2023-2024学年高一数学2019单元复习试题单元复习11解三角形提高题

单元复习11解三角形

基础纸、*

一、单选题

1.在中，2=30。，BC=2,AB=^3,则边NC的长等于（）

A.73-1B.1C.V3D.2

【答案】B

【分析】利用余弦定理即得.

【解析】由余弦定理，^AC2=AB2+BC2-2AB-BCCOSB=?,+4-2^X2X^=1,

2

解得NC=1.

故选：B.

57a

2.已知的三个内角A、B、。满足一；=一r=一则5=()

sinAsinBsinC

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】利用正弦定理结合余弦定理求出cosB的值，结合角5的取值范围可求得结果.

57_857g

【解析】因为由正弦定理可得一二7=—,

sin力sinBsinCabc

设。=夕«>0）,则6=7/,。=8方，由余弦定理可得cos5=/+♦一）二】

lac2

0°<S<180°,因此，5=60°.

故选：C.

3.在AJBC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,若§<cosN,则AA8C必为（）

b

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形

【答案】A

【分析】由正弦定理得到IsinC<cos/sin8,得出sin/cosB<0,进而sin/>0,cos8<0,即可求解.

osinC

【解析】因为:<cos4,由正弦定理可得二一<cos4,即sinC<cos/sinB,

bsin5

又因为sinC=sin(4+/)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinZcosB+cosZsinB<cossin5，即sinAcosB<0，

因为48£（0,%），所以sin4〉0,cosB<0,

TT

所以Be（万,万），所以“3C为钝角三角形.

故选：A.

4.为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站/,B,C,D.已知C,

。两个基站建在松花江的南岸，距离为106km;基站48在江的北岸，测得//CS=75。，ZACD=120°,

44DC=30。，ZADB=45°,则4,8两个基站的距离为（）

A.10V6kmB.30(73-l)km

C.30(V2-l)kmD.10通km

【答案】D

【分析】根据题意可得/C=C0=loG，NCBD=60°,利用正弦定理求出8C,进而结合余弦定理即可求

出/R

【解析】在"CO中，ZADC=30°,Z^C£>=75°+45°=120°,

所以=30°,有N4DC=/CAD,所以NC=CD=106，

在ABDC中，ZCBD=180°-(75°+45°)=60°,

由正弦定理，得BC=l0*smJ5=5二+5#,

sin60

在AZSC中，由余弦定理，得

AB2=AC2+BC2-2AC-BCCOSZBCA

=(10V3)2+(5^+5A^)2-2X10^-X(5^+5cos75°=500,

所以48=100，即两个基站/、8之间的距离为10石府?.

故选：D

5.“BC的内角B,C的对边分别为a,b,c,已知csin/=GacosC,c=2^/3,ab-8,则6的值

是（）

A.6B.8C.4D.2

【答案】A

【分析】根据正弦定理结合题干条件可得到tanC=VL再由余弦定理得cosC=S+4-2仍-c：_L,代

2ab2

入已知条件可得到最终结果.

【解析】因为csin/=6QCOSC,

根据正弦定理得到：sinCsin4=百sinAcosC

・・・sin4w0故得到tanC=6

CG(O,TT):.C"

22

再由余弦定理得到：COSC/+//=(a+b)-2ab-c=£

2ab2ab2

代入c=2百，ab=8,得到|Q+Z＞=6.

故选：A.

6.已知锐角力B。的内角4,B,C所对的边分别为Q,b,c,tanA+tanC+V3=V3tanA-tanC,且。=1,

则面积的取值范围为()

A.(0,2)B.，半］A加D.隹*)

【答案】D

【分析】由已知条件结合两角和的正切公式及诱导公式可求出角B,再利用正切定理可得

°=更上1=31—+1，结合角C的范围可得:＜。＜2,从而可求出“3C面积的取值范围

sinC2tanC22

【解析】因为tan(/+C)=tan/+tanC=6tan/tanC-«=^(tan/tanC-l)=一百,

1-tanAtanC1-tanAtanC1-tanAtanC

所以tan8=-tan(Z+C)=VJ.

