2024～2025学年中考数学重难创新题 与三角形有关的证明与计算含答案

2024～2025学年中考数学重难创新题与三角形有关的证明与计算

注意事项：

创新角度：跨学科、项目式、解题策略开放一、新考法-跨学科1．如图为一块光学直角棱镜，其截面为直角三角形ABC，AB所在的面为不透光的磨砂面，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=8cm.现将一束单色光从AC边上的O点入射，折射后到达AB边上的D点，恰有CD⊥AB，再经过反射后(即∠CDE=∠ODC)，从E点垂直于BC射出，则光线在棱镜内部经过的路径A．12cm B．63cm C．432．如图，⊙O的半径为r，交×轴正半轴于点A，直线l垂直平分OA交⊙O于点P，PB⊥y轴于点B．今假设在点O，A处，分别有一质量为m1，m2的天体(m1>m2)；天体物理中把与O，A处于同一平面，坐标为（r2·m1−m2A．△AOP是等边三角形B．L4在线段BP上C．∠OL4A>60°D．若m1恒定，则m2越小，L4离点P越近3．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得OB=17cm，BD=8cm．（1）试说明：OE=BD；（2）求DE的长．4．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用.例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理.（1）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b.平面镜AB与BC的夹角∠ABC=α，则α=.（2）如图③，若α=108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD=β（90°＜β＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出β=.（可用含x的代数式表示）5．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律图1图2【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电简的灯泡在点G处，手电简的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF=1.5m，点A、点C到平面镜B点的距离相等．图中点A，B，C，D在同一条直线上．求灯泡到地面的高度6．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图2.请仅就图2的情形解答下列问题.（1）求证：∠PAO=2∠PBO；（2）若⊙O的半径为3，AP=4，求BP的长.7．粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具，图（1）、图（2）是我国某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图（3）是粒子加速器的俯视示意图，其中粒子真空室可看作⊙O，粒子在A点注入，经过优弧AB后，在B点引出，粒子注入和引出路径都与⊙O相切，C，D是两个加速电极，粒子在经过CD时被加速．已知AB＝16km，粒子注入路径与AB的夹角α＝53°，CD所对的圆心角是90°．（1）求⊙O的直径；（2）比较CD与AB的长度哪个更长．（相关数据：tan37二、新题型-项目式学习8．根据以下素材，探索完成任务：测算雷锋塔的高度素材1如图1，雷峰塔前有一斜坡AB，长为10米，坡度为3:4

素材2利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D的仰角为51.1°，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为45°（其中点C，B，

