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文档简介
新教材必修第一册4.5.1:函数的零点与方程的解课标解读:函数零点的概念.(理解)有解与有零点的关系.(理解)函数零点的推断.(理解)学习指导:在娴熟把握基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图像与性质的基础上,提炼方程的解与函数的图像与x轴交点的关系,进而理解并精确把握函数零点的概念,以及函数零点、方程的实数解、函数图像与x轴交点三者之间的关系,并能从“形”(函数图像)与“数”(函数零点存在定理)两个角度分析解决函数零点有关问题.学问导图学问点1:函数的零点1.函数零点的概念对于一般函数,我们把使的实数叫做函数的零点.即哈数的零点就是使函数值为零的自变量的值.2.函数的零点与方程的解的关系函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图像与x轴的公共点的横坐标.所以方程有实数解函数有零点函数的图像与x轴有公共点.3.几种常见函数的零点(1)二次函数的零点一元二次方程的实数根也称为函数的零点.当时,一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示:的实数根(其中)方程无实数根的图像的零点函数无零点类似可得当的情形.正比例函数仅有一个零点0.一次函数仅有一个零点(4)反比例函数没有零点.(5)指数函数没有零点.(6)对数函数仅有一个零点1.(7)幂函数当时仅有一个零点0;当时,没有零点.例1-1:观看如图所示的四个函数图像,指出在上哪个函数有零点.答案:在上有零点,在上没有零点.例1-2:推断下列说法是否正确:函数的零点为1;函数的零点为(0,0),(2,0).答案:(1)不正确(2)不正确例1-3:函数的零点个数是()0B.1C.2D.3答案:D例1-4:是“函数有零点”的()充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:C学问点2:函数零点存在定理1.函数零点存在定理假如函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线,且有,那么函数在区间内至少有一个零点,即存在,使得,这个c也就是方程的解.2.函数零点存在定理的几何意义.在闭区间上有连续不断的曲线,且曲线的起点与终点分别在x轴的两侧,则连续曲线与x轴至少有一个交点.3.函数零点的性质假如函数图像通过零点时穿过x轴,则称这样的零点为变号零点.如图(1)所示,都是变号零点;假如没有穿过x轴,则称这样的零点为不变号零点,如图(2)所示,二次函数有一个不变号零点(或叫二重零点).对于任意函数,只要它的图像是连续不断的,则有:当它的图像听过零点且穿过x轴时,零点两侧的函数值异号;相邻两个零点之间的全部函数值保持同号.例2-5:若函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线,则下列说法正确的是()A.若,则不存在实数,使得B.若,则只存在实数,使得C.若,则有可能在实数,使得D.若,则有可能不存在实数,使得答案:C例2-6:已知定义在R上的函数的图像是连续不断的,当x=1,2,3,5时对应的函数值如下表,那么下列区间内,函数不肯定存在零点的是()x1235f(x)3-120A.(1,2)B.[1,3]C.[2,5)D.(3,5)答案:D变式训练1:针对例2-6,函数在区间[1,5]上的零点至少有()1个B.2个C.3个D.4个答案:C题型与方法题型1:求函数的零点(方程的根)例7:推断下列函数是否存在零点,假如存在,恳求出.;;;.答案:(1)零点为;(2)零点为;(3)不存在零点;(4)零点为.例8:函数的零点的个数是()0B.1C.2D.3答案:C变式训练2:若函数的图像如图所示,则函数的零点是.答案:题型2:函数零点存在定理的应用——推断函数零点(方程的根)例9:若是方程的根,则属于区间()A.()B.()C.()D.()答案:C例10:函数的一个零点在区间(1,2)内,则实数的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)答案:C变式训练3:表示不超过的最大整数,例如.