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文档简介
九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形章节测评
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新
的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,四边形46切内接于。。,若四边形力灰力是菱形,则NO的度数为()
A.45°B.60°C.90°D.120°
2、直角三角形△及16一条边为18,另一顶点尸在直线/上,下面是三个学生做直角三角形的过程以
及自认为正确的最终结论:
甲:过点力作/的垂线,垂足为4;过点6作/的垂线,垂足为月;作/A,8A.故符合题意的点P
有三处;
乙:以4?为直径作圆,与交/于两点在、孔故符合题意的点夕有两处;
丙:过点4作几4_L〃,垂足为4交/于点A;过点8作&垂足为氏交/于点&故符合
题意的点户有两处.
下列说法正确的是()
B
A
A.甲的作法和结论均正确
B.乙、丙的作法和结论合在一起才正确
C.甲、乙、丙的作法和结论合在一起才正确
D.丙的作法和结论均正确
3、如图,△4GC内接于/从0=30°,BC=6,则。0的直径等于()
A.10B.6夜C.675D.12
4、如图,四边形46(力内接于若NC=130。,则N3。。的度数为()
C.130°D.150°
5、如图,在中,ZABC=90\ZBAC=30\AC=8.将AABC绕点A按逆时针方向旋转90。后
得到△ABC',则图中阴影部分面积为()
B
7)ft-
A.4万B.8兀-&5C.4兀-4布>D.4拒兀
6、如图,AB,BC,5分别与。。相切于区F、G三点,豆.AB"CD,的=3,C0=4,则如的长为
()
7、如图,月6是。。的直径,切为弦,OLLAB于点、E,则下列结论中不成立是()
A.弧4C=弧/〃B.弧况、=弧"C.CE=DED.OE=BE
8、如图,是。。的直径,点。是。。上一点,若N阴。=30°,BC=2,则的长为()
C.8D.10
9、如图,。。是正方形A8co的外接圆,若。。的半径为4,则正方形ABC。的边长为()
A.4B.8C.242D.4尤
10、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与/距离都为20勿的宋代碑刻/,B,在小路/上有一
座亭子2A,。分别位于8的西北方向和东北方向,如图所示.该村启动“建设幸福新农村”项
目,计划挖一个圆形人工湖,综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素,需将碑刻
A,6原址保留在湖岸(近似看成圆周)上,且人工湖的面积尽可能小.人工湖建成后,亭子。到湖
岸的最短距离是()
北
A
P
B
A.20mB.20应加
C.(2072-20)mD.(40-2072)m
第n卷(非选择题70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,将半径为4,圆心角为120。的扇形〃仿绕点4逆时针旋转60°,点0,8的对应点分别为
O',B',连接掰',则图中阴影部分的面积是.
2、斛是中国古代的一种量器.据《汉书•律历志》记载:“斛底,方而圜(huan)其外,旁有庞
(tiao)焉”.意思是说:“斛的底面为:正方形外接一个圆,此圆外是一个同心圆”.如图所
示,
问题:现有一斛,其底面的外磔直彳至为两尺五寸(即2.5尺),“鹿旁”为两寸五分(即两同心圆的
外圆与内圆的半彳至本季为0.25尺),则此斛底面的正方形的边长为尺.
3、如图,在Rt^ABC中,NC=90。,分别以A3、BC、AC边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史
上称为“希波克拉底月牙”.当AB=8,3c=4时,则阴影部分的面积为.
AB
4,如图,已知。尸的半径为1,圆心户在抛物线〉=-;/+1上运动,当0P与x轴相切时,圆心户的
横坐标为.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、阅读下列材料,完成相应任务:如图①,AABC是。。的内接三角形,A8是。。的直径,A£>平分
NBAC交。。于点。,连接BE),过点。作。。的切线,交AB的延长线于点E.贝U/C4Z>=N3OE.下
面是证明ZCAD=的部分过程:
图①图②
证明:如图②,连接。
QAB是。。的直径,.•.NAD3=90。,
.-.ZODA+®________=90°.(1)
•.•DE为。0的切线,.♦.NO£>E=90。,
;.NODB+NBDE=9Q。,(2)
由(1)(2)得,②.
