高考数学 过关检测2 新人教A版选修4-1

【创新设计】届高考数学过关检测2新人教A版选修4-1(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的)1．如图所示，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦CD的距离为()．A.eq\f(2\r(14),3) B.eq\f(28,9)C.eq\f(2\r(7),3) D.eq\f(80,9)解析过O作OH⊥CD，连接OD，则DH＝eq\f(1,2)CD，由相交弦定理知AE·BE＝CE·DE，而AE＝EB＝4.可设CE＝4x，则DE＝9x，所以4×4＝4x×9x，解得x＝eq\f(2,3)，即OH＝eq\r(OD2－DH2)＝eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)))2)＝eq\f(2\r(14),3).答案A2．如图所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点P，对角线AC、BD相交于点Q，则图中相似三角形共有()．A．4对B．2对C．5对D．3对解析由∠PAC＝∠PBD，可知△PAC∽△PBD，又∵∠ADB＝∠ACB，∴△AQD∽△BQC.又由割线定理得PD·PA＝PC·PB，且∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCD.又∵∠BAQ＝∠CDQ，∠BQA＝∠DQC，∴△AQB∽△DQC.∴总共有4对相似三角形．答案A3．如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()．A．120° B．136°C．144° D．150°解析要求圆心角∠BOD的度数，需求圆周角∠A的度数，由圆的内接四边形的性质知：∠A＝∠DCE，即求出∠ECD的度数．而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，可求出∠ECD＝72°，即∠A＝72°，故∠BOD＝2∠A＝144°.答案C4．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP∶PB＝1∶5，那么⊙O的半径是()．A．5eq\r(2)cm B．4eq\r(3)cmC．3eq\r(5)cm D．2eq\r(6)cm解析观察图形与分析已知条件可利用垂径定理来解．连接OC，则CP＝eq\f(1,2)CD＝5cm，设AP＝x，则PB＝5x，OC＝3x，OP＝2x，在Rt△OCP中，OC2＝CP2＋OP2，即(3x)2＝52＋(2x)2，解得x＝eq\r(5)，故OC＝3x＝3eq\r(5)cm.答案C5．如图所示，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是()．A．4 B．5C．6 D．7解析∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.答案B6．如图所示，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，下面结论：①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA；④PA·CD＝PD·AB.其中正确的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个解析根据割线定理，①式正确．答案A7．如图所示，已知O是圆心，直径AB和弦CD相交于点P，PA＝2，PC＝6，PD＝4，则AB等于()．A．3B．8C．12解析要求AB的长，需求出PB的长，由相交弦定理知：PA·PB＝PC·PD，解得PB＝eq\f(PC·PD,PA)＝eq\f(6×4,2)＝12，故AB＝PA＋PB＝14.答案D8．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则eq\f(BD,DA)＝()．A.eq\f(16,9) B.eq\f(25,9)C.eq\f(25,16) D.eq\f(5,3)答案A9．如图所示，PA切圆于A，PA＝8，直线PCB交圆于C、B，连接AB、AC，且PC＝4，AD⊥BC于D，∠ABC＝α，∠ACB＝β，则eq\f(sinα,sinβ)的值等于()．A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2D．4解析要求eq\f(sinα,sinβ)，注意到sinα＝eq\f(AD,AB)，sinβ＝eq\f(AD,AC)，即eq\f(AC,AB)＝eq\f(sinα,sinβ)，又△PAC∽△PBA，得eq\f(AC,AB)＝eq\f(PC,PA)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).答案B10．如图，AT切⊙O于T，若AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，则BC等于()．A．3B．4C．6解析∵AT为⊙O的切线，∴AT2＝AD·AC.∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB，即eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)，∴BC＝eq\f(DE·AC,AE)＝eq\f(2×9,3)＝6.答案C二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，将正确答案填在横线上)11．如图所示，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，D为垂足，AB＝8，若BD＝3AD，则CD＝________.解析连接AC，BC，∵AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，D为垂足，由射影定理得CD2＝AD·BD.又∵AB＝8＝AD＋DB，BD＝3AD，∴AD＝2，BD＝6.故CD2＝2×6＝12，∴CD＝2eq\r(3).答案2eq\r(3)12．如图所示，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2.AC是⊙O的直径，PC与⊙O交于点B，PB＝1，则⊙O的半径r＝________.解析依题意，△PBA∽△ABC，所以eq\f(PA,2r)＝eq\f(PB,AB)，即r＝eq\f(PA·AB,2PB)＝eq\f(2×\r(22－12),2×1)＝eq\r(3).