2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何测评试题新人教A版选择性必修第一册

第一章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.(2021湖北黄冈检测)设点〃(1,1,1),4(2,1,-1),0(0,0,0).若初57=荏，则点8的坐标为()

A.(1,0,-2)B.(3,2,0)

C.(1,0,2)D.(3,-2,0)

2.已知A,B,C,D,E是空间中的五个点,其中点A,B,C不共线,则“存在实数％%使得屁荏+画”

是“瓦■〃平面4%'的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.(2021安徽芜湖期中)已知点4(4,1,3),6(2,3,1),<7(5,7,3),又点P(x,T,3)在平面48C内,则x

的值为()

A.14B.13

C.12D.11

4.在平行六面体ABCD-ABCD中，其中AB=BC=BB\=1,ZABBxABC=Z,AE则

阳£7=()

A.25B.5C.14D.V14

5.(2021广东广州期中)如图，也N分别是四面体OT6c的棱OA,6c的中点,设瓦?田，而力，沅三,若

MN=更贝ljx+y-z=()

也

A

C

A.-B.iC.-

222

6.（2021北京宜城期中）我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵

是底面为直角三角形的直三棱柱.在堑堵ABC-ABC、中，4%4M42,一为BC的中点，则宿•

丽=（）

A.6B.-6C.2D.-2

7.如图，在三棱柱ABC-ABG中，皿」底面ABC,AA^,AB=AC=BC^,则44与平面ABC所成角的大小

为（)

A.30°B.45°

8.如图，己知四棱锥产力的底面力腼是等腰梯形,AB//CD,且ACLBD,然与初交于0,尸。，底面

ABCD,PO2仍2夜,E,尸分别是AB,小的中点.则平面乃与平面OEA夹角的余弦值为（）

A.eB.更C.巫D.渔

3333

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.有下列四个命题，其中是真命题的有（）

A.若p-Aa+vb,则p与a,b共面

B.若p与a,b共面,则p=Aa+/b

C.若丽=加5+施瓦则P,M,46共面

D.若P,JZA,8共面，贝1］丽=;而?+.硒

10.（2021安徽黄山期中）如图,在空间四边形OABC^,G〃分别是△/阳△戚的重心,设

65恐,赤下列结论正确的是（）

o

A.OG=i(a+b+c)

B.若瓦彳A.~BCfOBLACt贝1AB

C.OG=-a+-b+-c

333

D.GH=-a

3

11.已知在平行六面体ABCD-A\BCD\中，N4AD=/AMB=NBAD$0°,AAx=AB=AD,E为44的中点.给出

下列四个说法:

①/及①为异面直线AD与CC、所成的角;

②三棱锥4T劭是正三棱锥；

③血平面BB\D\D;

®CE=^AD-AB+AA^.

其中正确的说法有（）

A.①B.②

C.③D.④

12.（2021湖北黄冈期中）如图，在菱形ABCD中,AB2NBAI）$0°,将△/（即沿对角线劭翻折到4

质位置,连接尸C则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A.PC与平面及力所成的最大角为45°

B.存在某个位置，使得PBLCD

C.存在某个位置，使得5到平面如C的距离为百

D.当二面角P-BD-C的大，卜为90°时,夕小逐

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.（2021北京顺义区检测）已知空间向量a=（2,3,1）,b=（Y,2,*）,且a±b,则/b/=.

14.在四面体ABCD中,已知后为线段回上的点，0为线段场上的点,且熊=^BC,DO=|屁,若

1W=XAB+yAC+zAD,贝！］xyz的值为.

15.（2021上海青浦期末）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为子,半径为18cm的扇形，则圆锥的母线

与底面所成角的余弦值为.

16.（2021浙江诸暨期中）如凰在三棱柱ABC-A^a中,AB,AC,两两互相垂直,AB=AC=AAhM,N分另ij

是侧棱BB“CG上的点,平面4町与平面4鸵的夹角为g则当⑻〃最小时，NAMB=_________.

6

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）（2021湖北武汉期中）如图，在三棱锥P-ABC中，点D为棱重上一点,且CD^IBD,点M为线

段/〃的中点.

