湖南省湘西州凤凰县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

2024年湖南省湘西州凤凰县中考数学模拟试卷（一）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2024的倒数是(

)A.2024 B.-2024 C.12024 D.2.下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(

)A. B.

C. D.3.2023年前三季度全国GDP30强城市排名已经揭晓，长沙GDP约为10800亿名列第十五，同比增速为6.32%，数据10800用科学记数法表示为(

)A.0.108×105 B.10.8×103 C.4.下列运算正确的是(

)A.(x+2)2=x2+4 B.a5.古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4，有关这一组数，下列说法错误的是(

)A.中位数为1

B.从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大

C.众数是1

D.平均数为86.如图，已知直线AB/​/CD，EG平分∠BEF，∠1=40°，则∠2的度数是(

)A.70°

B.50°

C.40°

D.140°7.一元一次不等式组3-x≥0x+1>0的解集在数轴上表示正确的是(

)A. B.

C. D.8.《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组(

)A.x+12y=48y+23x=48 B.9.如图，在△ABC中，∠C=84°，分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P.若此时射线BP恰好经过点D，则∠A的大小是A.30° B.32° C.36° D.42°10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，在下列5个结论：①abc<0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b<m(am+b)(m≠1的实数).其中正确结论个数有(

)A.4个

B.3个

C.2个

D.1个二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.写出一个小于4的正无理数是______．12.已知点M(3,-5)关于x轴对称的点位于第______象限．13.函数y=x+5x+2的自变量x14.因式分解：4m2n-4n15.中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值.如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得∠BAC=120°，AB=45cm，BD=30cm，则由线段BD，弧DE，线段EC，弧CB围成扇面的面积是______cm2(结果保留π)．

16.如图，过原点O的直线与双曲线y=kx交于A，B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，若S△ABC=5，则k

17.《周礼⋅考工记》中记载有：“…半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)…”.意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=12矩，1欘=112宣(其中，1矩=90°)．

问题：图(1)为中国古代一种强弩图，图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C=______度.18.如图1是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2，AB⊥BC，CD⊥BC.出纸盘EP下方为一段以O为圆心的圆弧DE，与上部面板线段AE相接于点E，与CD相切于点D.测得BC=24cm，CD=18cm.进纸盘CH可以随调节扣HF向右平移，CH=18cm，HF=2cm.当HF向右移动6cm至H'F'时，点A，D，F'在同一直线上，则AB的长度为

m.若点E到AB的距离为16cm，tanA=4，连接PO，线段OP恰好过DE的中点.若PE=265cm，则点P到直线BC的距离为

cm．

三、计算题：本大题共1小题，共6分。19.计算：|1-2|-2sin45°+(3.14-π四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题6分)

先化简，再求值：(2-4x-1)⋅x221.(本小题8分)

“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩(成绩都不低于50分)绘制出如图所示的部分频数分布直方图．

请根据图中信息完成下列各题．

(1)将频数分布直方图补充完整人数；

(2)若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；

(3)现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．22.(本小题8分)

图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC=10cm，AB=24cm，∠BAD=60°，∠ABC=50°．

(1)在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E.填空：∠CBE=

°；

(2)求点C到AD的距离.(结果保留小数点后一位，参考数据：3≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)23.(本小题9分)

如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AF=CE．

(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；

(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．24.(本小题9分)

如图，以△ABC的边AB为直径作圆O，交BC于D，E在弧BD上，连接AE、ED、DA，若∠DAC=∠AED．

(1)求证：AC为⊙O切线；

(2)求证：AC2=CD⋅BC；

(3)若点E是弧BD的中点，AE与BC交于点F，当BD=5，CD=425.(本小题10分)

根据以下素材.探索完成任务．杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅．素材1某快递公司规定：(1)从当地寄送杨梅到A市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克．