答案eq\r(3)13．已知⊙O和⊙O内一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________．解析如图所示，延长OP分别交⊙O于C、D两点．不妨设该圆的半径为r，则有PC＝OC－OP＝r－5，PD＝OP＋OD＝r＋5，∴PA·PB＝PC·PD，∴r2－25＝24，∴r＝7.答案714．如图所示，AB为⊙O的直径，AB＝2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在eq\x\to(AC)上，eq\x\to(AD)＝2eq\x\to(CD)，点P是OC上一动点，则PA＋PD的最小值为________．解析满足PA＋PD最小的点为：连接BD交OC于点P.由于AO⊥OC，则eq\x\to(AC)的度数为90°.又eq\x\to(AD)＝2eq\x\to(CD)，∴∠B的度数为30°.又AB为直径，连接AD，则∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，BD＝2cos30°＝eq\r(3).∴AP＋PD＝PB＋PD＝BD＝eq\r(3).答案eq\r(3)15．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2)，eq\f(PC,PD)＝eq\f(1,3)，则eq\f(BC,AD)的值为______．解析由题意可知△PBC∽△PDA，于是由eq\f(BC,DA)＝eq\f(PB,PD)＝eq\f(PC,PA)，得eq\f(BC,AD)＝eq\r(\f(PB,PD)·\f(PC,PA))＝eq\r(\f(1,6))＝eq\f(\r(6),6).答案eq\f(\r(6),6)16．如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30°，则圆O的面积是________．解析∵在⊙O中，∠ACD＝∠ABC＝30°，且在Rt△ACD中，AD＝1，∴AC＝2，AB＝4，又∵AB是⊙O的直径，∴⊙O的半径为2，∴圆O的面积为4π.答案4π三、解答题(本大题共5小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，△ABC内接于圆，AD切圆于A，E是BA延长线上一点，连接CE交AD于D点．若D是CE的中点．求证：AC2＝AB·AE.证明过E作EF∥AC交AD的延长线于点F.∵CD＝DE，∴△ACD≌△FED，∴AC＝EF(AC2＝AB·AE等价于AC·EF＝AB·AE)．又∵AD是圆的切线，∴∠B＝∠CAF.又EF∥AC，∴∠BAC＝∠AEF，∠CAD＝∠F，∴∠B＝∠F，∴△ABC∽△EFA.∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(EF,AE)，∴AC·EF＝AB·AE，即AC2＝AB·AE.18．(10分)已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．(1)求∠ADF的度数；(2)AB＝AC，求AC∶BC.解(1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC.又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB.∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD即∠ADF＝∠AFD，又因为BE为圆O的直径，∴∠DAE＝90°，∴∠ADF＝eq\f(1,2)(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,AB)，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°，∴在Rt△ABE中，eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,AB)＝tan∠B＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).19．(12分)如图所示，在△ABC中，I为△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC外接圆于E.求证：(1)IE＝EC；(2)IE2＝ED·EA.证明(1)连接IC，∵I为内心，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.∵∠1＝∠5，∴∠2＝∠5.∴∠3＋∠2＝∠4＋∠5，∴∠EIC＝∠ECI.∴IE＝CE.(2)∵∠E＝∠E，∠2＝∠5，∴△ECD∽△EAC，∴eq\f(CE,DE)＝eq\f(AE,EC)，∴CE2＝AE·DE，∴IE2＝AE·ED.20．(12分)如图所示，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q.求证：AB2＝4AP·BQ.证明法一连接OP、OQ，如图所示．∵AP、PQ、BQ为⊙O的切线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又AP、BQ为⊙O的切线，AB为直径，∴AB⊥AP，AB⊥BQ.∴AP∥BQ.∴∠A＝∠B＝90°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝90°.∵∠1＋∠5＝90°，∴∠4＝∠5.∴△AOP∽△BQO.∴eq\f(AO,BQ)＝eq\f(AP,OB).∵AB＝2AO＝2OB，∴AB2＝4AP·BQ.法二连接OC.同上可证得∠2＋∠3＝90°.∵PQ切⊙O于C，∴OC⊥PQ.在Rt△PQO中，由射影定理可得OC2＝PC·CQ，利用切线长定理，有PC＝AP，BQ＝QC.OC2＝AP·BQ，∵AB＝2OC，∴AB2＝4AP·BQ.法三如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D.∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C，∴∠A＝∠B＝90°，AP＝PC，CQ＝BQ.∴四边形ABDP为矩形，PQ＝AP＋BQ.∵AP＝BD，AB＝PD.在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ2＝PD2＋QD2，∴(AP＋BQ)2＝AB2＋(BQ－AP)2.∴4AP·BQ＝AB2.21．(12分)如图所示，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直于直线O