AD平分ZBAC,.'.ZCAD=ZOAD.
OA=OD,:.ZOAD=NODA,
ACAD=③,
:.ZCAD=ZBDE.
任务:
(1)请按照上面的证明思路,补全证明过程:①,②,③;
(2)若。4=5,8E=2,求。E的长.
2、如图,在心“ABC中,ZACfi=90°,切平分ZACB.P为边比'上一动点,将AOPB沿着直线加翻
折到ADPE,点£恰好落在KDP的外接圆。。上.
(1)求证:〃是4?的中点.
(2)当/3DE=60。,8P=也时,求〃C的长.
(3)设线段施与。。交于点。,连结QC,当8垂直于ADPE的一边时,求满足条件的所有NQCB的
度数.
备用图
3、已知,户是直线48上一动点(不与46重合),以尸为直角顶点作等腰直角三角形阳ft点后是
直线/〃与△阳〃的外接圆除点〃以外的另一个交点,直线应■与直线如相交于点人
(1)如图,当点尸在线段18上运动时,若/颂=30°,PB=2,求小'的长;
(2)当点P在射线相上运动时,试探求线段48,PB,所之间的数量关系,并给出证明.
4、如图,在平面直角坐标系x0y中,△勿6的顶点坐标分别为0(0,0),A(5,0),B(4,-3),
将△046绕点。顺时针旋转90°得到△以'B',点/旋转后的对应点为4.
(1)画出旋转后的图形△/'B',并写出点/的坐标;
(2)求点6经过的路径B夕的长(结果保留“),
yh
5、如图,在RtAABC中,ZACB=90°,。为4。上一点,以点。为圆心,。。为半径的圆恰好与四相
切,切点为〃,。。与4。的另一个交点为反
(1)求证:60平分ZA8C;
(2)若ZA=30。,AE=1,求60的长.
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
Aa+b=180?
设N4屐a,NAB小8,由菱形的性质与圆周角定理可得1屋求出£即可解决问题.
1a二b
i2
【详解】
解:设:NADOa,NABOB;
•••四边形46co是菱形,
二NABO/AOC=P;
ZAD(=\J3;
••・四边形ABC。为圆的内接四边形,
a+£=180°,
ia+b=180?
.1,
••11.,
ia=b
i2
解得:£=120°,。=60°,则N/l叱60°,
故选:B.
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理及其应用,圆的内接四边形的性质,菱形的性质;掌握“同圆或等圆中,
一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.
2、B
【分析】
根据三个学生的作法作出图形即可判断
【详解】
解:甲的作图如下,
Pl尸3Pl
6不是直角三角形,故甲的不正确
根据直径所对的圆周角是直角可知,乙的作法正确,但不完整,
丙的作法如下,
PlPl
丙的作法也正确,但不完整,
乙、丙的作法和结论合在一起才正确
故选B
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定,直径所对的圆周角是直角,根据题意作出图形是解题的关键.
3、D
【分析】
连接如,06,根据圆周角定理求出N6%的度数,再由妙冗判断出△皈是等边三角形,由此可得
出结论.
【详解】
解:连接第0C,
-----^C
VZ5>10300,
,乙B(X>60°.
VOB=OC,BC=6,
△仍C是等边三角形,
二OB=B(=Q.
的直径等于12.
故选:D.
【点睛】
本题考查的圆周角定理,根据题意作出辅助线,构造出等边三角形是解答此题的关键.
4、B
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出N/的度数,根据圆周角定理计算即可.
【详解】
解:•••四边形4?切内接于。0,
:.ZA+ZDCB=}80°,
•:NDCB=130°,
:.ZA=50°,
由圆周角定理得,ZBOD=2ZA=100°,
故选:B.
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
5、B
【分析】
阴影部分的面积=扇形ACC'-扇形AOB-S.c-根据旋转性质以及直角三角形的性质,分别求出对
应扇形的面积以及AA3C.的面积,最后即可求出阴影部分的面积.
