高考数学一轮复习练案52第八章解析几何第四讲直线与圆圆与圆的位置关系含解析新人教版

一轮复习精品资料(高中)PAGEPAGE1第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础巩固一、单选题1．(2021·辽宁葫芦岛模拟)“k＝0”是“直线y＝kx－eq\r(2)与圆x2＋y2＝2相切”的(C)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖〖解析〗〗直线与圆相切⇔eq\f(\r(2),\r(1＋k2))＝eq\r(2)⇔k＝0.2．(2021·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(B)A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0〖〖解析〗〗由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，圆心与切点连线的斜率为k＝eq\f(1－0,3－1)＝eq\f(1,2)，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0，选B.3．(2020·山东济宁期末)圆C1：x2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋4)2＋(y－1)2＝4的公切线的条数为(A)A．4 B．3C．2 D．1〖〖解析〗〗两圆的圆心距|C1C2|＝4>2＋1，∴两圆外离，两圆的公切线有4条．4．(2021·河北衡水武邑中学月考)直线3x－4y＋3＝0与圆x2＋y2＝1相交所截的弦长为(B)A．eq\f(4,5) B．eq\f(8,5)C．2 D．3〖〖解析〗〗圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，半径为1，因为圆心到直线3x－4y＋3＝0的距离为eq\f(3,5)，则利用勾股定理可知所求的弦长为2eq\r(1－\f(9,25))＝eq\f(8,5)，故选B.5．(2021·河北沧州段考)已知直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(B)A．2 B．6C．4eq\r(2) D．2eq\r(10)〖〖解析〗〗∵圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，∴圆心为C(2,1)，半径为2.由题意可得，直线l：x＋ay－1＝0经过圆C的圆心(2,1)，故有2＋a－1＝0，∴a＝－1，点A(－4，－1)．∵|AC|＝eq\r(－4－22＋－1－12)＝2eq\r(10)，|CB|＝R＝2，∴切线的长|AB|＝eq\r(40－4)＝6，故选B.6．(2021·河南中原名校质量测评)直线l：y＝kx＋4与圆O：x2＋y2＝4交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x2＋y1y2＝0，则k2的值(B)A．3 B．7C．8 D．13〖〖解析〗〗由条件可得x1x2≠0，圆O的圆心为(0,0)，半径为2，由x1x2＋y1y2＝0可得eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝－1，故OA⊥OB，故△AOB为等腰直角三角形，故点O到直线l的距离为eq\r(2)，即eq\f(4,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k2＝7.故选B.7．(2021·河北唐山一中调研)若直线y＝k(x－2)＋4与曲线y＝eq\r(4－x2)有两个交点，则k的取值范围是(C)A．〖1，＋∞) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D．(－∞，－1〗〖〖解析〗〗直线y＝k(x－2)＋4，当x＝2时，y＝4，可得此直线恒过A(2,4)，曲线y＝eq\r(4－x2)为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，根据题意作出相应的图形，如图所示：当直线y＝k(x－2)＋4与半圆相切(切点在第二象限)时，圆心到直线的距离d＝r，∴eq\f(|4－2k|,\r(1＋k2))＝2，即4k2－16k＋16＝4＋4k2，解得：k＝eq\f(3,4)，当直线y＝k(x－2)＋4过点C时，将x＝－2，y＝0代入直线方程得：－4k＋4＝0，解得：k＝1，则直线与曲线有2个交点时k的范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))，故选C．8．(2021·四川南充模拟)若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是(D)A．x＝0 B．y＝1C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0〖〖解析〗〗依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0,1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1,0)，半径为r＝2.则易知定点P(0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，此时直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝eq\f(1－0,0－1)＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.二、多选题9．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2eq\r(3)，则直线的倾斜角可能为(AD)A．eq\f(5π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(π,6)〖〖解析〗〗由题意可知，圆心P(2,3)，半径r＝2，∴圆心P到直线y＝kx＋3的距离d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，由d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＝r2，可得eq\f(4k2,1＋k2)＋3＝4，解得k＝±eq\f(\r(3),3).设直线的倾斜角为α，则tanα＝±eq\f(\r(3),3)，又α∈〖0，π)，∴α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的值可以是(AB)A．1 B．2C．3 D．4〖〖解析〗〗x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4，∵过P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P、圆心C、两切点构成正方形，PC＝2eq\r(2)，由题意知，直线y＝k(x＋1)与以C为圆心，以2eq\r(2)为半径的圆(x－2)2＋y2＝8相交，∴d＝eq\f(|2k－0＋k|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2)，即－2eq\r(2)≤k≤2eq\r(2)，故选AB.11．(2021·山东德州期末)已知点A是直线l：x＋y－eq\r(2)＝0上一定点，点P、Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(AC)A．(0，eq\r(2)) B．(1，eq\r(2)－1)C．(eq\r(2)，0) D．(eq\r(2)－1,1)〖〖解析〗〗如下图所示：原点到直线l距离为d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，由图可知，当AP、AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP、OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝eq\r(2)|OP|＝eq\r(2)，由两点间的距离公式得设A(t，eq\r(2)－t)|OA|＝eq\r(t2＋\r(2)－t2)＝eq\r(2)，整理得2t2－2eq\r(2)t＝0，解得t＝0或eq\r(2)，因此，点A的坐标为(0，eq\r(2))或(eq\r(2)，0)，故选AC．