JT

因为0<5<»,所以5=

.(27rd2乃27r

由正弦定理得,_csinNsincosC-cos芋sinC_寺「.

sinCsinCsinC2tanC2

由于小BC为锐角三角形,

故0<------C<—,0<C<—.

322

所以£<c<g.

62

所以LQ<2.

2

所以S=；“csin8=

故选：D.

二、多选题

7.三角形^ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列条件能判断^ABC是钝角三角形的有()

A.a=6,b=5,c=4B.AB-BC=2a

a-bsinC.,

C.-----=--D.ZrsiirC+c-sirrB=26ccos3cosc

c+bSIIL4+siaB

【答案】BC

【分析】利用正余弦定理逐一判断即可

【解析】A：由a>b>c可知/>3>C,且62+C2=41>36=/,所以A是锐角，故A不能判断；

B：由A8.8C=-accosB=2a,得cosB<0,则B为钝角,故B能判断；

C：由正弦定理纥乡=/7,得从+C2-/=一左，贝iJcos/=-1,A=故C能判断；

c+ba+b23

D：由正弦定理，条件等价于sin25sin2C+sin2Csin?5=2sin5sinCcosBcosC,

jrjr

贝!Jsin8sinC=cos8cosC,即cos(2+C)=0,故8+C=—,则/=—,故D不能判断.

22

故选：BC

8.不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是()

A.a=30,6=25,/=150。，有一解B.a=7,6=14,4=30。，有两解

C.。=6,6=9,/=45\有两角毕D.a=V3,b=V6,A=60°,无角军

【答案】AD

【分析】应用正弦定理结合各选项的条件求sin5=变巴且，由三角形内角的性质即可判断各选项的正误.

a

hciiq/5jr

【解析】A：由正弦定理sin8=--------,又0<B<7,故3只有一个解，正确；

a126

B：由正弦定理sin8=MW=l,又。<B<当,显然只有一个解，错误；

a62

C：由正弦定理sin8=竺也4=土＞1,显然B无解，错误;

a4

D：由正弦定理引118=变电应=必＞1,显然B无解，正确；

a2

故选：AD

三、填空题

9.已知在。中，sin力：sin8:sinC=4:3:2,则cosB等于.

【答案】《

【分析】由正弦定理可得a:b:c=4:3:2,令a=4m,b=3m,c=2m,然后利用余弦定理可求出cosB

【解析】因为在中，sinZ:sinB:sinC=4:3:2,

所以正弦定理可得〃：6:c=4:3:2,则令。=4加,6=3加,。=2冽(m＞0),

a2+c2-b216m2+4m2-9m2_1Im2_11

由余弦定理得cos8=

2ac2Am-2m16m216

故答案为：--

16

\AB\

10.在AAS。中，已知2cos之B-cos/=1,则由胃的取值范围为

\8C\

【答案】［o,|

【分析】利用二倍角公式分析得出/=22,利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出素=2cos3-1

2cos5'

\\/、1/、\AB\

令COSB",贝/⑺=2”2,利用函数/⑺的单调性可求得M的取值范围.

【解析】因为2cos25-cos4=1,cosA=2cos2B-\=cos2B,

因为A、Be(O,^-),故25£(0,2»),所以4=25或4+25=2".

因为3</+3<乃，故4+25<2乃，故Z=2B.

sin(4+B)sin35_sin25cos54cos25sinB

则由正弦定理得正=MT

sinAsin252sin5cos5

2sin5cos25+(2cos25-l)sin54cos2B-l1

------------------------------』----二---------二2cos5--------

2sinBcos52cos52cos5

因为C=〃-38e（O,万），所以所以cosB^d，

设cosB=t,则贝=

设/⑺=2/：,fegl],则/⑺在。lj上单调递增，则/出<〃0<〃1）,即0<•黎<]

\AB\（3、

所以的取值范围为[OqJ.

