2024年新高一数学初升高衔接《同角三角函数的基本关系》含答案解析

数学PAGE1数学第24讲同角三角函数的基本关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；2．会利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值与恒等式证明.知识点1同角三角函数的基本关系1、同角三角函数的基本关系基本关系基本关系式语言描述平方关系同一个角的正弦、余弦的平方和等于1商数关系同一个角QUOTE的正弦、余弦的商等于角QUOTE的正切2、基本关系式的要点剖析（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如成立，但是就不一定成立．（2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒成立，而仅对成立．知识点2关系式的常用等价变形1、2、【注意】使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题．知识点3基本关系式常用解题方法1、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；第二步：依据角的终边所在象限分类讨论；第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。2、三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．3、三角函数恒等式证明证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或eq\f(左边,右边)＝1(右边≠0)．④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．考点一：sina、cosa、tana知一求二例1．（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知，是第三象限角，则（

）A． B． C． D．【变式1-1】（23-24高一下·河南南阳·月考）已知是第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】（23-24高一下·北京·月考）已知，且，则（

）A． B． C． D．【变式1-3】（23-24高一下·山西临汾·月考）已知为第三象限角，，则（

）A． B． C． D．考点二：sina、cosa齐次式的求值例2.（23-24高一下·山东济宁·月考）已知，则等于（

）A． B． C． D．【变式2-1】（23-24高一下·上海·月考）若，则（）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知，则.【变式2-3】（23-24高一上·全国·课时练习）已知，求：（1）；（2）.考点三：sina·cosa、sina±cosa关系例3.（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知，则的值为（

）A． B． C． D．不存在【变式3-1】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．【变式3-2】（22-23高一下·辽宁沈阳·月考）已知在中，，则（

）A． B． C． D．【变式3-3】（23-24高一上·安徽合肥·月考）已知关于的一元二次不等式的解集中有且只有一个元素，(1)计算的值；(2)计算的值.考点四：三角函数式的化简求值例4.（23-24高一上·四川成都·月考）化简：.【变式4-1】（2024高一上·全国·专题练习）化简：【变式4-2】（2023高一上·河北保定·竞赛）化简(1)；(2)已知是第三象限角，化简【变式4-3】（2023高一上·江苏·专题练习）化简：(1)－；(2)；(3)．考点五：三角恒等式的证明例5.（24-25高一上·全国·课后作业）求证：．【变式5-1】（23-24高一上·全国·专题练习）求证：.【变式5-2】（21-22高一上·甘肃兰州·期末）求证：(1)；(2).【变式5-3】（22-23高一·全国·随堂练习）求证：(1)；(2)；(3)．一、单选题1．（23-24高一上·山东济宁·月考）已知，则的值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）已知为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）化简的结果是（

）A． B． C． D．4．（22-23高一下·湖北黄冈·月考）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，则的值为（

）A． B． C． D．6．（22-23高一下·河南·月考）已知，则（

）A． B． C． D．2二、多选题7．（23-24高一上·新疆·月考）若是第二象限角，则下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．8．（23-24高一上·河北邯郸·月考）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题9．（22-23高一下·新疆和田·月考）已知是第四象限角，且，那么tanθ的值为10．（23-24高一上·四川雅安·月考）已知，则．11．（23-24高一下·广东深圳·月考）若，则四、解答题12．（23-24高一上·山东济宁·月考）已知角的终边经过点，(1)求的值；(2)若是方程的两个根，求的值.13．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知(1)化简；(2)若为第三象限角，且，求，.第24讲同角三角函数的基本关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；2．会利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值与恒等式证明.知识点1同角三角函数的基本关系1、同角三角函数的基本关系基本关系基本关系式语言描述平方关系同一个角的正弦、余弦的平方和等于1商数关系同一个角QUOTE的正弦、余弦的商等于角QUOTE的正切2、基本关系式的要点剖析（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如成立，但是就不一定成立．（2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒成立，而仅对成立．知识点2关系式的常用等价变形1、2、【注意】使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题．知识点3基本关系式常用解题方法1、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；第二步：依据角的终边所在象限分类讨论；第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。2、三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．3、三角函数恒等式证明证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或eq\f(左边,右边)＝1(右边≠0)．④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．考点一：sina、cosa、tana知一求二例1．（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知，是第三象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，是第三象限角，.故选：A.【变式1-1】（23-24高一下·河南南阳·月考）已知是第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因是第二象限角，且，故，则.故选：B.【变式1-2】（23-24高一下·北京·月考）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，得，则，所以.故选：B【变式1-3】（23-24高一下·山西临汾·月考）已知为第三象限角，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，解得，因为为第三象限角，所以，故选：C.考点二：sina、cosa齐次式的求值例2.（23-24高一下·山东济宁·月考）已知，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得.故选：A【变式2-1】（23-24高一下·上海·月考）若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以.故选：D【变式2-2】（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知，则.【答案】5【解析】因为，解得，所以.故答案为：5.【变式2-3】（23-24高一上·全国·课时练习）已知，求：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）=.考点三：sina·cosa、sina±cosa关系例3.（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知，则的值为（

）A． B． C． D．不存在【答案】B【解析】，由，则，解得，由三角函数的值域可知，不成立，故.故选：B【变式3-1】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，解得，对于A，，则，，A正确；对于D，，D正确；对于B，由，，得，B错误；对于C，，C正确.故选：B【变式3-2】（22-23高一下·辽宁沈阳·月考）已知在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，则，可得，又，则，即，可得，又因为，所以.故选：B.【变式3-3】（23-24高一上·安徽合肥·月考）已知关于的一元二次不等式的解集中有且只有一个元素，(1)计算的值；(2)计算的值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由已知，关于的不等式的解集中有且只有一个元素，，则..（2），，.考点四：三角函数式的化简求值例4.（23-24高一上·四川成都·月考）化简：.【答案】1【解析】.故答案为：1.【变式4-1】（2024高一上·全国·专题练习）化简：【答案】.【解析】解析：＝【变式4-2】（2023高一上·河北保定·竞赛）化简(1)；(2)已知是第三象限角，化简【答案】(1)1；(2)【解析】（1）由.（2）因为是第三象限角，可得，，则.【变式4-3】（2023高一上·江苏·专题练习）化简：(1)－；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)1；(3)．【解析】（1）原式＝.（2）原式＝（3）原式＝考点五：三角恒等式的证明例5.（24-25高一上·全国·课后作业）求证：．【答案】证明见解析【解析】因为左边，右边．所以．【变式5-1】（23-24高一上·全国·专题练习）求证：.【答案】证明见解析【解析】所以原等式成立．【变式5-2】（21-22高一上·甘肃兰州·期末）求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明：左边==右边.（2）证明：左边==右边.【变式5-3】（22-23高一·全国·随堂练习）求证：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）.故成立.（2）故成立.（3）.故成立.一、单选题1．（23-24高一上·山东济宁·月考）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，故选：C2．（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）已知为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为第二象限角，且，所以，所以，故选：B3．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】,而，故，故，故选：C4．（22-23高一下·湖北黄冈·月考）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，则，，又，∴，∴，故选：B．5．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，因为，所以.故选：B.6．（22-23高一下·河南·月考）已知，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】∵，∴则.故选：B二、多选题7．（23-24高一上·新疆·月考）若是第二象限角，则下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由是第二象限角，得，，，对于A，，即有，A错误；对于B，由，即，得，