尸

(1)以｛荏，而，而｝为一组基底表示向量丽；

⑵若AB=AC^>,AP=A,NBAC=/PAC$Q°,求丽■AC.

18.(12分)(2021河北保定期中)已知a=(3,5,"),b=(2,1,8).

⑴求a•b;

⑵求X,〃的值使得/la+〃b与z轴垂直，且(Xa+〃b),(a+b)与3.

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中,底面/腼为矩形,侧棱为，底面ABCD,AB=®BC=\,PA2E

为阳的中点.

⑴求cos乖，而，的值;

⑵在侧面场历内找一点A；使平面PAC,并求出N到四和肝的距离.

20.(12分)在平行六面体ABCD-ABC心中，底面48缪是边长为1的正方形，/厉14=/

DAA\AC\726.

(1)求侧棱的长;

(2)必N分别为"G,CB的中点,求宿•标及两异面直线/G和的夹角.

21.（12分）（2021黑龙江哈尔滨期中）如图，在四棱锥E-ABCD中,平面加幻_平面ABCD,0,M分别为线

段AD,应'的中点.四边形以力。是边长为1的正方形,小=加；AELDE.

（1）求证：〃平面ABE;

（2）求直线如与平面/跖所成角的正弦值.

22.（12分）（2021云南大理期中）如图，在四棱锥P-ABCD中,四边形力比®是等腰梯形，且

AD^AB^BC^CD,E,尸分别是线段怨然的中点,PA=PD,平面处〃1平面ABCD.

⑴证明：”平面"G9;

（2）求平面/I位与平面4龙所成夹角的取值范围.

第一章测评

1.B设8(*,必z),则荏=(*-2,yT,z+1).

因为丽=万，丽=(1,1,1),

所以(1,1,l)=(x-2,y-l,z+l),

所以"3,片2,z=0,即点8为(3,2,0).

2.B根据题意，若存在实数x,必使得丽=%荏+函，则应1〃平面ABC或DEu平面ABC,

反之,若彼〃平面ABC,则向量屁与荏，前共面,又由点A,6C不共线,故一定存在实数局％使得

屁=xAB+yAC,

故“存在实数x,%使得屁=x荏+限”是“Z应〃平面4必’的必要不充分条件.

3.B因为点4(4,1,3),8(2,3,1),以5,7,-5),P{x,-1,3),

所以屏=(xY,-2,0),荏=(-2,2,-2),尼=(1,6,-8).

因为点P(x,-1,3)在平面业心内，

则存在实数叫",使得标="词+嬴，

所以(xM,-2,0)=z»(-2,2,-2)+n{\,6,-8),

x-4=-2m+n,

-2=2m+6n,

I0=-2m-8n,

解得x=13.

4.B在平行六面体ABCD-A\BC"中，其中AB=BC=BB、=\,/45»产/4笫=/a6＜胃,荏之西,

瓦石=瓦彳+族=C^D+2BD^=京+方+2（正+方+西）-2就+3万+西，

2

O2=（2就+3CD+西）2=4BC2%而2+西+2/2BC/•/3CD/cos60°+2/2BC/•西/cos60°

+2/3而/•E/COS60°H为+1与吆+3=25,

阳切三瓦瓦/力^石.

5.A因为分别是四面体OT6C的棱力,欧的中点,

所以丽=HlA+AC+CN=^OA+(OC-0^4)+而=1a+c-a^(OB-而)=**b*,

又MN-AStrb+zc,

所以x=T，T，z韦

贝I」x+y-z=^+1-2T.

6.A根据堑堵的几何性质可知,4U_/CAA^AB,AA^AC,

因为宿=m+何，而=西+=痂+"前一而）,

-AB)J^4C-Z47+17C2-^AC-AB+~AA^+|^4C•

所以宿•前=（元+京）•IAA1+^(AC

A^-iAA^-AB=2M=6.

7.A取46的中点以4A的中点£连接。〃偌分别以为,九庞所在直线为x轴、y轴、z轴建立

空间直角坐标系,

可得4(1,0,0),4(1,0,3),故苑=(0,0,3),而4(T,0,3),6(0,V3,3),设平面ABC的法向量为

m=(a,b,c),

根据m,AB1=0,m,AC[=G,解得m=(3,rjG,2),cos<in,44；〉=巾,""=2.故加।与平面ABiG所成角

|WI||AA7I

的大小为30°,故选A.