故答案为：]o,|]

四、解答题

11.在△A8C中，内角/、B、C所对的边分别为。、b、c,且加inC+屈•cosBuO.

（1）求角B的大小；

（2）若b=7,a+c=8,求△/BC的面积.

【答案】（1）告

C、15G

~4~

【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可；

（2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.

【解析】（1）由正弦定理可得sin8sinC+gsinC-cos3=0,

又Ce(O/),所以sinCVO,因此tan8=-0,

又8e（O/）,所以8=学；

(2)由余弦定理，得〃=/+c2-2accosB=(a+cy-2ac-2accos=(a+c)2-ac

所以ac=(q+一/=64-49=15,

所以△ZBC的面积S=—acsin5=—x15x——=-....

2224

.A小心f、_L八…、r,lsin4+sin5b-c

12.在“Be中，角4,B,C的对边分别为q,b,c,且---；——...=-----

sinCb-a

⑴求角A；

(2)若。=&，的面积为内，求小8C的周长.

【答案】⑴/4

(2)在+班

【分析】(1)由正弦定理得到C2+62-1=6C,再使用余弦定理求出/；(2)由面积公式求出庆=4,再

使用余弦定理求出6+c=3也，进而求出周长.

(1)

E、IsinZ+sinBb-ca+bb-c

因为————=-——，所以----=--，

sinCb-acb-a

21

化简得。2+h-a=hc,所以cosA：'+0———=bc^_J_

2bc2bc2

因为兀)，所以4=最

⑵

因为。的面积为6，所以,bcsin/=,得be=4.

24

因为”=。=屈，所以〃+c2_26ccosg=6,整理得0+c)2=3bc+6=18,解得6+0=3Q.

故“3C的周长为赤+班.

13.在①加acos"；'=csin/,(2)5/3^=A/3CCOSB+bsinC,③cos?/-cos?C=sin?B-sin/sin5,这三个

条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题：已知。BC内角/,B,C的对边分别是a,b,c,c=6,,求a+2Z＞的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】2a

【分析】若选①，由已知条件三角恒等变换可求NC,再利用正弦定理边化角求a+26最大值；

若选②，由己知条件三角恒等变换可求NC,再利用正弦定理边化角求。+26最大值；

若选③，由已知条件、正弦定理、余弦定理可求/C,再利用正弦定理边化角求a+26最大值.

【解析】若选①，,.,/+8+。=%，由已知条件得百sin/sin£=sinCsinN,

2

ccc

由sin/wO,得百sin—=2sin—cos一,

由sin}~/0,得cosC=，^

222

VCe(O,^-),,C=J

263

由正弦定理，有；b

Sinnsin5sinC

a=2sin4,Z)=2sin5,

a+26=2sin/+4sin5

=2sin4+4sin4d——=2sin/+4—sin/H-----cosA

I3；122

2

=4sin24+2VJcos=2V7sin(4+0),(其中sin9=g,COS(D=—i=

V7)

jr

-ATT，上存在/,使得/+。=5,

此时a+2b取得最大值为2疗.

若选②:VJsinA=V3sinCcosB+sinBsinC，

Gsin(5+C)=6sinCcosB+sin5sinC,

A/3(sinBcosC+cos5sinC)=出sinCcos5+sinBsinC,

化简得VJsin8cosc=sinBsinC,

由sinB^O,WtanC=V3.VCe(O,^),'-c=^-

下同①；

若选③：1一sin?24-(1-sin2=sin28-sin/sin3,

sin2C-sin2A=sin28-sinZsinB，

由正弦定理得02—M,

由余弦定理得cosC==+”一L=

2ab2

VCe(O,^),C=1.

下同①.