素材3查阅锐角三角函数表sin51.1°≈0.任务1获取数据计算斜坡的高度AC任务2分析计算通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数）9．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题.实践报告如下：活动课题测量两幢楼楼顶之间的距离活动工具测角仪、皮尺等测量过程【步骤一】如图，在楼AB和楼CD之间竖直放置测角仪MN，其中测角仪的底端M与楼的底部A，C在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内；【步骤二】利用测角仪测出楼顶B的仰角∠BNE=45°，楼顶D的仰角∠DNF=68.2°【步骤三】利用皮尺测出AM=40米，CM=20米.解决问题根据以上数据计算两幢楼楼顶B，D之间的距离请你帮助兴趣小组解决以上问题.（计算结果保留整数）参考数据：sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50，37≈6.0810．城市雕塑“摇橹人”位于吉林市吉林大街南端的江城广场，雕塑人物以几乎倾斜倒地的姿势，用尽全身力气来摆动船橹，代表着吉林人民在湍流江水之中奋力拼搏的精神.某校数学活动小组要测量“摇橹人”的高度，张明同学带领小组成员进行此项实践活动，活动步棸记录如下：【步骤一】设计测量方案：小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量.【步骤二】准备测量工具：皮尺和自制测高仪.其中测高仪ABCD（如图②）为正方形木板，在顶点A处用细线挂一个铅锤M.【步骤三】实地测量并记录数据：如图③，令测高仪上的顶点D，A与“摇橹人”最高点E在同一条直线上.通过测量得到，∠BAM=36°，AF=20m，FG=1.【步骤四】计算“摇橹人”高度EG.（结果精确到0.1m）（参考数据：sin36°≈0.588，cos现在，请你结合图③和相关数据完成【步骤四】.11．仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度。课题估算仁皇阁高度测量工具测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等组别测量方案示意图测量方案说明组1​如图1，先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼顶端A的仰角为27°，然后从C处向阁楼底部前进10m到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角为30°．组2​如图2，身高1.5m的组员站在仁皇阁正门边上合影．打印出照片后量得此组员图上高度GH为0.5cm，量得仁皇阁图上高度EF为12.9cm.（1）任务一请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；（结果保留小数点后一位．参考数据sin27°≈0．45，（2）任务二后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因．（写出一条即可）12．廊坊某初中数学兴趣小组为测量路灯高度，设计了如下方案，请据此求出路灯高度AB.主题测量路灯高度AB工具测角仪、皮尺等人员组长：xxx；组员：xxx、xxx、xxx示意图方案在路灯前选一点P，并测出∠APB，然后把说明竖直竹竿CD在BP的延长线上左右移动到某处，AB⊥地面，CD⊥地面处，并测出∠CPD.数据BP=3m，∠APB=70°，CD=3m，∠CPD=20°，BD=11评价13．教学实践活动：910班测量雷峰塔高度实践的相关数据活动1如图，A点为塔顶，将−根木棒立在D处，AC的连线交地面于Q点，同理将相同长度的木棒立在F处，同时得到P点.若移动木棒使得CD=QD，在E点的仰角为30°，则∠PAQ活动2如图，小组2设计了此测量方法，若CD的长度为18m，已知∠α=37°，∠β=30°，则可以得到塔的高度大约为▲.(参考数据：3≈1.732，sin总结与取优老师做了一个小小的总结，并且设计了一个新的方案，已知塔前有一高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD=57米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此时EG=2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米，求出塔高三、新考法-解题策略开放14．同学们在探究学习中发现：“三角形内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例”.下面是小明同学思考出的两种不同的证明方法，请选择其中一种完成证明．已知：如图，∆ABC中，AD是角平分线．求证：ABAC=BD方法一证明：如图，过点C作CE//AD，与BA的延长线交于点E．方法二证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，连结DE、DF，求证：DE＝DF．针对这道题，三位同学进行了如下讨论﹣﹣小胡：“需要利用全等证明．”小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．”小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．”请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．16．在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：如图，在⊙O中，AB所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB．求证：∠ACB=117．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC的中点，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F求证：DE＝DF.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C①.在△BDE和△CDF中，∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF②.∴DE＝DF③.（1）上面的证明过程是否正确？若正确，请写出①、②和③的推理根据.（2）请你写出另一种证明此题的方法.18．小明遇到这样一个问题如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且BD=BC，求证：∠ABC=2∠ACD.小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E.方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F.根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC=2∠ACD.19．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”；如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角∴__▲_.∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）∵_▲_.∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】（1）证明：∵OB⊥OC，∴∠BOD+∠COE=90°，又∵CE⊥OA,∴∠CEO=∠ODB=90°，∴∠BOD+∠B=90°，∴∠COE=∠B，在△COE和△OBD中，∠CEO=∠BDO∠COE=∠B∴△COE≌△OBD(AAS)，∴OE=BD；（2）解：在Rt△OBD中，OD=O由（1）得OE=BD=8cm，∴DE=OD−OE=15−8=7(4．【答案】（1）90°（2）162°或90°＋x5．【答案】解：如图2，根据题意得：法线垂直于平面镜，且∠i=∴∠ABG在△FCB和△GAB中，∠FCB=∠GAB=90°∴△FCB≌△GAB（ASA）∴AG=CF=1.5m（全等三角形的性质）6．【答案】（1）证明：如图，连接OP，∵AP与⊙O相切，∴OP⊥AP，∴∠APO=90°，∴∠PAO+∠POA=90°，OM⊥ON，∴∠POQ+∠POA=90°∴∠POQ=∠PAO，B恰好落在⊙O上，∴∠PBO=∴∠PAO=2∠PBO（2）解：连接CP，过P作PD⊥BC于点D，∠PDO=90°，由（1）可知：∠POQ=∠PAO，∠APO=90°，∴△PDO∼ΔOPA，∴PDA⊙O的半径为3，AP=4∴AO=5，∴PD∴PD=∴BD=3−OD=3+12∴Rt△PBD中，PB∴P∴PB=97．【答案】（1）解：过点O作OE⊥AB于点E，连接AO，∵AF是⊙O的切线，∴∠FAO＝90°，∵α＝53°，∴∠EAO＝90°﹣53°＝37°，∵AB是⊙O的弦，OE是⊙O的弦心距，OE⊥AB，AB＝16km，∴AE＝BE＝12AB＝1∴tan∠EAO＝OEAE＝tan3∴OE≈34AE＝3∴AO＝AE∴⊙O的直径为：2AO＝20（km），∴⊙O的直径约为20km；（2）解：AB的长度更长一些．理由：∵CD所对的圆心角为90°，OC＝OA＝10（km），∴CD的长度约为：90π×10180∵15.7＜16，∴AB的长度更长一些．8．【答案】解：任务一：∵斜坡AB的坡度是3:∴ACBC=34又∵在Rt△ABC中，AB∴AB=5x，∴5x=10，解得：x=2，∴AC=3x=6，∴斜坡的高AC为6．任务二：如图，过A作AH⊥DE于H，结合题意可得：四边形ACEH是矩形，∴AH=CE，AC=HE=6，设BE=x，∵tan∠DBE=∴DE=1.∴AH=CE=8+x，DH=DE−HE=1.∵在斜坡顶的点D处测得楼顶B的仰角为45°，∴AH=DH，∴8+x=1.解得：x≈58，∴DE=DH+HE=58+6=64米，故雷峰塔的高度为64米．9．【答案】解：过B作BG⊥CD交于G，如图：由测量步骤可得：四边形AMNE、四边形CMNF、四边形ACFE、四边形BEFG均是矩形∵EN=AM=40∴FN=CM=20，∴EF=EN+FN=60，∴BG=FF=60∵∠EMB=45°，∴∠EBM=∠EMB=45°，∴BE=EM=40，∴FG=BE=40，在Rt△DFN中tan∠DNF=DF∴DF=20×tan68.2°≈50，∴DG=DF-FG=50-40=10，在Rt△BGD中，BD=故两幢楼楼顶B，D之间的距离为608米.10．【答案】解：根据题意可知：∠FAM=∠BAE=90°∴∠EAF=∠BAM=36°在Rt△EFA中，∠EFA=90°，tan∠EAF=∴EF=tan∴EG=EF+FG=14.答：“摇橹人”的高度约为16.5m.11．【答案】（1）解：组1，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠ACB=27°，∴tan∴BC=2AB，在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°，∴tan∴BD=3∵CD=10m，∴BC−BD=2AB−3解得AB≈37.（2）解：组2，设阁楼高度为xm，根据题意得1.解得x=38.任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）12．【答案】解：∵∠CPD=20°，∠APB=70°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=70°.在△CPD和△PAB中，∠CDP=∠PBACD=PB∠DCP=∠BPA∴DP=AB.∵BD=11.2m，∴DP=BD−BP=8.2m，即13．【答案】解：活动一：15°；