【详解】
解:由图可知:阴影部分的面积=扇形ACC'-扇形AOB'-S.c,
由旋转性质可知:ZCAC=ZBAB,=90°.\ABC\ABC)
:.AB=AB,AC=AC=8,
•.•在AABC中,ZABC=90°,NBAC=30°,4c=8,
BC=-AC=4,ZDAB=NBAB'-NBAC=60°,
2
有勾股定理可知:AB=>JAC2-BC2=443>
・•・阴影部分的面积=扇形ACC一扇形AOB,-S.c
90x8760x(46)21*44x4
3603602
=8〃—8V3•
故选:B.
【点睛】
本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式,熟练利用旋转性质,得到对应扇形的半径和圆心角度
数,利用扇形公式求解面积,这是解决本题的关键.
6,D
【分析】
连接M0E,0G,根据切线的性质及角平分线的判定可得如平分ZABC,0C平分NBCD,利用平行
线的性质及角之间的关系得出/8OC=90。,利用勾股定理得出3c=5,再由三角形的等面积法即可
得.
【详解】
解:连接明0E,0G,
':AB,BC、切分别与。。相切,
AOE±AB,OFVBC,OGVCD,且OE=OF=OG,
二仍平分/ABC,0c平分/BCD,
・・・NOBC=L/ABC,ZBCO=L/BCD,
22
・.・AB//CD,
:.ZABC+ZfiCD=180°,
・・.ZOBC+ZBCO=-ZABC+-/BCD=90°,
22
JZBOC=90°,
BcZoif+OC?=5,
・・_~2・一3・,
.•.。尸=火」,
55
故选:D.
【点睛】
题目主要考查圆的切线性质,角平分线的判定和性质,平行线的性质,勾股定理等,理解题意,作出
辅助线,综合运用这些知识点是解题关键.
7、D
【分析】
根据垂径定理解答.
【详解】
解:..36是。。的直径,切为弦,CDLAB于点E,
二弧然=弧被弧弧微CE=DE,
故选:D.
【点睛】
此题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,熟记定理是解题的关键.
8、A
【分析】
根据直径所对的圆角为直角,可得NC=90。,再由直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的
一半,即可求解.
【详解】
解:是。。的直径,
ZC=90°,
为C=30°,BC=2,
AB=2BC=4.
故选:A
【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆角,直角三角形的性质,熟练掌握直径所对的圆角为直角;直角三角形
中,30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
9、D
【分析】
连接如,OC,过点。作施工犯于点反由等腰直角三角形的性质可知物跳;由垂径定理可知
B(=2BE,故可得出结论.
【详解】
解:连接如,OC,过点。作施工勿于点£,
AOB^OC,/加G=90°,
:.4OB方45°,NBOE=45。
二O&BE,
"?0点B»=08,
:.B02B氏4近,即正方形46(力的边长是4忘.
故选:D
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出等腰直角三角形是解
答此题的关键.
10、D
【分析】
根据人工湖面积尽量小,故圆以为直径构造,设圆心为0,当0,0共线时,距离最短,计算即
可.
【详解】
•.•人工湖面积尽量小,
...圆以48为直径构造,设圆心为。,
过点6作优J_/,垂足为G
'.'A,。分别位于8的西北方向和东北方向,
:.4ABC=4PBO4BOC=4BPO45。,
:.0(=CB=C/^20,
OP=AO,0B=yloC2+BC2=42()2+2()2=20五,
,最小的距离鹿户。密40-2072(加,
故选〃
【点睛】
本题考查了圆的基本性质,方位角的意义,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,熟练掌握圆中
点圆的最小距离是解题的关键.
二、填空题
1、8>/3—n
3
【分析】
连接OO',O'B,证明△088'是含30°的R〃,根据S阴爵部分=$.谢匐形007f即可求解
【详解】
解:如图,连接OO',O'B
••・将半径为4,圆心角为120°的扇形绕点力逆时针旋转60°,
•••NOA。'=60°,<74=(74,ZAOB=ZAOB'=\20°,
.•.△AOO,是等边三角形
ZAOO=60°=ZAOO
ZOOB=ZAQ8—AO。=120°-60°=60°,ZAO'O+ZAOB'=60°+120°=180°
.•。O',B'三点共线
ZAOO'=60°,ZAOB=120°,0。=OB
:.^OBO'是等边二角形
•••O'B=O'B'
又ZOB'B+ZO'Bff=ZOOB=60°
:.ZB'BO=90°
BB'=s/3OB=4石
“影部分=《4x46-嗤=-1乃
【点睛】
本题考查了求扇形面积,旋转的性质,掌握旋转的性质是解题的关键.