14.(1)在“BC中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c,若.cosC+2&sinC-b-c=0,且a=2,

则^ABC内切圆半径的最大值为

(2)随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿

海有4B,C三个旅游景点，在岸边3C两地的中点处设有一个垃圾回收站点O(如图)，A,6两地相距

10km,从回收站。观望A地和B地所成的视角为60°,且方,+砺2“方商，设/c=x加；

(?)用X分别表示a2+砺2和方.赤，并求出X的取值范围；

(")若8地到直线NC的距离为2Z),求的最大值.

【答案】(1)—;(2)(z)OA2+OB2=X+10°,OA-OB=X~iQQ,10<x<10^;(2)8。的最大

324

值为10.

【分析】(1)由正弦定理得sin/cosC+JJsinZsinC-sinB-siiiC=0,再由怛等变换求得sin(/—：)二大，

62

根据角的范围得4=?,由余弦定理得(6+。)2-4=3秘，根据基本不等式得0K6+CW4,令内切圆的

半径为凡由三角形的面积公式求得尺=?s+c-2),由此求得内切圆半径的最大值；

(2)⑴在ACMC中，由余弦定理得CM?+og2_2O/.03.cos1200=x2,①，在AO4B中，由余弦定理得，

OA2+OB2-1OAOB-cos600=100,②，两式进行加减运算可求得方,+砺2,万.砺，由己知不等式

可求得x的范围.

(")由邑.=2,加和&皿设8D=/(x),得了⑴=—⑼),xe(10,10^],根据函

数〃x)的单调性可求得8。的最大值.

【解析】解：(1)因为acosC+26sinC-b-c=0,且。=2,所以acosC+\^7sinC-b-c=0,

由正弦定理得sinAcosC+百sin4sinC-sin5-sinC=0,

又sin5=sin(Z+C)=sin/cosC+cos/sinC,所以GsinCsin/—cos4sinC=sinC,

由于sinCwO,得V^sinZ—cos/=1,即sin(4—g)=7，又Zw(0,»),可得/—JE(一。*^),得4一£=£,

6266666

由余弦定理得cosN。,可得(6+C)2_4=36C,由6cW(竽了，得他+j_4V迎士支，所以

2bc22'/4

有0<6+c44,

11/?

令AZS。内切圆的半径为R,故黑幺皿=不俗+6+④氏=5'。‘111%,,得(2+b+c)E=——be,代入

222

(6+C)2-4=36C,得

6be出；[("c)T

22+b+c22+b+c

_A/3(Z)+c)2-4_V3(6+c+2)仅+c—2)

66+c+26b+c+2

=&b+c-2),故Av@x(4-2)=3,故A/I3C内切圆半径的最大值为由;

6633

故答案为：昱.

3

(2)(i)在AO/C中，AAOC=120°,AC=x,

由余弦定理得，OA2+OC2-2OAOC-cos1200=x2,

又OC=BO,所以042+。32_20/.08<05120°=/,①,

在AO/5中，/8=10,ZAOB=60°,

由余弦定理得，OA2+OB2-20A-OB-cos600=100,②，

①+②得of+OB、即OA2+OB2=

22

①②得4cM-02-cos600=/一100,所以次•赤=三二W2

4

又方?+丽飞4次.赤，所以追啰"，gPx2<300,

XOA-OB=X-100>0,BPx2>100,所以10<xV106.

2

SS

(").OAB=.OAC>ABr=2S=2x-xO^.OSsin600=^i

△/loCAOAD2

又S.ABc=gAC-BD,设BD=f(x),

V3(X2-100)

xe(10,105/3],

所以/(x)=

2x

所以，在(io，ioG］上是增函数，所以〃x)的最大值为/(ioG)=io,即8。的最大值为10.

【点睛】方法点睛：(1)在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简

该条件；

(2)如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件;

(3)如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.

(4)与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三

角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.