(2)寄送杨梅重量均为整数千克．素材2电子存单1托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司

计量重量：7千克

件数：1总费用：32元电子存单2托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司

计量重量：12千克

件数：1总费用：44元电子存单3托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司

计量重量：15千克

件数：1总费用：62元问题解决任务1分析变量关系根据以上信息，请确定m的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用y(元)关于杨梅重量x(千克)之间的函数关系式．任务2计算最省费用若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用．任务3探索最大重量小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式．26.(本小题10分)

如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3,0)，B(-1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，其顶点为点D，连接AC．

(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点，AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；

(3)在(2)的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求5PF+3PM的最小值．

答案和解析1.C

解析：解：2024的倒数是12024；

故选：C．

根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．2.D

解析：解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

故选：D．

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.C

解析：解：10800=1.08×104，

故选：C．

将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<104.C

解析：解：A.(x+2)2=x2+4x+4，故该选项不符合题意；

B.a2⋅a4=a6，故该选项不符合题意；

C.5.A

解析：解：A、∵1，1，4，5，1，4这一组数从小到大排列为：1，1，1，4，4，5，

∴中位数为1+42=52，原说法错误，符合题意；

B、∵1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性为46=23，取得偶数的概率为13，

∴取得奇数的可能性比较大，正确，不符合题意；

C、∵1，1，4，5，1，4这一组数中1最多，

∴众数是1，正确，不符合题意；

D、1，1，4，5，1，6.A

解析：解：∵∠1=40°，

∴∠BEF=180°-∠1=180°-40°=140°，

∵EG平分∠BEF，

∴∠BEG=∠FEG=70°，

∵AB/​/CD，

∴∠2=∠BEG=70°．

故选：A．

由平角的定义可得∠BEF=140°，由角平分线的定义可得∠BEG=∠FEG=70°，再利用两直线平行，内错角相等即可求解．

本题主要考查平角的定义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题关键．7.C

解析：解：解不等式3-x≥0，得：x≤3，

解不等式x+1>0，得：x>-1，

则不等式组的解集为-1<x≤3，

故选：C．

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8.A

解析：解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，

根据题意，得：x+12y=48y+23x=48，

故选：A．

设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半9.B

解析：解：在△ABC中，∠C=84°，

∴∠A+∠ABC=180°-84°=96°，

根据作图过程可知：

DM是AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，

∵DM是AB的垂直平分线，

∴DB=DA，

∴∠DBA=∠A，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠DBA=∠DBC，

∴∠A=∠DBA=∠DBC，

∴3∠A=96°，

∴∠A=32°．

故选：B．

根据三角形内角和定理可得∠A+∠ABC=96°，根据作图过程可得DM是AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，可得∠A=∠DBA=∠DBC，进而可得结果．

本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．10.B

解析：解：开口向下，a<0；

对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b>0；

抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c>0，

∴abc<0，

所以①正确，符合题意；

当x=-1时图象在x轴下方，则y=a-b+c<0，

即a+c<b，

所以②不正确，不符合题意；

对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，

则y=4a+2b+c>0，

所以③正确，符合题意；

x=-b2a=1，则a=-12b，而a-b+c<0，

则-12b-b+c<0，2c<3b，

所以④正确，符合题意；

开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；

当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+c，

则a+b+c>am2+bm+c，

即a+b>m(am+b)(m≠1)，

所以⑤错误，不符合题意．

故11.2解析：解：一个小于4的正无理数是2.(答案不唯一)

故答案为：2．

根据4=16，以及无理数的特征，一个小于12.一

解析：解：∵点M(3,-5)关于x轴对称的点的坐标为(3,5)，

∴关于x轴对称的点位于第一象限．

故答案为：一．

根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出点M关于x轴对称的点的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答．

本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．13.x≥-5且x≠-2

解析：解：依题意，x+5≥0，x+2≠0，

解得：x≥-5且x≠-2，

故答案为：x≥-5且x≠-2．

根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件列不等式组求解即可．

本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0是解题的关键．14.4n(m+n)(m-n)

