新高考数学一轮复习讲义第10章　§10.6　离散型随机变量及其分布列、数字特征（原卷版）

§10.6离散型随机变量及其分布列、数字特征考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．知识梳理1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．3．离散型随机变量分布列的性质(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.4．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值(数学期望)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq\r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．5．均值(数学期望)与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．常用结论1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布．()(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．()教材改编题1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示()A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局二次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次2．已知X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．13．若离散型随机变量X的分布列为X01Peq\f(a,2)eq\f(a2,2)则X的方差D(X)＝________.题型一分布列的性质例1(1)若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)(2)若随机变量X的分布列为X－101Paeq\f(1,3)c则P(|X|＝1)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,6)思维升华离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．跟踪训练1(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101Peq\f(1,3)2－3qq2则q的值为()A．1 B.eq\f(3,2)±eq\f(\r(33),6)C.eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6) D.eq\f(3,2)＋eq\f(\r(33),6)(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝eq\f(k,2i)(i＝1,2,3)，则k＝________；P(X≥2)＝________.题型二离散型随机变量的分布列及数字特征例2(1)(多选)已知随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,3)m3m下列结论正确的有()A．m＝eq\f(1,6) B．E(X)＝eq\f(1,6)C．E(2X－1)＝eq\f(1,3) D．D(X)＝eq\f(29,36)(2)(多选)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区的志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则()A．E(X)＝E(Y) B．E(X)≠E(Y)C．D(X)＝D(Y) D．D(X)≠D(Y)思维升华求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．跟踪训练2(1)已知ξ的分布列如表所示．ξ012P？！？其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此计算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤eq\f(1,2)，正确的个数是()A．0B．1C．2D．3(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为eq\f(1,4)，设他参加一次答题活动得分为ξ，则D(ξ)＝________.题型三均值与方差中的决策问题例3某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.思维升华随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．跟踪训练3某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．课时精练1．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则X的均值E(X)等于()X012P0.2a0.5A.0.3B．0.8C．1.2D．1.32．已知随机变量X的分布列为X123Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a等于()A．－3B．－2C.eq\f(5,3)D．33．随机变量X的取值范围为{0,1,2}，若P(X＝0)＝eq\f(1,4)，E(X)＝1，则D(X)等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)4．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,6)5．某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示：商品DEF猜对的概率0.80.50.3获得的奖金/元100200300规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为哪个答题顺序获得的奖金的均值最大()A．FDEB．FEDC．DEFD．EDF6．(多选)设0<m<1，随机变量ξ的分布列为ξ0m1Peq\f(a,3)eq\f(1,3)eq\f(2a－1,3)当m在(0,1)上增大时，则()A．E(ξ)减小B．E(ξ)增大C．D(ξ)先增后减，最大值为eq\f(1,6)D．D(ξ)先减后增，最小值为eq\f(1,6)7．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示．ξ－202Pabeq\f(1,2)若随机变量ξ的均值E(ξ)＝eq\f(1,2)，则D(2ξ＋1)＝________.8．某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为eq\f(3,4)，乙、丙科目合格的概率均为eq\f(2,3)，且3个科目是否合格相互独立．设小张3科中合格的科目数为X，则P(X＝2)＝________，E(X)＝________.9．若有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元4200440046004800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元4000440048005200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？10．某游乐场设置了迷宫游戏，有三个造型相同的门可供选择，参与者进入三个门的结果分别是3分钟走出去，6分钟走出去，3分钟返回出发点．游戏规定：不重复进同一个门，若返回出发点立即重新选择，直到走出迷宫游戏结束．(1)求一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值；(2)甲、乙2人相约玩这个游戏.2人商量了两种方案．方案一：2人共同行动；方案二：2人分头行动．分别计算两种方案2人都走出迷宫所用时间和的均值．11．现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为eq\f(4,5)，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为eq\f(1,4)，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为()A.eq\f(93,10)B.eq\f(37,4)C.eq\f(39,4)D.eq\f(211,20)12．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的中心落在圆O中得3分，冰壶的中心落在圆环A中得2分，冰壶的中心落在圆环B中得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,4)；甲、乙得2分的概率分别为eq\f(2,5)，eq\f(1,2)；甲、乙得1分的概率分别为eq\f(1,5)，eq\f(1,6).甲、乙所得分数相同的概率为________；若甲、乙两人所得的分数之和为X，则X的均值为________．13．(多选)核酸检测有两种检测方式：(1)逐份检测；(2)混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为(k＋1)次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为p(0