新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题16 圆锥曲线的标准方程与几何性质（解析版）

专题16圆锥曲线的标准方程与几何性质一、知识速览二、考点速览知识点1椭圆1、椭圆的定义（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b23、椭圆中的几个常用结论（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为eq\f(2b2,a)，过焦点最长弦为长轴．（2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.（3）与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为eq\f(x2,a2＋λ)＋eq\f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞－b2)．（4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)．知识点2双曲线1、双曲线的定义（1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．（2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2、双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3、双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.（4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为eq\f(b2,a2).（5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a＝b;e＝eq\r(2)；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．（7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.知识点3抛物线1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上．2、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)3、抛物线中的几何常用结论（1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦．①以弦AB为直径的圆与准线相切．②以AF或BF为直径的圆与y轴相切．③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．（2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).一、椭圆定义应用的类型及方法1、求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程；2、焦点三角形问题：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧；3、求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值【典例1】（2022高三·全国·专题练习）已知SKIPIF1<0的周长为20，且顶点SKIPIF1<0，则顶点SKIPIF1<0的轨迹方程是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】∵△ABC的周长为20，顶点SKIPIF1<0，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是SKIPIF1<0故选：B.【典例2】（23·24高三上·云南·阶段练习）已知点SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的一个动点，点SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，当SKIPIF1<0的面积为1时，SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面积为1，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.【典例3】（22·23高三·云南·阶段练习）已知SKIPIF1<0，P是椭圆SKIPIF1<0上的任意一点，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．9B．16C．25D．50【答案】C【解析】由题意SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0.故选：C【典例4】（23·24高三上·贵州黔东南·阶段练习）（多选）已知点SKIPIF1<0为椭圆C：SKIPIF1<0的左焦点，点P为C上的任意一点，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则下列正确的是（）A．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最大值为7C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最大值为1【答案】ABD【解析】依题意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值，即是SKIPIF1<0的长，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0位置时取到，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故A正确；设椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0位置时取到最大值，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故B正确；SKIPIF1<0的最小值当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0位置时取到，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故C错误；由SKIPIF1<0，则当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0位置时取到最大值，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故D正确.故选:ABD二、求椭圆标准方程的2种常用方法1、根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程；2、待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)【典例1】（2023高三·全国·专题练习）若椭圆的对称中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线SKIPIF1<0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】由于直线SKIPIF1<0与坐标轴的交点为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0．①当焦点为SKIPIF1<0，顶点为SKIPIF1<0时，此时椭圆焦点在x轴上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以椭圆的标准方程为SKIPIF1<0．②当焦点为SKIPIF1<0，顶点为SKIPIF1<0时，此时椭圆焦点在y轴上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以椭圆的标准方程为SKIPIF1<0．综上所述，椭圆的标准方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【典例2】（22·23高三·全国·专题练习）经过椭圆M：SKIPIF1<0的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为经过椭圆M：SKIPIF1<0的左焦点和上顶点的直线记为l，所以直线l的方程可设为SKIPIF1<0，因为圆M的中心到直线l的距离等于2，所以SKIPIF1<0，因为短轴长是焦距的2倍，所以SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，所以椭圆M的方程为SKIPIF1<0.【典例3】（23·24高三上·广东揭阳·期末）已知椭圆E：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则E的标准方程为.【答案】SKIPIF1<0【解析】设O为坐标原点，直线AB交x轴于点C，如图所示：由题意知：SKIPIF1<0，直线AB的斜率为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由椭圆的性质知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故直线AB的方程为SKIPIF1<0.联立SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则E的标准方程为SKIPIF1<0.三、求椭圆离心率及其范围的方法1、求椭圆离心率的3种方法（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．2、求椭圆离心率范围的2种方法（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系。【典例1】（23·24高三上·江苏泰州·期中）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的左右两个焦点，椭圆的焦距为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，则椭圆的离心率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.【典例2】（23·24高三上·山东济南·开学考试）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的上顶点为SKIPIF1<0，两个焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的垂直平分线过点SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为．