2011考前冲刺系列专题3-数列

本卷第21页（共22页）2011高考最后30天抢分必备数学专题三数列【选题理由】：数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.通过对2010年全国及19省市高考试题的研究，本专题在高考试题中占有较大比重，分值约占总分的12%，大多为一道选择题或填空题，一道解答题.试题注重基础，着重考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、数学归纳法及应用问题，选择题和填空题，突出“小、巧、活”的特点.而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题.展望2011年高考，数列仍是重点考查内容之一，估计试题经常在数列的知识、函数知识、不等式的知识和解析几何知识等的交汇点处命题，使数列试题呈现综合性强、立意新、角度新、难度大的特点.体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想以及待定系数法、配方法、换元法、消去法、归一法、分离变量法、归纳——猜想——证明等基本的数学方法，在复习数列单元时，一定要以等差、等比数列为载体，以通项公式、求和公式为主线，注重基础，联系实际.通过对试题的练习，提高其运算能力、思辨能力、解决实际问题的能力，才能以不变应万变，在高考中立于不败之地.【押题1】已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：（1）求通项；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数.【押题指数】★★★★★【解析】（1）设数列的公差为,由题意得：解得或（舍去）所以：.（2）,由于是一等差数列故对一切自然数都成立即：解得或（舍去）所以.【方法与技巧】本题考查了等差数列的基本知识，第二问，判断数列是等差数列的条件，要抓住它的特征，充分应用等差数列的判断条件，转化为恒成立问题。解答数列问题,必须首先熟记等差与等比数列的相关公式.【押题2】已知数列的前项和，且．（I）求；（II）求证：数列是等差数列；（III）试比较与的大小，并说明理由．13分∵当时，，即，∴．即．14分【方法与技巧】本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等差、等比数列前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力【押题3】已知数列的前n项和为，对于一切的正整数n，点都在函数的图象上，且过点的切线的斜率为．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前n项和；（Ⅲ）设集合，，等差数列的任何一项，其中是中的最小数，且，求的通项公式【押题指数】★★★★★【解析】（Ⅰ）由题意，得．∴当时，，１分当时，，２分∴数列的通项公式为．３分（Ⅱ）∵，∴，即∴．５分∴，，∴，7分∴．8分（Ⅲ）由题意，，．易知中的数是正偶数，且最小数是，即．11分又是等差数列，设其公差为，则必为偶数．由题意，得．∴．13分∴．即的通项公式为．14分【方法与技巧】数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.【押题4】直线过点P（斜率为，与直线：交于点A，与轴交于点B，点A，B的横坐标分别为，记.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）设数列满足，求数列的通项公式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当时，证明不等式.【押题指数】★★★★★【解析】（Ⅰ）直线的方程为，令，得由，得，因此，的解析式为：（Ⅱ）时，,,即①当时，，数列是以0为首项的常数数列，则②当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，，解得综合①、②得【方法与技巧】数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解【押题5】已知函数f（x）＝2x＋1，g（x）＝x，x∈R，数列{}，{}满足条件：a1＝1，＝f（）＝g（），n∈N﹡．（Ⅰ）求证：数列{＋1}为等比数列；（Ⅱ）令＝，是数列{}的前n项和，求使>成立的最小的n值.【押题指数】★★★★★【解析】（Ⅰ）由题意得，，……3分又，4分所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．(Ⅱ)解：由⑴知，，，…7分故．……9分．…10分由，且，解得满足条件的最小的值为．…………12分【方法与技巧】递推公式为（其中p，q均为常数，），把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。在数列求和中常见的方法有公式法、分组法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等，方法的选择由数列通项公式的特点来决定.【押题6】已知数列满足（1）求证：数列（）是等比数列；（2）设，数列的前n项和，求证：对任意的，【押题指数】★★★★★【解析】（1），，又，所以数列（）是以3为首项，-2为公比的等比数列……（6分）（2）由（1）知，当，则=又对任意的，…（12分）【方法与技巧】本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型．【押题7】已知函数。（1）数列满足，若对任意恒成立，求的取值范围；（2）数列满足，记，为数列前项和，为数列的前项积，求证：。【押题指数】★★★★★【解析】（1）为等比数列从而＜故………6分（2），又由得＜＜。…13分【方法与技巧】本题考查等比数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。考查数列的相关知识，具有一定难度，与不等式的证明相结合，带有一定的技巧性【押题8】各项均不为零的数列，首项，且对于任意均有（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：当时，【押题指数】★★★★★【解析】（1）由得， 则 所以是以3为公比，为首项的等比数列4分（2）当时， 令 则 所以……13分【方法与技巧】这个题目通过代换转化为形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的递推式，通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}达到解决问题的目的。【押题9】已知函数的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称．（1）求函数的解析式；（2）若数列满足：，求数列的通项；（3）若数列的前项和为,判断与2的大小关系，并证明你的结论．【押题指数】★★★★★【解析】（1）因为函数的图象过原点，所以c=0，即．又函数的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以。5分（2）由题意，开方取正得：，即．∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．∴，即。…9分（3）当n≥2时，．所以故。…13分【方法与技巧】形如:递推式，考虑函数倒数关系有令则可归为型。(取倒数法)。从以上分析可看出，数列的综合题难度都很大，甚至很多都是试卷的压轴题，它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法.其中的高考热点——探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中.【押题10】已知函数=ln(1+x)-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若方程=在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71828…）（Ⅲ）设常数p≥1，数列{an}满足（n∈N*），a1=lnp，求证：≥．【押题指数】★★★★★【解析】（I）∵，∴．由题知，解得a=1．…3分（II）由（I）有f(x)=ln(1+x)-x，∴原方程可整理为4ln(1+x)-x=m．令g(x)=4ln(1+x)-x，得，∴当3<x≤4时，当2≤x<3时，，即g(x)在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，∴在x=3时g(x)有最大值4ln4-3．…6分∵g(2)=4ln3-2，g(4)=4ln5-4，∴g(2)-g(4)==2．由9e≈24.46<25，于是．∴g(2)<g(4)．∴a的取值范围为．9分（III）由

=ln(1+x)-x（x>-1）有，显然0，当x∈(0，+∞)时，，当x∈(-1，0)时，，∴在(-1，0)上是增函数，在上是减函数．∴在(-1，+∞)上有最大值，而=0，∴当x∈(-1，+∞)时，≤0，因此ln(1+x)≤x．(*)11分由已知有p>an，即p-an>0，所以p-an-1>-1．∵an+1-an=ln(p-an)=ln(1+p-1-an)，∴由（*）中结论可得an+1-an≤p-1-an，即an+1≤p-1(n∈N*)．∴当n≥2时，-an=ln(p-an)≥ln[p-(p-1)]=0，即≥an．当n=1，a2=a1+ln(p-lnp)，∵lnp=ln(1+p-1)≤p-1，∴a2≥a1+ln[p-(p-1)]=a1，结论成立．∴对n∈N*，an+1≥an．【方法与技巧】此类题目除了考查基础知识之外，还考查了我们对教材中各知识间的联系的理解与综合运用，难度较大.但题目一般以简单的设问开始，因此考生还是可以拿到该题的部分分数的.解这种题目的能力不是短期能培养出来的，要顺其自然，相信功到自然成.【押题11】设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有已知.（1）求的值；（2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.【押题指数】★★★★★【解析】（1）∵，令，有，∴.再令，有，∴，∴…4分【押题12】）已知函数时，的值域为，当时，的值域为，…，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k、m为常数，且（1）若k=1，求数列的通项公式；（2）若m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列的前n项和分别为Sn，Tn，求。【押题指数】★★★★★【解析】（1）因为所以其值域为于是 又（2）因为所以法一：假设存在常数，使得数列，得符合。法二：假设存在常数k＞0，使得数列满足当k=1不符合。当，则当 （3）因为所以的值域为于是 则又则有进而有【方法与技巧】探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求。总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.备选题【押题1】设等比数列的首项为a1，公比为q，且q>0，q≠1.（1）若a1=qm，m∈Z，且m≥－1，求证：数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项；（2）若数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项，求证：存在整数m，且m≥－1，使得a1=qm.【押题指数】★★★★★【解析】（1）设为等比数列中不同的两项，由，得．…2分又，且，所以．所以是数列的第项．…6分（2）等比数列中任意不同两项之积仍为数列中的项，令，由，，，得，．令整数，则．…9分下证整数．若设整数，则．令，由题设，取，使，即，所以，即．………12分所以q>0，q≠1，，与矛盾!所以．…15分【押题2】已知是一个公差大于0的等差数列，且满足,.（1）求数列的通项公式；（2）若数列和数列满足等式：，求数列的前项和．【押题3】曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求数列{}的前n项和【押题指数】★★★★★【解析】（Ⅰ）∵∴直线的方程为,令,得.（Ⅱ）∵,∴∴∴∴【押题4】已知数列中，a1=1，且满足递推关系（1）当m=1时，求数列的通项（2）当时，数列满足不等式恒成立，求m的取值范围；（3）在时，证明【押题指数】★★★★★【解析】（1）m=1，由，得：是以2为首项，公比也是2的等比例数列。于是 …3分由依题意，有恒成立。，即满足题意的m的取值范围是（3）时，由（2）知设数列故 ……9分即在成立……12分【押题5】已知各项全不为零的数列的前项和为,且,（1）求数列的通项公式；（2）求证：对任意的不小于2的正整数，不等式＞都成立。【押题指数】★★★★★【解析】由（1）S1==a1,知a1=11分当n≥2时，an=Sn-Sn-1=即（n-2）an-(n-1)an-1+1=03分以（n+1）代替n,得（n-1）an+1-nan+1=0两式相减得an+1-2an+an-1=0∴｛an｝为等差数列…5分∵a1=1,a2=2,∴an=n……6分（2）由（1）知不等式lnan+1＞+lnanln(n+1)-lnn＞ln(1+)＞…8分设x=只需证ln(1+x)＞x2-x3即x3-x2+ln(1+x)＞0令h（x）=x3-x2+ln(1+x)则h′(x)=3x2-2x+在[0，+∞)上恒正∴h(x)在[0，+∞]上单调递增当x∈(0,+∞)时，恒有h(x)＞h(0)=0，即得证.…13分【押题6】已知数列中,在处取得极值.(1)证明数列是等比数列,并求出数列的通项公式;(2)记,数列的前项和为,求使的的最小值;【押题指数】★★★★★【解析】（1）由题知，得所以，即是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）所以叠加得，，即，n-1+所以，即n的最小值为1006.【押题7】已知数列的各项均是正数，其前n项和为，其中p为正常数，且，（I）求数列的通项公式；（II）设数列项和为，是否存在正整数m，使得对于恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由；（III）试证明：当【押题指数】★★★★★【解析】（1）由题设知………………1分即，…3分可见，数列的