提升纸一

—>单选题

1.在“BC中，。是边BC上的一点，ZC=40°,ACAD=60°,BD=AC,则()

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】C

【分析】根据题意，可得出N/DC=80。，利用正弦定理可知/D:/C=sin4(T:sin80。，设NDA4=a(0<a<90,)，

在△/助中由正弦定理得：金=.黑进而利用诱导公式、两角和与差正弦和余弦公式、二倍角正

smccsm^ou—ex.)

弦公式进行化简，求出£的值，从而得出/DA4.

【解析】解：如图所示，

在zMOC中，ZC=40°,ACAD=60°,所以N/DC=80。，

由正弦定理知4D：4C=sin40。:sin80。,

设/D=)tsin40°,4C=Z:sin80°,左>0,所以B。=/C=后sin80°,

设ZD84=a(0<a<90°),

AD_BD

在中，由正弦定理得:

sinasi^SO9-a)

sin40°_sin80°sin40°_2sin4QJcos4QJ

sina-sin(80°-a),即sinasin190°-(10°+a)］，

所以」一二2：/，、,整理得2cos(300+10)sina=cos(l(r+a),

sinorcos(10°+a)、7

BPV3cos10°sina-sin10°sina=cosl00cosa-sin10°sina，

即VJsina=cosa,所以tana-‘汕”=—，

cosa3

X0<a<90,则。=30°,所以/DBA=30°.

故选：C.

2.在“3C中，a,6,c是角42,C的对边，已知/=(,a=7,则以下判断错误的是()

A.”3C的外接圆面积是49深万；

B.bcosC+ccosB=7；

C.b+c可能等于14；

D.作A关于3c的对称点4,则|44'|的最大值是苧.

【答案】D

【分析】对出利用正弦定理可求得的外接圆半径，即可求解“8C的外接圆面积；对8：利用余弦

定理角化边，即可求解；对C：利用正弦定理边化角，再结合两角和差的正弦公式，即可求解；对。：利用

三角形面积公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解.

TT

【解析】解：对出•.•/=§,a=7,

7

ARi瓜

...由正弦定理可得sin/一=百=一2,即AA8C的外接圆半径五=29,

T3

・•・A/BC的夕卜接圆面积是"乎］=等，故A选项正确；

272_222_12

对B：由余弦定理可得力cosC+ccosB=Z?.^......—+C--——------=a=7,故5选项正确；

2ab2ac

对C:由正弦定理可得6+c=2R(sin3+sinC)=卜na}sina)=14cosa,(一?<°<|^，

.•1+C£(7,14］,故。选项正确;

对Q：设A关于2C的对称点我H,A到的距离为〃，

—ah=—besin—,BP/^=—be,

22314

又由余弦定理可得”=b2+c2-乃ccosg=b2+c2-bc..%c-6c=bc,当且仅当6=c时等号成立,

所以八之带",即死

所以的最大值是7行，故。选项错误.

故选：D.

3.瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道,

且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂

直，在水平山道上4点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为=,沿山道继续走20m,抵达5点位置测得瀑布

2

顶端的仰角为g.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为三，则该瀑布的

高度约为（）.

A.60mB.90mC.108mD.120m

【答案】A

【分析】设瀑布顶端为P底端为瀑布高为万，作出图形，根据条件可得=BH=3,由余

33

弦定理可得答案.

【解析】解:如图，设瀑布顶端为P,底端为“，瀑布高为〃，

该同学第一次测量时所处的位置为力,第二次测量时的位置为2,

3兀

由题意可知，tanZPAH=~,AB=20m,且NPBH=NBAH=-,

23

2A

所以BH=—h,

33

在中，由余弦定理可知，BH2=AH2+AB2-2AB-AH-cosZBAH,

i421

即Moro.一）解得〃=60m.

3932

故选：A.

4.设△45C的三边长为=CA=b,AB=c,若tan^=q,tan-=-^,则△/5。是（）.

2b+c2a+c

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】若三角形各边长为6、c且内切圆半径为r,

法一：由内切圆的性质有tan《=l—、tan?=―纹，根据边角关系可得或/+〃=,2,注意讨论所

2b+c2a+c

得关系验证所得关系的内在联系；

TT

法二：由半角正切公式、正弦定理可得4=8或/+2=万，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角

形的形状.