【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，设SKIPIF1<0的垂直平分线与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，由题，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2023高三·全国·专题练习）已知F1，F2分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使SKIPIF1<0，则椭圆的离心率e的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为椭圆上存在点P，使SKIPIF1<0，所以以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆必有交点，如图，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆的离心率e的取值范围为SKIPIF1<0.【典例4】（2023高三·全国·专题练习）设椭圆C：SKIPIF1<0的右焦点为F，椭圆C上的两点SKIPIF1<0关于原点对称，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由椭圆的对称性可知，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，又SKIPIF1<0，即FA⊥FB，所以四边形SKIPIF1<0为矩形，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即椭圆C的离心率的取值范围为SKIPIF1<0，故选：B．四、解决椭圆中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线SKIPIF1<0(不平行于SKIPIF1<0轴)过椭圆SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0。证明：设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，上式减下式得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0。特殊的：直线SKIPIF1<0(存在斜率)过椭圆SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0。【典例1】（23·24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0以及椭圆内一点SKIPIF1<0，则以SKIPIF1<0为中点的弦所在直线的斜率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．-4D．4【答案】A【解析】设弦与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，相减得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.【典例2】（22·23高三上·四川广安·期中）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根据题意设SKIPIF1<0，代入椭圆方程可得SKIPIF1<0；两式相减可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0；又因为SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；因此过SKIPIF1<0两点的直线斜率为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0在直线上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；又易知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，计算可得SKIPIF1<0；所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则其在椭圆内部，则此时直线SKIPIF1<0与椭圆相交两点.故选：A五、双曲线定义的应用1、判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．2、在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．【注意】在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．【典例1】（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴切于点SKIPIF1<0，分别过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线并交于点SKIPIF1<0(点SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0轴上)，则点SKIPIF1<0的轨迹方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0分别与圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的双曲线的右支(除去与SKIPIF1<0轴交点)，这里SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A【典例2】（2023高三·全国·模拟预测）如图，已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0为双曲线右支上一点，且SKIPIF1<0的延长线交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的内切圆半径为4，SKIPIF1<0的面积为9，则SKIPIF1<0（）A．18B．32C．50D．14【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直角三角形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0的面积为9，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C.【典例3】（2023高三·天津南开·一模）已知拋物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到准线的距离为SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左焦点，SKIPIF1<0是双曲线右支上的一动点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．12B．11C．10D．9【答案】D【解析】拋物线SKIPIF1<0的准线为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到准线的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的右焦点，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0三点共线时取等号，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.六、待定系数法求双曲线方程的五种类型1、与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；2、若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；3、与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；4、过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)；5、与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)【典例1】（24·25高三上·浙江·开学考试）已知等轴双曲线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的标准方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设双曲线的方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），代入点SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故所求双曲线的方程为SKIPIF1<0，其标准方程为SKIPIF1<0．故选：A．【典例2】（22·23高三上·湖南长沙·阶段练习）在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆SKIPIF1<0有公共焦点，则双曲线的方程是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0；易得椭圆焦点坐标为SKIPIF1<0，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的焦点在SKIPIF1<0轴上，且SKIPIF1<0，由双曲线虚轴长为6可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；所以，双曲线的标准方程为SKIPIF1<0.故选：B.【典例3】（2023高三·海南·模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0为双曲线上一点，若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的方程可以为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0为双曲线的下焦点，SKIPIF1<0为双曲线的上焦点，如图所示，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入双曲线SKIPIF1<0中，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故B项正确.故选：B.七、求双曲线的离心率或其范围的方法1、求双曲线的离心率或其范围的方法（1）求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.（2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．（4）通过特殊位置求出离心率．2、双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；当k<0时，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1).【典例1】（23·24高三上·四川南充·阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0的左右焦点SKIPIF1<0点SKIPIF1<0关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．