解析：解：4m2n-4n3

=4n(m2-n15.600π

解析：解：∵AB=45cm，BD=30cm，

∴AD=AB-BD=15cm，

∵∠BAC=120°，

∴由线段BD，弧DE，线段EC，弧CB围成扇面的面积是120π×452360-120π×15216.5

解析：解：设A(x,y)，

∵直线与双曲线y=kx交于A，B两点，

∴B(-x,-y)，

∴S△BOC=12|xy|，S△AOC=12|xy|，

∴S△BOC=S△AOC，

∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=2S△AOC=5，17.22.5

解析：解：∵1宣=12矩，1欘=112宣，1矩=90°，∠A=1矩，∠B=1欘，

∴∠A=90°，∠B=112×12×90°=67.5°，

∴∠C=180°-90°-∠B=180°-90°-67.5°=22.5°，

故答案为：18.3432

解析：解：(1)如图，过点F'作F'M⊥AB，垂足为M，交CD于点N，

由题意得，BM=CN=HF=H'F'=2cm，

F'M=24+18+6=48(cm)，

F'N=18+6=24(cm)，

DN=18-2=16(cm)，

∵AB/​/CD，

∴△F'AM∽△F'DN，

∴DNAM=F'NF'M=2448=12，

∴AM=2DN=2×16=32(cm)，

∴AB=AM+MB=32+2=34(cm)，

故答案为：34；

(2)如图3，过点E作BC平行线交AB于点K，交过点P作AB的平行线与点Q，连接OE，OD，OD的延长线交PT于点G，

在Rt△AEK中，EK=16cm，tanA=4，

∴AK=14EK=4cm，

∴KB=QT=AB-AK=34-4=30(cm)，

由(1)可得：DC=16+2=18(cm)，

∴QG=QT-GT=30-18=12(cm)，

SC=BC-BS=24-16=8(cm)，

设PQ=acm，DG=bcm，则PG=(a+12)cm，EQ=(b+8)cm，

∵线段OP恰好过DE的中点，

∴OP是DE的垂直平分线，

∴PE=PD=265，

在Rt△PEQ，Rt△PDG中由勾股定理可得，

EQ2+PQ2=DG2+PG2=PE2=(265)2，

即(b+8)2+a2=b2+(a+12)2=(265)219.解：原式=2-1-2×22+1-4解析：化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后先算乘法，再算加减．

本题考查实数的混合运算，理解a0=1(a≠0)，20.解：原式=2(x-1)-4x-1⋅x(x-1)(x-3)2

=2(x-3)x-1⋅解析：先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到原式=2xx-3，然后把x=421.解：(1)70到80分的人数为50-(4+8+15+12)=11人，

补全频数分布直方图如下：

(2)本次测试的优秀率是15+1250×100%=54%；

(3)设小明和小强分别为A、B，另外两名学生为：C、D，

则所有的可能性为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，

所以小明和小强同时被选中的概率为16解析：本题考查了频数分布表、频数分布直方图，也考查了列表法和画树状图求概率．

(1)根据各组频数之和等于总数可得70～80分的人数，据此即可补全直方图；

(2)用成绩大于或等于80分的人数除以总人数可得；

22.20

解析：解：(1)如图：

∵BE⊥AD，

∴∠AEB=90°，

∵∠BAD=60°，

∴∠ABE=90°-∠BAD=30°，

∵∠ABC=50°，

∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=20°，

故答案为：20；

(2)过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，

则GE=CF，∠BGC=90°，

∵∠CBE=20°，

∴∠BCG=90°-∠CBE=70°，

在Rt△ABE中，∠BAE=60°，AB=24cm，

∴BE=AB⋅sin60°=24×32=123(cm)，

在Rt△BGC中，BC=10cm，

∴BG=BC⋅cos20°≈10×0.94=9.4(cm)，

∴CF=GE=BE-BG=123-9.4≈12×1.73-9.4≈11.4(cm)，

∴点C到AD的距离约为11.4cm．

(1)根据垂直定义可得∠AEB=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABE=30°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；

(2)过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，则GE=CF，∠BGC=90°23.证明：(1)在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，