【解析】设P=g(a+6+c),Zk/BC的内切圆半径为r,如图所示，

法一：

Ara,Brb

tan—=--①；tan—=-=②.

2p-ab+c2p—ba+c

①-②，得：彳，即

p-ab+cbl^p-a)byb+c)

于是b(b+c)(c+a-b)=〃(〃+c)(6+c-a),

ab2-b3+bc2=a2b-a3+ac2，(a-b^a2+b2-(?)=0,

从而得Q=b或/+〃=°2,

・•・44=NB或NC=90。.故4ABC为等腰三角形或直角三角形,

(1)当时，内心/在等腰三角形C45的底边上的高CO上,

ADB

2

^ABc=^AB.CD=^d--c,从而得;=2sc'aj.

'a+b+c勿+c

.FTH2,

Xp-a=-(b+c-a)=-c,代入①式，得Ac_^=旦=，，即"〃-c2=工，

22b+ca+c2a+ca+c

(2a+c).1c

2a-ca2-

上式两边同时平方，得：了丁=7一京，化简，-2Q2=0,即o=缶.即△/3C直角三角形,

2Q+C(a+c)

「•△ZBC为等腰直角三角形.

(2)当/+〃=，时，易得尸=；伍+6一。).

代入②式，得^-------,--此式恒成立,

-(a+c-b)a+c

综上，△Z8C为直角三角形.

法二：

利用tan[=Jin/tang=Jm'及正弦定理和题设条件,得

21+cosA21+cosB1+cosZsinB+smC

sinBsin5人

-------=-----------②.

1+cosBsinA+sinC

，l+cos4=sin5+sinC③；l+cos5=sin4+sinC④.

：；

由③和④得：l+cos^4-sin5=l+cos5-sinA,RPsinA+cos^4=sin5+cosB，sin[4+=sinp+J,

因为43为三角形内角,

：.A+-=B+-^A+-=7t-B--,即/=8或/+8=巴.

44442

(1)若/=代入③得：l+cos/=sinB+sinC⑤

又C二兀一4一5二兀一24,将其代入⑤，得：l+cos4=sin/+sin2Z.

变形得(sinN—cos4『一(sin4-cos/)=0,

BP(sin^4-cosA)(sinA-cos-1)=0(6),

由4=3知/为锐角，从而知sinZ—cos/—lwO.

...由⑥，得：sinA—cosA=0f即/=：,从而6=乌，C=—.

442

因此，△力5C为等腰直角三角形.

TTTT

(2)若N+3=5，即C=5,此时③④恒成立，

综上，△4BC为直角三角形.

故选：B

222

5.已知函数/(工)=111(『不)+9凶，a,b,c分别为“8c的内角4,8,C所对的边，JI4a+4Z>-c=6ab,

则下列不等式一定成立的是()

A./(sirL4)V/(cosB)B.f(cosA)<f(cos5)

C.f(sinA)>f(sinB)D./(sinN)茅(cos8)

【答案】D

r)Ir)I

【分析】先利用余弦定理和基本不等式求得WVC<%,从而得到0<34!-/<!.由'=5M》和卜=。05尤在

［。4］上的单调性得到sin84cos/,cos3NsinN,而sin4sin2大小不确定，cos/、cos8大小不确定.

利用复合函数的单调性法则判断出〃回=1“占)+「在(0,+纥)上单调递减对四个选项一一验证：

对于A、D：因为cosBNsin/,所以/'(sinN)茅(cos3).即可判断；

对于B、C：因为sin/、sinB大小不确定，cos/、cosB大小不确定.

【解析】因为a,b,c分别为AA8C的内角/,B,C所对的边，且4/+462_c2=6仍，

由余弦定理得：3a2+3b~-6ab-labcosC,

利用基本不等式可得：6ab-2abcosC=3a2+3b2>3x2ab,所以-2a6cosc20,

所以cosCVO.