2、72
【分析】
如图,根据四边形6W为正方形,可得/分90°,CD=DE,从而得到四是直径,/故M5°,然后
利用勾股定理,即可求解.
【详解】
解:如图,
£
F
:四边形CDEF为正方形,
氏90°,CD=DE,
...四是直径,/比加45°,
根据题意得:四=2.5,CE=2.5-0.25x2=2,
/•CE2=CD2+DE2=2CD2,
:.CD=6,
即此斛底面的正方形的边长为五尺.
故答案为:V2
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形,勾股定理,熟练掌握圆内接四边形的性质,勾股定理是解题的关键.
3、873
【分析】
根据阴影部分面积等于以AC8C为直径的2个半圆的面积加上S-3C减去A8为半径的半圆面积即
【详解】
解:•在Rt^ABC中,ZC=90°,
AC2+BC2=AB2
-:AB=8,BC=4
AC=V82-42=4^
S阴影部+(乃X(TBC)一3乃X(/AB)
=^ACBC+1^xl(AC2+BC2-AB2)
=-ACBC
2
=2x4>/3x4
2
=8-73.
故答案为:8石
【点睛】
本题考查了勾股定理,求扇形面积,直径所对的圆周角是直角,掌握圆周角定理是解题的关键.
4、2或-2或0
【分析】
当。Q与x轴相切时,圆心。的纵坐标为1或T,根据圆心户在抛物线上,所以当y为±1时,可以
求出点P的横坐标.
【详解】
解:当户1时,有l=-gf+l,A=0.
当产T时,有-k-gf+l,A=±2.
故答案是:2或-2或0.
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题,利用圆与x轴相切得到点。的纵坐标,然后代入抛物线求出点产的
横坐标.
5、120°
【分析】
根据圆的性质,可得好如,OOOD,证明屋△8勿,即可得答案.
【详解】
解:由题意可知:OA=()B,OOOD,
':AC=BD,
VZJt?<7=120°,
:.NBOD=120°,
故答案为:120°.
【点睛】
本题考查了圆的性质、三角形全等的判定和性质,做题的关键是证明△?!他△80〃
三、解答题
1、(1)NODB,NODA=NBDE,Z.ODA-,(2)DE=2限
【分析】
(1)由A8是。。的直径,得到NOD4+N腐=90。.再由;/比为。。的切线,得到
NODB+ZBDE=90。,即可推出/。%=NZi定,由角平分线的定义可得/C4£>=/Q4£>,由。4=0。,
得到NCMD=NOD4,即可证明NC4£>=N3DE;
(2)在直角△。龙中利用勾股定理求解即可.
【详解】
解:(1)如图②,连接Q0,
QA3是。。的直径,
/.ZADB=90°,
:.ZODA+Z0DB=90°.(1)
・「DE为。〃的切线,
NODE=90。,
:.NODB+/BDE=9Q。,(2)
由(1)(2)得,40D归4BDE.
•.•AD平分ZBAC,
ZCAD=ZOAD.
・:OA=OD,
:.ZOAD=ZODA
.♦・4cAD=4ODA,
・•.ZCAD=ZBDE.
AyOJBE
图②
故答案为:①NODB,②NODA=NBDE,③ZODA;
(2),.•/)后为。。的切线,
...NODE=90°.
■.■OA=5,
:.OD=OB=OA=5,
■.BE=2,
:.OE=OB+BE=1.
在M△(?£>£中,
DE=^]OE2-ODr=472-52=276•
【点睛】
本题主要考查了切线的性质,角平分线的定义,等腰三角形的性质,直径所对的圆周角是直角,勾股
定理等等,解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质.