∵AE=CF．

∴OE=OF，

∴四边形EBFD是平行四边形；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB/​/DC，

∴∠BAC=∠DCA，

∵∠BAC=∠DAC，

∴∠DCA=∠DAC，

∴DA=DC，

∴平行四边形ABCD为菱形，

∴DB⊥EF，

∴平行四边形EBFD是菱形．

解析：(1)根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；

(2)根据平行四边形的性质可得DA=DC，然后利用等腰三角形的性质可得DB⊥EF，进而可以证明四边形EBFD是菱形．

本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.(1)证明：如图1，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵∠AED=∠B，∠DAC=∠AED，

∴∠B=∠DAC，

∴∠DAC+∠BAD=90°，

∴∠BAC=90°，

∵OA是⊙O的半径，

∴AC为⊙O切线；

(2)证明：如图2，

∵∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA，

∴△ACD∽△BCA，

∴ACCD=BCAC，

∴AC2=CD⋅BC；

(3)解：如图3，连接OE交BC于点H，连接OD，

∵BD=5，CD=4，AC2=CD⋅BC，

∴AC2=4×(5+4)=36，

∴AC=6，

∴AD=AC2-CD2=62-42=25，

∵点E是弧BD的中点，

∴OE⊥BD，BH=HD=12BD=解析：(1)由圆周角定理得出∠ADB=90°，得出∠B+∠BAD=90°，由∠AED=∠B，∠DAC=∠AED，得出∠B=∠DAC，得出∠BAC=90°，即可证明AC为⊙O切线；

(2)证明△ACD∽△BCA，得出ACCD=BCAC，即可得出AC2=CD⋅BC；

(3)连接OE交BC于点H，连接OD，由BD=5，CD=4，AC2=CD⋅BC，求出AC=6，AD=25，由垂径定理的推论得出OE⊥BD25.解：(1)由题意得，32+(12-10)m=44，

∴m=6，

∴y=32+6(x-10)=6x-28(x>10)；

(2)当x=25元，

若单件寄送，则需寄费6×25-28=122元，

若分两件寄送，则需寄费32+15×6-28=94元，

若分三件寄送，则需寄费32×3=96元，

∵94<96<122，

∴寄送25kg杨梅的最省费用为94元；

(3)设有mkg(m>10)杨梅需要寄送，设m÷10的余数为n，

当n=5时，32×2=64>6×15-28=62，

当n=6时，32×2=64<6×16-28=68，

∴当n≤5时，采用超过10kg的寄送方式最省钱，当6<n≤9，采用分两件不超过10kg的寄送方式省钱，

设小聪购买的杨梅一共分y件不超过10kg的寄送方式，

由题意得，50×10y+32y≤5000，

解得y≤1250133，

又∵y时正整数，

∴y最大值为9，

∴还剩下5000-50×10×9-32×9=212元，

∵(212÷50+10)÷10的余数小于5，

∴最省钱的寄送方式应该是8件不超过10kg的寄送，一件超过10kg的寄送，

∵8件不超过10kg的寄送的寄费为10×50×8+32×8=4256元，14×6-28+14×50=784，13×6-28+13×50=700，4256+784>5000，4256+700<5000，

∴一件超过10kg的寄送的杨梅数量是13kg，

∴小聪最多可以购买10×8+13=93kg杨梅，寄送方式为8件10kg，1件13kg解析：(1)根据寄送12千克花费44元列出方程求出m的值，进而求出y关于x的函数关系式即可；

(2)分若单件寄送，若分两件寄送，若分三件寄送，三种情况分别计算出寄费即可得到答案；

(3)设有mkg(m>10)杨梅需要寄送，设m÷10的余数为n，推出当n≤5时，采用超过10kg的寄送方式最省钱，当6<n≤9，采用分两件不超过10kg的寄送方式省钱；设小聪购买的杨梅一共分y件不超过10kg的寄送方式，则50×10y+32y≤5000，求出y最大值