3【答案】C【解析】双曲线SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0,设点SKIPIF1<0关于一条渐近线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以双曲线C的离心率是SKIPIF1<0故选：C.【典例2】（22·23高三·全国·对口高考）双曲线SKIPIF1<0和椭圆SKIPIF1<0有共同的焦点，则椭圆的离心率是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】对于双曲线SKIPIF1<0，设右焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，对于椭圆SKIPIF1<0，设右焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为有共同的焦点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆的离心率是SKIPIF1<0，故选：D.【典例3】（22·23高三下·四川成都·开学考试）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<0时，双曲线C离心率的范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选:A.【典例4】（2022高三·全国·模拟预测）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知双曲线SKIPIF1<0左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得SKIPIF1<0的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】易知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0与双曲线有公共点.联立SKIPIF1<0与双曲线方程，有SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，则要使方程有根，需使SKIPIF1<0.故选：D八、抛物线定义的应用1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2).【典例1】（22·23高三·全国·专题练习）已知动点SKIPIF1<0的坐标满足方程SKIPIF1<0，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对【答案】C【解析】等式SKIPIF1<0变形成SKIPIF1<0，因此该等式表示动点SKIPIF1<0到原点SKIPIF1<0的距离等于到它直线SKIPIF1<0的距离，而直线SKIPIF1<0不过原点SKIPIF1<0，所以动点M的轨迹是抛物线.故选：C【典例2】（23·24高三上·福州·阶段练习）已知SKIPIF1<0的顶点在抛物线SKIPIF1<0上，若抛物线的焦点SKIPIF1<0恰好是SKIPIF1<0的重心，则SKIPIF1<0的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0恰好是SKIPIF1<0的重心，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故选：A．【典例3】（22·23高三·厦门·模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0靠近点SKIPIF1<0的三等分点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点的纵坐标为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】过点SKIPIF1<0分别作准线的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，如图所示，设准线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0靠近点SKIPIF1<0的三等分点，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0,又由抛物线的准线方程为SKIPIF1<0，可得点SKIPIF1<0的纵坐标为SKIPIF1<0，即点点SKIPIF1<0的纵坐标为SKIPIF1<0.故选：C.九、抛物线的标准方程的求法1、定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．2、待定系数法（1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．【典例1】（23·24高三上·青岛·开学考试）设抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】抛物线SKIPIF1<0的开口向上，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，根据抛物线的定义可知SKIPIF1<0，所以抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故选：A【典例2】（2022高三·黑龙江佳木斯·三模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且倾斜角为30°的直线交抛物线于点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0在第一象限），SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则抛物线的方程是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图所示，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0.由题得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等边三角形.因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0所以抛物线的方程是SKIPIF1<0.故选：C十、抛物线几何性质的应用技巧1、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2、与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键．【典例1】（2024高三·四川成都·一模）直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为坐标原点，则SKIPIF1<0的准线方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】不妨设点SKIPIF1<0在第一象限，则点SKIPIF1<0在第四象限，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0.故选：B.【典例2】（23·24高三·昆明·模拟预测）（多选）在直角坐标系SKIPIF1<0中，已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且点SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】由题意得SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以AC正确，故选：AC.易错点1忽视圆锥曲线定义中的限制条件点拨：在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于SKIPIF1<0。这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为一条线段或无轨迹。在双曲线的定义中，不仅对常数加了限制条件，同时要求距离差加了绝对值，其实如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支，对此考生经常出错。【典例1】（2023高三·全国·专题练习）已知动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是（）A．射线B．直线C．椭圆D．双曲线的一支【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，由题意知动点M满足SKIPIF1<0|，故动点M的轨迹是射线.故选：A.【典例2】（2023高三·全国·专题练习）已知点SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆【答案】C【解析】由题设知：SKIPIF1<0，此时动点P必在线段AB上，即动点轨迹为线段.故选：C【典例3】（2023高三·全国·专题练习）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由于SKIPIF1<0，因此满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的动点P的轨迹均不是双曲线，满足SKIPIF1<0的动点P的轨迹是双曲线的右支，而满足SKIPIF1<0的动点P的轨迹才是双曲线．故选：B．易错点2求圆锥曲线准方程时忽视“定位”分析点拨：确定椭圆或双曲线的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆或双曲线与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解。【典例1】（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率SKIPIF1<0，且该双曲线经过点SKIPIF1<0，则该双曲线的标准方程为.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意，知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0在该双曲线上，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此方程无解;当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0在该双曲线上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴该双曲线的标准方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（23·24高三上·全国·课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并且椭圆经过点SKIPIF1<0；（2）经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由已知：椭圆焦点在y轴上且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0设椭圆方程为SK