃2<101l+wiWlO,

解得mW3.

又加>0,所以实数的取值范围为{词0<mW3}.

［母题探究］

1.(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必

要条件”，其他条件不变，求实数机的取值范围.

解：p:-2WxW10,q:1—mWxW1+机（加>0）.

因为p是q的充分不必要条件,

1-mW—2,1—m<-2,

所以，或.

1+心1011+团210.

解得m>9,

故实数m的取值范围是{阳依29}.

2.(变设问)本例中p,夕不变，是否存在实数加使〃是q的充要条件？若存

在，求出机的值；若不存在，说明理由.

解：p:-2Wx<10,q*.1—mWxW1+m(m>0).

-2=1-m,

若〃是q的充要条件，则,方程组无解.

,10=l+w,

故不存在实数小，使得〃是q的充要条件.

充分条件与必要条件的应用技巧及求解步骤

(1)应用技巧：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的

值或取值范围问题；

(2)求解步骤：先把p,夕等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包

含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.

题型三v充要条件的证明

［例3］(链接数科书第17页例4)求证：方程W—2x-3〃?=0有两个同号且不

相等实根的充要条件是一；<小<0.

［证明］(1)充分性：・・・一*m<0,

/,方程x2—2x—36=()的判别式/=4+12〃z＞0,

且一3加＞0,

方程X2—2x—3/n=0有两个同号且不相等的实根.

(2)必要性：若方程f-Zx-3m=0有两个同号且不相等的实根，

4=4+12m＞0,I

则有彳解得一可＜加＜0.

RX2=-3"2＞O,J

综合(1)(2)知，方程％2一"一3"2=0有两个同号且不相