2022年高中数学第一章空间向量与立体几何用空间向量研究距离夹角问题作业新人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

[A级新教材落实与巩固]

一、单项选择题

1.如图,在正四棱柱ABCD-ABCQ中，AA产2AB,则异面直线A】B与AD,所成角的余弦

值为（D）

2.二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都

垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2A/17,则该二面角的大小为（C）

A.150°B.45°C.60°D.120°

3.在直三棱柱ABC-ARG中，ZACB=90°,AC=1,CB=/,侧棱AA,=1,侧面AA^B

的两条对角线的交点为D,则平面及BD与平面CBD所成角的余弦值等于（C）

【解析】建立如图所示的坐标系，由题意可知,

B（心,0,0）0）,（啦,0,1）,

C（0,0,0）,Dl22）,所以而=

CB,0,0）,BA=（一毡，1，0），

1

_V2,1,1

BB|=(O,0,1),前=12'2’2J.

设平面CBD和平面B,BD的一个法向量分别为n,,n2,

求得％=(0,1,—1),n2=3皿,0),

n2

所以Icos(nPn2)I"!'i*,0!~~，

|n1||n2|3

故平面,BI)与平面CBD所成角的余弦值为业.

3

4.在矩形ABCD中，AB=1,BC=S,PA_L平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所

成的角。是(A)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

【解析】建立

如图所示的空间直角坐标系，则P(O,0,1),c(i，S,o),则证=3也,-1),

平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以sin。=|cosn)|==一

IPCI|n|2

所以PC与平面ABCD所成的角为30°.

5.在棱长为a的正方体ABCD-ABC。中,M是AA1的中点，则点片到平面MBD的距离是

(A)

AgaR弧「弧n弧

A・------D.---------C.-------D.-------

6643

【解析】如图

所示，建立空间直角坐标系，则Ala,0,a),M['0,3,B(a,a,0),D(0,0,0),

2

0,0,

所以MAj=11

I].DB=(a,a,0).

a,0,

前=

设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),

n•DM=ax+-z=0,

2

则令x=l,得n=(l,—1,—2),

n•DB=ax+ay=0,

In•MA】|

所以点儿到平面MBD的距离是

n6

6.在长方体0ABC-0AB£中,0A=2,AB=3,AAt=2,则点01到直线AC的距离是(B)

AB2^/^

・13.13

rV143n2标

C.--------1).----------

1313

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(2,0,0),0,(0,0,2),C(0,3,0),所以A01=(-2,0,2),AC=(一2,3,

AO,•AC4

0),所以AO「AC=(-2,0,2)(-2,3,0)=4,所以"------=亍，所以a到直线

AC|也3

“AO-阖三

AC的距离d=

13

二、多项选择题

7.如图，PA_L平面ABCD,正方形ABCD的边长为1,E是CD的中点，F是AD上一点,

当BF_LPE时，贝U(BC)

A.AF：FD=2：1

B.AF:FD=1:1

3

2

C.若PA=1,则异面直线PE与BC所成角的余弦值为4

3

D.若PA=1,则直线PE与平面ABCD所成角为30°

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=a,

fl1,o]

则B(l,0,0),C(l,1,0),E12J,P(0,0,a).

设点F的坐标为(0,y,0),

则前=(-l,y,0),PE=t''a),

VBF±PE,.,.BF•PE=0,解得y=^,

2

[o,ol

即点F的坐标为I2J,

.♦.F为AD的中点，

；.AF：FD=1：1,B正确，A不正确.

若PA=1,则P(0,0,1),

-»1,-11——

PE=12J,BC=(0,1,0),cos(PE,BC〉

19

=-，故C正确.

,1+13

平面ABCD的一个法向量为AP,

AP=(0,0,1),cos<AP,PE〉

故D不正确.故选BC.

8.在长方体ABCD-A'B'CzD'中，AB=2,AD=3,AA'=1,以D为原点，浪,DC,

DD7分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法中正确的是

(ACD)

A.B萨=(-3,-2,1)

4

B.异面直线A'D与BD'所成角的余弦值为强

35

C.平面A'C'D的一个法向量为(-2,-3,6)

D.二面角C'-A'D-D'的余弦值为士

7

【解析】如图，由题意可得A(3,0,0),

B(3,2,0),c(0,2,0),Dz(0,0,1),

Az(3,0,1),c'(0,2,1),B'(3,2,1),

所以BD'=(-3,—2,1),则A正确.DA'=(3,0,1),

BD7=(-3,-2,1),所以cos(Dr.BD7〉

DA7•BD7—8—-4南

ID/T|.IBD7I而X匹35

所以异面直线A'D与BD'所成角的余弦值为强，

35

则B不正确.设平面A'CD的一个法向量为n=(x，y.z),

由DA，=(3,0,1),DC'=(0,2,1),

n•帚=0,[3x+z=0,

则.所以,

n•DC7=0,I2y+z=o,

取z=6,得n=(-2,-3,6),则C正确.

由上可得平面A'C'D的一个法向量为n=(—2,-3,6),

又平面A'DD'的一个法向量为m=(0，1，0),

n•m—3

则cos<n,m)—=----,

|n|.|m|1X7

结合图形可知二面角C'-A'D-D'的余弦值为之,

7

则D正确.故选ACD.

三、填空题

9.在正方体ABCD-ABCR中，M,N分别是棱AA】和BB,的中点，则sin〈5，D,N>=

5

暹

9一•

10.在正方体ABCD-ABCR中，直线BC与平面AJ3D所成角的余弦值为*=_.