2、(1)证明见解析;(2)6+1;(3)当数垂直于△〃的的一边时,NQC加15。或22.5°.
【分析】
(1)由翻折的性质可得/庐/㈤患由NDC六NDEP,即可得到N比/aRCD=BD,再由角平分线
的定义得到/8=/OCB=1/4CB=45。,则/被H90°,即可利用三线合一定理得到应匕仞,即。是
2
的中点;
(2)由是△板翻折得到,得至l」NBOP=NEDP=gN8QE=30。,如图所示,过点尸作“七/6
于凡先利用勾股定理求出8尸=PF=1,得到分=2依=2,即可求出£)尸=,£)尸—尸尸=6,则
CD=BD=DF+BF=M+1;
(3)分当力人分时,当施D时,当小4S时三种情况进行讨论求解即可得到答案.
【详解】
解:(1),;△〃帽是△〃阳翻折得到,
...NB=NDEP,
又,:乙DCk乙DEP,
:,乙宁/DCP,
:.CABD,
9:ZACB=90°,CDN分乙ACB,
:.ZB=ZDCB=-ZACB=450=Z4
2
・・・N劭e90°,CA=CB,
:.BD=AD(三线合一定理),
."是48的中点;
(2)△破是△〃分翻折得到,
ZBDP=ZEDP=-ZBDE=30°,
2
如图所示,过点〃作/FJ_四于凡
:"PFF/PFDW,
:・D六2PF,
〈N左45°,
:./BP六9。°-/后45°,
・•・4BP24B,
:・Bf^PF,
,:BF?+PF2=BP2=2,
:.BF=PF=\,
:.DP=2PF=2,
・•・DF=」D产-PF?=6
:・CD=BD=DF+BF=6+1;
B
(3)如图所示,当6,加时,
':ZCDQ=90°,
.•・S为圆。的直径,
,由垂径定理可知的=户。,
二ZDCQ=ZPCQ=gNDCB=22.5°,即ZQCB=22.5°;
如图所示,当应工我时,设%'与必交于点尸,连接出
♦.•△力勿是△板翻折得到,
AZQDP=ZEDP,BD^DE,
又,:BFCD,
:.CD=ED,
/DEO乙DCE.
:.NDEONDC丹NEC六NEC打45°,
,:NQDP=NQCP,NECP=NEDP,
:.乙QC"4ECP,
:.NDEONQCH45°,
又•:CQLDE,
.♦.N0^90°,
:.NFCE+/FEO9y,
;.N4m45°+/QCP^/EC49Q0,即3NO7445°=90°,
...N。叱15°,即/a3=15°,
♦.•当皿C0时,£点要在切的下方,此时圆0与直线做的交点在物的延长线上,
不存在PELC0这种情况,
二综上所述,当QC垂直于△"E1的一边时,NZ注15°或22.5°.
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质,圆周角定理,垂径定理,直径所对的圆周角是直角,含30度角的直角
三角形的性质,等腰直角三角形的性质与判定,勾股定理等等,解题的关键在于能够熟练掌握圆的相
关知识.
3,(1)y/2(2)加4岳阳或上48+做理由见解析
【分析】
(1)根据△阳〃等腰直角三角形,加=2,求出血的长,由。。是△为Z?的外接圆,NDBE=30°,
可得答案;
(2)根据同弧所对的圆周角,可得NAg/FBP,由△«切等腰直角三角形,得NDPB=NAPD=90:
DP-BP,可证△/打运△/,?况可得答案.
【详解】
解:(1)由题意画以下图,连接“R
,.•△Q切等腰直角三角形,。。是△月初的外接圆,
:.NDPB=NDE件9Q°,
':PB=2,
DB=>JDP2+BP2=V22+22=2V2,
•.,/颂=30°,
DE=-DB=-x2>j2=y/2
22
(2)①点尸在点/、6之间,
由(1)的图根据同弧所对的圆周角相等,可得:
2AD4ZFBP,
又・・・△刘力等腰直角三角形,
:.ZDPB=ZAPD=90°,D六BP,
在△力勿和△〃石中
/ADP=/FBP
<DP=
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