新高考数学一轮复习讲义 第33讲 空间直线、平面的平行（原卷版）

第33讲空间直线、平面的平行（精讲）题型目录一览①线面平行Ⅰ—利用三角形中位线②线面平行Ⅱ—利用平行四边形③线面平行Ⅲ—利用线面平行的性质定理④线面平行Ⅳ—利用面面平行⑤面面平行的判定定理一、知识点梳理一、知识点梳理一、直线和平面平行1．定义直线与平面没有公共点，则称此直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行，记作SKIPIF1<0∥SKIPIF1<02．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥线SKIPIF1<0线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行SKIPIF1<0线面平行SKIPIF1<0面∥面SKIPIF1<0线∥面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面SKIPIF1<03．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥面SKIPIF1<0线∥线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行SKIPIF1<0二、两个平面平行1．定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∥SKIPIF1<02．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理线∥面SKIPIF1<0面∥面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行SKIPIF1<0面面平行SKIPIF1<0SKIPIF1<0线SKIPIF1<0面SKIPIF1<0面∥面如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行SKIPIF1<0∥SKIPIF1<03．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言面//面SKIPIF1<0线//面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面SKIPIF1<0性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行SKIPIF1<0线面平行”）SKIPIF1<0面//面SKIPIF1<0线SKIPIF1<0面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线SKIPIF1<0【常用结论】1.证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行SKIPIF1<0线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；2.证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面．3.证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一线面平行Ⅰ—利用三角形中位线策略方法1.可以拿一把直尺放在SKIPIF1<0位置（与SKIPIF1<0平齐），如图一；2.然后把直尺平行往平面SKIPIF1<0方向移动，直到直尺第一次落在平面SKIPIF1<0内停止，如图二；3.此时刚好经过点SKIPIF1<0（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点SKIPIF1<0），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图三；4.此时SKIPIF1<0长度有长有短，连接SKIPIF1<0并延长刚好交于一点SKIPIF1<0，刚好构成SKIPIF1<0型模型（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0也为SKIPIF1<0中点，若SKIPIF1<0为等分点，则SKIPIF1<0也为SKIPIF1<0对应等分点），SKIPIF1<0，如图四．图一 图二 图三 图四【典例1】如图，SKIPIF1<0垂直于梯形SKIPIF1<0所在平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为矩形.求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；

【题型训练】一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的三棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

2．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<03．如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0为正方形，E为PB的中点.证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

4．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，点D是棱SKIPIF1<0的中点．求证：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0.

5．在多面体SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求证：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

题型二线面平行Ⅱ—利用平行四边形策略方法1.可以拿一把直尺放在SKIPIF1<0位置，如图一；2.然后把直尺平行往平面SKIPIF1<0方向移动，直到直尺第一次落在平面SKIPIF1<0内停止，如图二；3.此时刚好经过点SKIPIF1<0（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点SKIPIF1<0），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与SKIPIF1<0相交于点O，连接SKIPIF1<0，如图三；4.此时SKIPIF1<0长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接SKIPIF1<0，刚好构成平行四边形SKIPIF1<0型模型（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，O也为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为三角形SKIPIF1<0中位线），SKIPIF1<0，如图四．图一图二图三图四【典例1】如图所示，长方体SKIPIF1<0中，M、N分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，判断MN与平面SKIPIF1<0的位置关系，并证明你的结论．【题型训练】一、解答题1．如图，在多面体SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

2．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

3．如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面是矩形，E、F分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点.求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

4．在直三棱柱SKIPIF1<0中，E，F分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.5．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点.证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

题型三线面平行Ⅲ—利用线面平行的性质定理策略方法如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行【典例1】如图，已知长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，平面SKIPIF1<0交棱SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.求证：SKIPIF1<0；【题型训练】一、解答题1．在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，平面SKIPIF1<0与棱SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0.求证：SKIPIF1<0.2．四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为矩形，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0平行于平面SKIPIF1<0.3．如图所示，四边形SKIPIF1<0为空间四边形SKIPIF1<0的一个截面，若截面为平行四边形.求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交于直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．5．如图，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的直径，点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0的点，直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.记平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<06．如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，若直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值题型四线面平行Ⅳ—利用面面平行策略方法已知平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0里的任意直线均与平面SKIPIF1<0平行【典例1】如图，在长方体SKIPIF1<0中，E，M，N分别是SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

【题型训练】一、解答题1．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<02．如图，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，四边形SKIPIF1<0为菱形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<03．如图，四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<04．如图，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，F，M，N分别为SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0.5．如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<06．）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分别为SKIPIF1<0，AC的中点．求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；7．如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，证明：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0题型五面面平行的判定定理策略方法常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．【典例1】如图所示，在三棱柱SKIPIF1<0中，E，F，G，H分别是AB，AC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．求证：平面SKIPIF1<0平面BCHG．【题型训练】1．如图，在正方体SKIPIF1<0中，E，F分别为棱SKIPIF1<0的中点.求证：平面SKIPIF1<0平面BDF2．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)在线段SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0请说明理由．3．如图，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)在线段SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．4．在圆柱SKIPIF1<0中，等腰梯形ABCD为底面圆SKIPIF1<0的内接四边形，且SKIPIF1<0，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线．求证：平面SKIPIF1<0平面ADE．

5．如图所示，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面外一点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SK