3

【解析】如图，

建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,

则D(0,0,0),A.d,0,1),B(l,1,0),

C,(0,1,1),所以DA|=(1,0,1),

DB=(1,1,0),BG=(—1,0,1),

设n=(x,y,z)为平面&BD的法向量，则

h•DA]=x+z=0,

,一令x=l,得n=(l,—1,—1).

n・DB=x+y=0,

设直线BC与平面A】BD所成角为0,

则sin0=|cos<n,BQ)I

IniIBCJ

2乖八，„邓

—~TF=----,所以COSe=------.

72义勺333

11.在平行六面体ABCD-ARCD中，AB=1,AA,=3,AD=2,ZBAD=90°,ZBAA,=

ZDAA,=60o,则AC=而•

【解析】AC,=AB+AD+AA,,所以|ACjz=(而+AD+AA,)2=|AB|2+|AD|2+|AAj2+

2AB-AD+2AB•AA,+2AD-AA,=1+22+32+2X1X2Xcos90°+2XlX3Xcos60°+

2X2X3Xcos60°=23,所以lAC/二低，即人购=低.

12.如图，在直四棱柱ABCD-AECD中，底面为直角梯形，AB〃CD且/ADC=90°,AD

=1,CD=3>BC=2,AA1=2,E是CG的中点，则AB到平面ABE的距离是—也

6

【解析】以D为原点，而，说，DD,的方向

分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，

则A(l,0,0),B(l,2#,0),E(0,他，1),

A,(l,0,2),所以—=(0,2而，0),

BE=(一1,一3,1),设平面ABE的法向量

为n=(x,y,z),则

n•AB=2^/3y=0,

,—解得x=z,y=0,取z=l,

n.BE——x—y/3y+z—0,

则n=(l,0,1).又易证AS〃平面ABE,

所以AB到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离.

又AA】=(0,0,2),所以点A1到平面ABE的距离

四、解答题

13.如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AECF所截而得到的，其中AB=4,

BC=2,BE=1,CG=3.

⑴求廊的值:

(2)求点C到平面AEC,F的距离.

7

解：以D为原点，DA,DC,DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C,(0,4,3).

(1)设F(0,0,a),由酢=E。，

得(一2,0,a)=(-2,0,2),解得a=2.

所以F(0,0,2),BF=(—2,-4,2).

所以|前=:(-2)z+(-4)2+3=2m.

⑵设n=(x,y,z)为平面AECF的法向量,

n•靠=0,(4y+z=0,

由,得,

n•AF=0,I-2x+2z=0，

1f.1;_1fI]I

取z=l,则n=l4J.又CC|=(0,0,3),

所以点C到平面AEC,F的距离d=(a.

|n|11

14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAJ_底面ABCD,AB〃CD,AD=CD=1,ZBAD=120°,

ZACB=90°.

(1)求证：BC_L平面PAC；

8

解：（1）证明：因为PA_L底面ABCD,BCU平面ABCD,

所以PA_LBC.因为NACB=90°,所以BCLAC.

又PACIAC=A,所以BC_L平面PAC.

⑵设AP=h,取CD的中点E,

易得AADC是正三角形.

则AE_LCD,所以AE_LAB.

又PAJ_底面ABCD,所以PA_LAE,PA1AB,

故建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),P(0,0,h),

他Lol他-1,°].B(0,

cl22J,D122

2,0),

使1-h]

所以PC=122J,

DC=(0,1,0).

设平面PDC的法向量ri|=（X],yi，z）,

nl•PC=0,

则._

Hi•DC=0,

取x1=h,

他

由（1）知平面PAC的一个法向量为证=12'

所以|cos(ripBC〉，解得h=S

同理可求得平面PBC的一个法向量出=（3,他，2）,

扉•%|_2皿=重

所以，点A到平面PBC的距离为（1=--

In2|42

[B级素养养成与评价]

15.己知正方体ABCD-ARCD的棱长为3,E为CD的中点,则点已到平面AEG的距离

为(A)

A.mB.他C.啦D.1

【解析】建立如图所示空间直角坐标系,

9

则A(3,0,0),D,(0.0,3),E(°P°1

C,(0,3,3),

-3,

所以AE=川

A&=(-3,3,3),D£=(0,3,0).

设n=(x,y,z)为平面AEG的法向量，则

3

3x+y=0,

fn.AE=0,w-2

n*ACi=0,「3x+3y+3z=0,

令x=l,所以y=2,z=—1,所以n=(l,2,—1),

所以D到平面AEG的距离为

ID。・nl/(0,3,0)-(1,2,—1)|

n

16.在正方体ABCD-ABCR中，点E为BB1的中点，则平面&ED与平面ABCD所成的二

2

面角的余弦值为

【解析】建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),At(0,0,

2),E(0,2,1),则A1D=(2,0,-2),A1E=(0,2,-1).

设平面A]ED的法向量为n=(x,y,z),

fn•A[D=0,[2x—2z=0,[x=z,

贝小/.：A

n•A]E=0,12y—z=0,1z=2y.

令y=l,得n=(2,1,2).

易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),

10

则cos<n,m)=------=-.

n|m|3

17.如图，在三棱柱ABC-ABG中，四边形AAQC是边长为4的正方形，平面ABC,平

面AA££,AB=3,BC=5.

(1)求证：AA]J_平面ABC；

(2)求二面角的余弦值；

(3)证明在线段BC上存在点D,使得ADLAB并求空■的值.

解：(1)证明：因为四边形AA£C是正方形，所以AA1，AC.

又因为平面ABCJ_平面AA£C,交线为A