活动二：44.26m；

总结与取优：∵CD⊥BG∴∠CDE∵∠CED∴△CDE∽△∴CDDE=FGEG，

∵∴4解得：DE=6∵BD∴BE∵AB⊥BG∴∠ABE∵∠AEB∴△ABE∽△∴AB即AB63解得：AB=42∴雷锋塔的高度AB为42米．14．【答案】解：方法一：证明：如图，过点C作CE//AD与BA得延长线交于点E．∵CE//AD∴∠1=∠2，∠3=∠4∵AD平分∠BAC∴∠1=∠3∴∠2=∠4∴AE=AC∵CE//AD∴AB∵AE=AC∴AB方法二：证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N，过点A作AP⊥BC于P．∵AD平分∠BAC∴DM=DN∴S∵DM=DN∴AB15．【答案】解：小胡的证明方法：如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵D、E、F、分别是BC、AB、AC的中点，∴BD＝CD，BE=12AB，CF=1∴BE=CF∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．小吴的证明方法：如图，连结AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即△ABD和△ACD为直角三角形，∵E、F、分别是AB、AC的中点，∴DE＝DF．小明的证明方法：如图，连结AD，EF，AD和EF交于点O，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∵E、F、分别是AB、AC的中点，∴AE=12AB，AF=1∴AE=AF∴AD是△AEF边EF的中垂线∴DE＝DF．16．【答案】证明：∵OC=AO∴∠ACO=CAO∴∠AOD=∠ACO+∠CAO=2∠ACO同理：∠BOD=2∠BCO∵∠AOB=∠AOD+∠BOD∴∠AOB=2∠ACO+2∠BCO=2(∠ACO+∠BCO)=2∠ACB，即∠ACB=117．【答案】（1）解：①等边对等角，②AAS，③全等三角形的对应边相等（2）解：连接AD，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC（等