三、填空题12．(2021·福建厦门质检)过点(1，eq\r(3))的直线l被圆x2＋y2＝8截得的弦长为4，则l的方程为x＋eq\r(3)y－4＝0.〖〖解析〗〗当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y－eq\r(3)＝k(x－1)，即kx－y－k＋eq\r(3)＝0，∵4＝2eq\r(8－d2)⇒d＝2，∴2＝eq\f(|－k＋\r(3)|,\r(1＋k2))⇒k＝－eq\f(\r(3),3)，∴l的方程为x＋eq\r(3)y－4＝0.13．自圆外一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是x2＋y2＝2.〖〖解析〗〗由题意知四边形OMPN是正方形，所以|OP|＝eq\r(2)，于是点P的轨迹是圆心在原点，半径为eq\r(2)的圆，其方程是x2＋y2＝2.14．(2020·高考浙江)已知直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝eq\f(\r(3),3)，b＝－eq\f(2\r(3),3).〖〖解析〗〗解法一：由直线与圆相切的充要条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(|b|,\r(k2＋1))＝1，,\f(|4k＋b|,\r(k2＋1))＝1))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|b|＝|4k＋b|,|b|＝\r(k2＋1)))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(\r(3),3)舍非正数，,b＝－\f(2\r(3),3).))解法二：如图所示．由图易知，直线y＝kx＋b经过点(2,0)，且倾斜角为30°，从而k＝eq\f(\r(3),3)，且0＝eq\f(2\r(3),3)＋b⇔b＝－eq\f(2\r(3),3).四、解答题15．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，求此圆的方程．〖〖解析〗〗解法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，∴设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r＝3|a|.又圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝eq\f(|3a－a|,\r(12＋12)).∴有d2＋(eq\r(7))2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.解法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为eq\f(|a－b|,\r(2)).∴r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－b|,\r(2))))2＋(eq\r(7))2.即2r2＝(a－b)2＋14. ①由于所求的圆与y轴相切，∴r2＝a2. ②又因为所求圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0. ③联立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.解法三：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E2＝4F. ④又圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线x－y＝0的距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，由已知，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))))2＋(eq\r(7))2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ⑤又圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0. ⑥联立④⑤⑥，解得D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0即(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.B组能力提升1．(2021·河南中原名校联盟第三次联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则直线l的方程为(D)A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x＋4y－12＝0或x＝0〖〖解析〗〗圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，由|AB|＝2eq\r(3)知，圆心(1,1)到直线l的距离为1，当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－0)，即kx－y＋3＝0，由eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1得k＝－eq\f(3,4)，此时直线l的方程为3x＋4y－12＝0，故选D.2．(2021·河南名校联盟质检)已知圆C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是(D)A．(0,2〗 B．〖1,2〗C．〖2,3〗 D．〖1,3〗〖〖解析〗〗满足∠APB＝90°的点P的轨迹为x2＋y2＝t2，所以圆x2＋y2＝t2与圆C有公共点，所以|t－1|≤eq\r(\r(3)2＋12)≤t＋1，解得1≤t≤3.故选D.3．(2021·湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)已知圆O：x2＋y2＝1上恰有两个点到直线l：y＝kx＋1的距离为eq\f(1,2)，则直线l的倾斜角的取值范围为(B)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))〖〖解析〗〗显然直线l过⊙O上定点(0,1)，由题意可知圆心到直线l的距离大于eq\f(1,2)，即eq\f(1,\r(k2＋1))>eq\f(1,2)，解得－eq\r(3)<k<eq\r(3)，∴直线l的倾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，故选B.4．(2021·山西适应性考试)从直线l：3x＋4y＝10上的动点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点为C，D，则四边形OCPD(O为坐标原点)面积的最小值是(A)A．eq\r(3) B．eq\r(2)C．1 D．2〖〖解析〗〗∵圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r＝1，当点P与圆心的距离最小时，切线长PC、PD最小，此时四边形OCPD的面积最小，∴圆心到直线3x＋4y＝10的距离d＝eq\f(|10|,\r(32＋42))＝2，∴|PC|＝|PD|＝eq\r(d2－r2)＝eq\r(3)，∴四边形OCPD的面积S＝2×eq\f(1,2)|PC|r＝eq\r(3).故选：A.5．(2021·河南洛阳统测)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为(D)A．1 B．eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)〖〖解析〗〗因为圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，所以d＝eq\f(|a＋2\r(2)－2|,\r(2))＝r＝2，解得a＝2或a＝2－4eq\r(2)，因为a≥2，所以a＝2，所以(x－2)2＋y2＝4，圆心到直线x－y－4＝0的距离为：d＝eq\f(|2－4|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为l＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2)，故选：D.6．(2021·湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．〖〖解析〗〗(1)设圆心C(a,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>－\f(5,2)))，则eq\f(|4a＋10|,5)＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．所以圆C：x2＋y2＝4.(2)如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y＝kx－1))得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝eq\f(2k2,k2＋1)，x1x2＝eq\f(k2－4,k2＋1).若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒eq\f(y1,x1－t)＋eq\f(y2,x2－t)＝0⇒eq\f(kx1－1,x1－t)＋eq\f(kx2－1,x2－t)＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒eq\f(2k2－4,k2＋1)－eq\f(2k2t＋1,k2＋1)＋2t＝0⇒t＝4.所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础巩固一、单选题1．(2021·辽宁葫芦岛模拟)“k＝0”是“直线y＝kx－eq\r(2)与圆x2＋y2＝2相切”的(C)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖〖解析〗〗直线与圆相切⇔eq\f(\r(2),\r(1＋k2))＝eq\r(2)⇔k＝0.2．(2021·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(B)A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0〖〖解析〗〗由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，圆心与切点连线的斜率为k＝eq\f(1－0,3－1)＝eq\f(1,2)，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0，选B.3．(2020·山东济宁期末)圆C1：x2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋4)2＋(y－1)2＝4的公切线的条数为(A)A．4 B．3C．2 D．1〖〖解析〗〗两圆的圆心距|C1C2|＝4>2＋1，∴两圆外离，两圆的公切线有4条．4．(2021·河北衡水武邑中学月考)直线3x－4y＋3＝0与圆x2＋y2＝1相交所截的弦长为(B)A．eq\f(4,5) B．eq\f(8,5)C．2 D．3〖〖解析〗〗圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，半径为1，因为圆心到直线3x－4y＋3＝0的距离为eq\f(3,5)，则利用勾股定理可知所求的弦长为2eq\r(1－\f(9,25))＝eq\f(8,5)，故选B.5．(2021·河北沧州段考)已知直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(B)A．2 B．6C．4eq\r(2) D．2eq\r(10)〖〖解析〗〗∵圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，∴圆心为C(2,1)，半径为2.由题意可得，直线l：x＋ay－1＝0经过圆C的圆心(2,1)，故有2＋a－1＝0，∴a＝－1，点A(－4，－1)．∵|AC|＝eq\r(－4－22＋－1－12)＝2eq\r(10)，|CB|＝R＝2，∴切线的长|AB|＝eq\r(40－4)＝6，故选B.6．(2021·河南中原名校质量测评)直线l：y＝kx＋4与圆O：x2＋y2＝4交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x2＋y1y2＝0，则k2的值(B)A．3 B．7C．8 D．13〖〖解析〗〗由条件可得x1x2≠0，圆O的圆心为(0,0)，半径为2，由x1x2＋y1y2＝0可得eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝－1，故OA⊥OB，故△AOB为等腰直角三角形，故点O到直线l的距离为eq\r(2)，即eq\f(4,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k2＝7.故选B.7．(2021·河北唐山一中调研)若直线y＝k(x－2)＋4与曲线y＝eq\r(4－x2)有两个交点，则k的取值范围是(C)A．〖1，＋∞) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D．(－∞，－1〗〖〖解析〗〗直线y＝k(x－2)＋4，当x＝2时，y＝4，可得此直线恒过A(2,4)，曲线y＝eq\r(4－x2)为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，根据题意作出相应的图形，如图所示：当直线y＝k(x－2)＋4与半圆相切(切点在第二象限)时，圆心到直线的距离d＝r，∴eq\f(|4－2k|,\r(1＋k2))＝2，即4k2－16k＋16＝4＋4k2，解得：k＝eq\f(3,4)，当直线y＝k(x－2)＋4过点C时，将x＝－2，y＝0代入直线方程得：－4k＋4＝0，解得：k＝1，则直线与曲线有2个交点时k的范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))，故选C．8．(2021·四川南充模拟)若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是(D)A．x＝0 B．y＝1C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0〖〖解析〗〗依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0,1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1,0)，半径为r＝2.则易知定点P(0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，此时直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝eq\f(1－0,0－1)＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.二、多选题9．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2eq\r(3)，则直线的倾斜角可能为(AD)A．eq\f(5π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(π,6)〖〖解析〗〗由题意可知，圆心P(2,3)，半径r＝2，∴圆心P到直线y＝kx＋3的距离d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，由d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＝r2，可得eq\f(4k2,1＋k2)＋3＝4，解得k＝±eq\f(\r(3),3).设直线的倾斜角为α，则tanα＝±eq\f(\r(3),3)，又α∈〖0，π)，∴α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的值可以是(AB)A．