8.B由题意，以。为坐标原点，微％”所在直线分别为“轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直

角坐标系，由题知，0A=0B=2,则4(0,-2,0),8(2,0,0),尸(0,0,2),

/.Ml,-1,0),Mo,-1,1),

...丽=(1,T,0),历^(O,T,1),设平面向正■的法向量为m=(x,y,z),

则1m•丝=°,即二「令*=1，可得m=(l,1,1),易知平面面£■的一个法向量为n=(0,0,1),

tm•OF=0,(少+z=0,

则cos<in,2=更设平面R应与平面OEA夹角为0、则cos0-/cos<m,n>/—.

|m||n|V333

9.AC若p=xa±yb,则p与a,b肯定在同一平面内，故A正确；

当p与a,b共面时,若a与b共线,则p就不一定能用a,b表示，故B错误；

同理,D错误;

若而=丽?土而及则而，拓?，丽三向量在同一平面内，所以2M,A,6共面,故C正确.

10.ABD对于A和C选项，是△/a'的重心，

：.0G=OA+AG,AG=^AD,AD=OD-OA.OD=；(OB+OC),

：.0G=OA+l^(OB+OC)-OA\="瓦？+而+况)W(a+b+c),故A正确,C错误；

对于B,若"1BC,OB1.AC,则力•BC^,OB-AC^,

：.0C-AB=(OB+FC)•(AC+CB)-AC+'OBCB+JC-AC+~BC-'CB=OC-'CB+'BC-

AC=~BC•(AC-OC^^BC-AO=Q,

...沆_L而，故B正确；

GH=OH-OG,OH=^OD,OD=；(OB+OC),

.,.GH=[(b+c)-(a+b+c)=3a,故D正确.

11.BD①N6CG=120°,而异面直线/〃与阳所成的角为60°,故①错误；

②三棱锥4T朋的每个面都为正三角形,故为正四面体,故②正确；

④根据向量加法的三角形法则,CE=CB+BA+AA^+7^E=^AD-AB+AA^+^AD^AD-AB+

彳否,故④正确；

③因为前=AD-AB,

所以无.丽=^AD-AB+7^)•(AD-AB')\ADf-^AD-AB-AB-AD+IABF+AA1-AD-

瓯•同而/*|而f卞而，尸+同行|而『T\AD号丽/WO,

所以龙与劭不垂直，又Bg平面BBQD,故应与平面8退〃〃不垂直,故③错误.

12.BD选项A,如图，取劭的中点0,连接OP,0C,则OP=OC^i.

D■纥总Cc

由题可知I,△脸和48切均为等边三角形，

由对称性可知,在翻折的过程中,凡•与平面腼所成的角为/尸内

当尸66时，△幽为等边三角形，此时N/T0=60°乂5°,即选项A错误.

选项B,当点P在平面6曲内的投影为△时的重心点。时,有平面BCD,BQLCD,J.PQVCD,

又BQCPQ=Q,BQ,Pg平面PBQ,：.C»_L平面PBQ,

,:P吐平面PBQ,C.PBLCD,即选项B正确.

选项C,取徵的中点A；连接BN,PN,个氏

如果6到平面门笫的距离为8,则以工平面PCD,

<PB2BN=y[3,：.PN=1,DN=\,所以PD电,显然不可能，故C错误.

选项D,当二面角尸-加七的大小为90°时,平面分平面BCD,取物的中点0,连接OP,OC.

'：PB=PD,：.OPLBD,

•平面WPI平面BCD=BD,

例1平面BCD,：.OPVOC,

又8=。。=百，...△△%为等腰直角三角形，

：.PC^[2OP^[6,即选项D正确.