因为Ce(O,7),所以^VC<;r,所以0<N+8W、,

777T

所以——A<~.

22

因为y=sinx在(0,/)上单调递增，y=cosx在［og］上单调递减,

所以sin5Wsin-，=cos/,cosB>cos-=sin/,

即sinB<cosA,cos52sin/.

由于4、5大小不确定，所以sin4sin8大小不确定，cos4cos8大小不确定.

当x>0时，/(x)=lnf-^j+e-\

+1在(0,+司上单调递增，所以了=，^在(0,+8)上单调递减，所以尸1”占］在(0,+司上

因为>=，

单调递减；

因为尸e‘在（0,+8）上单调递增，所以片尸在（0,+8）上单调递减，所以/3=1《^^+小在（0,+的上

单调递减.

对于A、D：因为cos5Nsin/,所以/（sin/）茅（cos3）.故A错误，D正确.

对于B、C：因为sin4sin8大小不确定，cos4cos8大小不确定，所以B、C不能确定.

故选：D

【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考:

（1）从题目给出的条件，边角关系来选择;

（2）从式子结构来选择.

6.在锐角“BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,S为AABC的面积，S.2S=a2-（b-c）,则

be

的取值范围为（）

A.信,总B.[2在意C.（也言D.[2也+8）

【答案】C

【分析】根据余弦定理和“3C的面积公式，结合题意求出sin/、cos/的值，再用C表示8,求出2=丝”

csmC

的取值范围，即可求出竺出的取值范围.

be

【解析】解：在^ABC中，由余弦定理得“2=廿+c2-IbecosA,

且AABC的面积S=—besinA,

2

由2s=/-（b-c）2,besinA=2bc-2bccosA,化简得sin4+2cos4=2,

又」£（0,5）,sin2A+cos2A=1f联立得Ssin?/-4sin4=0,

4

解得sin/=w或sin4=0（舍去），

所以2Sln5sin（力+C）sinAcosC+cosAsinC43

--------------1—,

sinCsinCsinC5tanC5

因为“3C为锐角三角形，所以B=TI-A-C<^,所以g-4<c<|：,

所以tanOtan]”13T.所以熹”）所以乂|部

1）

设吗,352b2+c2c_1.

=2一+—=2，+—=2t+1

其中5,所以

C53becbt

7

由对勾函数单调性知歹=2，+；在［l，丰］上单调递减，在上单调递增,

当，=变时，y=242；当,=|■时，y=~~^当％=|■时，y=77;

2515315

所以ye上0,即竺*1的取值范围是

L15；beL15j

故选：C.

由空a=2々+£,所以本题的解题关键点是根据已知及

【点睛】关键点点睛:

becb

Z?_sin5_sin(Z+C)sinAcosC+cosAsinC三4三+j3求出2b的取值范围.

csinCsinCsinC5tanC5c

二、多选题

7.在锐角A4BC中，角4丛C所对的边分别为a,6,c,且c-6=26cos/,则下列结论正确的有（）

A.A=2BB.B的取值范围为（0,

C.蓝的取值范围为（a,2）D.熹-高+2而力的取值范围为手,3

【答案】AD

【分析】先利用正弦定理从条件c-6=26cos/中求出N=28,得到选项A正确.选项B利用“3C为锐角

三角形求解；选项C先用二倍角公式化简，再结合角B的范围求解；选项D先对式子化简，再换元利用对

勾函数的性质求范围.

【解析】在中，由正弦定理可将式子c-b=26cos/化为

sinC-sin5=2sin5cosA，

把sinC=sin(4+4)=sin4cos8+cosAsinB代入整理得,

sin(4-B)=sin8,

解得4—8=5或4-5+5=»，即4=25或4=〃(舍去).

所以4=28.

选项A正确.

选项B：因为为锐角三角形，A=2B,所以C=»—35.

71

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