已知是方程的根,则()2B.3C.4D.5答案:C题型3:利用图象交点来处理函数零点(方程的根)问题1.函数零点的个数例11:已知函数,则函数的零点个数为()3B.2C.1D.0答案:B变式训练4:函数的零点的个数是()0B.1C.2D.3答案:B2.已知函数零点个数或零点所在区间求参数的取值范围例12:已知函数有且只有两个零点,则的取值范围是().B.C.D.答案:B变式训练5:已知,符号表示不超过的最大整数,若函数有且仅有3个零点,则的取值范围是()A.B.C.D.答案:C3.涉及图像变换例13:若关于有两个不等的实数根,则的取值范围是.答案:4.函数零点位置的确定例14:已知是函数的一个零点.若,则()A.B.C.D.答案:B例15:若方程的根为,方程的根为,则的取值范围为().A.(0,1)B.(1,+)C.(1,2)D.[1,+)答案:A题型4:一元一次方程根的分布及应用例16:当为何值时,方程有;两个不相等的实根?答案:∵方程有两个不相等的负根,∴故当时,方程有两个不相等的负根.例17:若方程的两个根满足,求实数的取值范围.答案:由题意可知,即,解得故实数的取值范围是【变式1】若本例题中的条件改为“方程的一根小于1,另一根大于1”,实数的取值范围是什么呢?答案:【变式2】若将本例题中的条件改为“方程在时有两个相异实根”,实数的取值范围是什么呢?答案:例18:已知,关于的方程,,给出下列四个命题:①存在实数,使得方程恰有2个不同的实数解;②存在实数,使得方程恰有4个不同的实数解;③存在实数,使得方程恰有5个不同的实数解;④存在实数,使得方程恰有8个不同的实数解;其中真命题的个数是()1B.2C.3D.4答案:D易错提示易错1:误会零点的概念例19:函数的零点是()A.(1,0)B.(2,0)C.(1,0),(2,0)D.1,2答案:D易错2:错用函数零点存在定理例20:函数的零点个数为()0B.1C.2D.4答案:B易错3:求参数的取值范围忽视限制条件例21:若函数在区间[0,4]内至少有一个零点,求实数的取值范围 .答案:解得高考链接考向1:确定函数零点所在的区间例22:已知函数在下列区间中,包含零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,)答案:C考向2:确定函数零点的个数例23:已知函数,函数,则函数的零点个数为()2B.3C.4D.5答案:A考向3:与函数零点相关的参数问题例24:已知函数,.若存在2个零点,则的取值范围是()A.B.C.D.答案:C基础巩固1.下列命题中真命题的个数是()①若,函数在上单调且图像连续,则函数在上只有一个零点;②若,函数在上单调且图像连续,则函数在内肯定没有零点;③若,函数在上不单调且图像连续,则函数在内是否存在零点不确定;④若,则或是函数的零点.1B.2C.3D.42.下列函数不存在零点的是()A.B.C.D.3.依据表格中的数据可以判定方程的一个根所在的区间为()1234500.6931.0991.3861.609-10123A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)4.若是函数的零点,则()A.B.C.D.5.方程的根所在的区间为()A.(-1,0)B.(0,1)C(1,3)D.(2,3)6.函数有两个零点,其中,则实数的取值范围是().A.B.C.D.7.已知函数(1)假如函数的一个零点为0,求的值;(2)当函数有两个零点,求的取值范围;(3)当函数有两个零点,且其中一个大于1,另一个小于1,求的取值范围.力量提升8.若函数的零点与的零点之差的确定值不大于0.5,则可以是().A.B.C.D.9.函数的零点个数为().A.1B.2C.3D.410.已知分别是关于的方程的根,则下面为定值的是().A.B.C.D.11.设函数.若实数满足,则().A.B.C.D.12.定义在R上的偶函数满足,且在时,.若关于的方程在时恰有3个不同的实数根,则实数的取值范围为()A.(1,2)B.(2,+)C.()D.()13.若关于的方程有实数根,则实数的取值范围为.14.偶函数满足,且当时,,则函数在(0,10)上的零点的个数为.15.若函数有两个零点,则实数的
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