13.2V6：a=(2,3,l),b=(W2,x)^a_Lb,

/.a,b=-8阳

解得x2

.•.b=I,2,2),

,b/R(-4)2+22+2224

14.展因为£为线段a'上的点，。为线段应'上的点,且丽=^BC.DO=

所以而=而+前=而+|DE=而+|（而+直）金+|（而+讨）=^4D+|^AB-AD+

乙前―都）上近+三AC+-AD,

33555

又方=xAB+yAC-f-zAD,

所以X3,片2等

所以入彩嗫.

15.|设母线长为/，底面圆的半径为r,

因为圆锥的侧面展开图是圆心角为仔,半径为18cm的扇形，

所以7—18,且18X^-=2Jtr,

解得r=12,

设圆锥的母线与底面所成角为0,

则cos，q=葛=|,

ilo3

所以圆锥的母线与底面所成角的余弦值为|.

16.y以点A为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示，

4

A

设CN=b,BM=a,AB=AC=AAi=lt

则N(0,1,3,Ml,0,力4(0,0,0),B(l,0,0),

所以府二(1,0,⑷，前二(0,1").

设平面的法向量为n=(x,y,z),

则，i•~AM=%+QZ=0,

(n,AN=y+bz=0,

令z=l,则n=(-a,-6,1),

平面4%的法向量为m=（0,0,1）,

因为平面刃邠与平面力应■所成的夹角为3

6

所以cosg=/cos血n)/」m；7=/：="化简可得3才+3。泊,

6|m||n|y/a2+b2+l2

当/仇"/最小时,则b$,BM=a^

所以X.w\Z.AMB=—=-i-=V3,

BMv3

则

17.解(1)为线段/〃的中点,

：.AM=-AD.

2

"：CD=2BD,：.BD=^BC,

-->-，,1i———，1-――，1/■—■■■»1———»\”.―一1IAB+^(BA+

：.PM=PA+4M=P4+^AD=P4++BD)=PA+=Pi4+|

］赤+?荏后而+［而)=一而+：荏+,前.

AC)

⑵而•前=(次+工荏+忘)•AC=--AP•AC+-AB•AC+-AC2=-/AP//AC/•cosZ

3636

PA0\ABI[AC/cos4BAC2\ACX3X-+iX3X3"+三X32-6足+--3.

36232622

18.解⑴因为a=(3,5,-4),b=(2,1,8),

所以a•b=3X2当X1MX8=-21.

⑵取z轴上的单位向量n=(0,0,1),又a+b=(5,6,4),由题意,得卜加+西飞=°,

l(Aa+・(a+b)=53,

匕匕［、」(34+2〃,52+/z,-4A+84)•(0,0,1)=0,

所以《

1(32+2出54+^-42+8〃)•(5,6,4)=53,

即*瑞大3解得八咦

19.解在四棱锥PT腼中，底面四切为矩形，

侧棱川，底面ABCD"B5,BC=1,PAAE为"的中点.

以4为坐标原点所在直线为x轴，川9所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,

如图,

则力(0,0,0),如后,1,0),尸(0,0,2),6(遮,0,0),

⑴，前二(b,1,0),而=(我,0,-2),

cos加,而>=空/里=.

\AC\\PB\V4x5/714

(2)设在侧面PAB内找一点N〈a,0,c),使A宏L平面PAC,〃(0,1,0),40彳,1),泥=

(口,2),存=(0,0,2),AC=(V3,1,0),

’而•而=2(l-c)=0,

解得a*,c=l,

NE-AC=-V3a+-=0,6

2

到4?的距离为1,N到/一的距离为，.

6

20.解⑴设侧棱44=%

•.•在平行六面体ABCD-A\KCD\中，底面被力是边长为1的正方形,且四W0°,

：.[AB/=郁f=\…丽『=丸AB-AD=0,ABAAi=^,AD-AA1=

又宿=AB+AD+AA^,

.'.ACi=(AB+AD+AA^^,ABADAAt/^2AB-AD^2AB-AA^2AD-AA^G,

：.x+2x-24-0,'：x>0,：.x^i,

即侧棱44N.

⑵•.,碣=AB+AD+AA1,MN=^DB=1(XB-AD),

：.ACi-l^N=^(AB-AD)•(AB+AD+AA^)(AB2-AD2+AB-AA^-AD-AA1)=i(1-1+2-

2)=0,

两异面直线/G和腑的