1 B．2C．3 D．4〖〖解析〗〗x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4，∵过P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P、圆心C、两切点构成正方形，PC＝2eq\r(2)，由题意知，直线y＝k(x＋1)与以C为圆心，以2eq\r(2)为半径的圆(x－2)2＋y2＝8相交，∴d＝eq\f(|2k－0＋k|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2)，即－2eq\r(2)≤k≤2eq\r(2)，故选AB.11．(2021·山东德州期末)已知点A是直线l：x＋y－eq\r(2)＝0上一定点，点P、Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(AC)A．(0，eq\r(2)) B．(1，eq\r(2)－1)C．(eq\r(2)，0) D．(eq\r(2)－1,1)〖〖解析〗〗如下图所示：原点到直线l距离为d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，由图可知，当AP、AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP、OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝eq\r(2)|OP|＝eq\r(2)，由两点间的距离公式得设A(t，eq\r(2)－t)|OA|＝eq\r(t2＋\r(2)－t2)＝eq\r(2)，整理得2t2－2eq\r(2)t＝0，解得t＝0或eq\r(2)，因此，点A的坐标为(0，eq\r(2))或(eq\r(2)，0)，故选AC．三、填空题12．(2021·福建厦门质检)过点(1，eq\r(3))的直线l被圆x2＋y2＝8截得的弦长为4，则l的方程为x＋eq\r(3)y－4＝0.〖〖解析〗〗当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y－eq\r(3)＝k(x－1)，即kx－y－k＋eq\r(3)＝0，∵4＝2eq\r(8－d2)⇒d＝2，∴2＝eq\f(|－k＋\r(3)|,\r(1＋k2))⇒k＝－eq\f(\r(3),3)，∴l的方程为x＋eq\r(3)y－4＝0.13．自圆外一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是x2＋y2＝2.〖〖解析〗〗由题意知四边形OMPN是正方形，所以|OP|＝eq\r(2)，于是点P的轨迹是圆心在原点，半径为eq\r(2)的圆，其方程是x2＋y2＝2.14．(2020·高考浙江)已知直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝eq\f(\r(3),3)，b＝－eq\f(2\r(3),3).〖〖解析〗〗解法一：由直线与圆相切的充要条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(|b|,\r(k2＋1))＝1，,\f(|4k＋b|,\r(k2＋1))＝1))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|b|＝|4k＋b|,|b|＝\r(k2＋1)))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(\r(3),3)舍非正数，,b＝－\f(2\r(3),3).))解法二：如图所示．由图易知，直线y＝kx＋b经过点(2,0)，且倾斜角为30°，从而k＝eq\f(\r(3),3)，且0＝eq\f(2\r(3),3)＋b⇔b＝－eq\f(2\r(3),3).四、解答题15．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，求此圆的方程．〖〖解析〗〗解法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，∴设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r＝3|a|.又圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝eq\f(|3a－a|,\r(12＋12)).∴有d2＋(eq\r(7))2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.解法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为eq\f(|a－b|,\r(2)).∴r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－b|,\r(2))))2＋(eq\r(7))2.即2r2＝(a－b)2＋14. ①由于所求的圆与y轴相切，∴r2＝a2. ②又因为所求圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0. ③联立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.解法三：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E2＝4F. ④又圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线x－y＝0的距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，由已知，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))))2＋(eq\r(7))2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ⑤又圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0. ⑥联立④⑤⑥，解得D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0即(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.B组能力提升1．(2021·河南中原名校联盟第三次联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则直线l的方程为(D)A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x＋4y－12＝0或x＝0〖〖解析〗〗圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，由|AB|＝2eq\r(3)知，圆心(1,1)到直线l的距离为1，当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－0)，即kx－y＋3＝0，由eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1得k＝－eq\f(3,4)，此时直线l的方程为3x＋4y－12＝0，故选D.2．(2021·河南名校联盟质检)已知圆C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是(D)A．(0,2〗 B．〖1,2〗C．〖2,3〗 D．〖1,3〗〖〖解析〗〗满足∠APB＝90°的点P的轨迹为x2＋y2＝t2，所以圆x2＋y2＝t2与圆C有公共点，所以|t－1|≤eq\r(\r(3)2＋12)≤t＋1，解得1≤t≤3.故选D.3．(2021·湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)已知圆O：x2＋y2＝1上恰有两个点到直线l：y＝kx＋1的距离为eq\f(1,2)，则直线l的倾斜角的取值范围为(B)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq