3-2-2、3 直线的两点式方程、直线的一般式方程

第页第3章3.23.2.一、选择题1．下列四个命题中的真命题是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示[答案]B[解析]排除法．A不正确，过点P垂直x轴的方程不能；C不正确，与坐标轴平行的直线的方程不能；D不正确，斜率不存在的直线不能．2．直线ax＋by＝1(a，b≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是()A.eq\f(1,2)ab B.eq\f(1,2)|ab|C.eq\f(1,2ab) D.eq\f(1,2|ab|)[答案]D3．过点A(－1,3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的条数为()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]当过原点时，方程为y＝－3x当不过原点时，设方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1或eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1代入(－1,3)得a＝2或－4.故选C.4．已知直线Ax＋By＋C＝0的横截距大于纵截距，则A、B、C应满足的条件是()A．A＞B B．A＜BC.eq\f(C,A)＋eq\f(C,B)＞0 D.eq\f(C,A)－eq\f(C,B)＜0[答案]D[解析]由条件知A·B·C≠0，在方程Ax＋By＋C＝0中，令x＝0得y＝－eq\f(C,B)，令y＝0得x＝－eq\f(C,A)，由－eq\f(C,A)>－eq\f(C,B)得eq\f(C,A)－eq\f(C,B)<0.5．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么系数a等于()A．－3 B．－6C．－eq\f(3,2) D.eq\f(3,2)[答案]B[解析]两直线平行，则eq\f(a,3)＝eq\f(2,－1)≠eq\f(2,－2)，得a＝－6.故选B.6．直线l1:ax－y＋b＝0，l2:bx＋y－a＝0(ab≠0)的图像只可能是下图中的()[答案]B[解析]l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a，在A选项中，由l1的图像知a>0，b<0，判知l2的图像不符合．在B选项中，由l1的图像知a>0，b<0，判知l2的图像符合，在C选项中，由l1知a<0，b>0，∴－b<0，排除C；在D选项中，由l1知a<0，b<0，由l2知a>0，排除D.所以应选B.7．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝()A．－1 B．1C．±1 D．－eq\f(3,2)[答案]C[解析]∵两直线垂直，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0.整理得(a＋1)(a－1)＝0，∴a＝±1.∴应选C.8．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l过原点和二、四象限，则()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C＝0,B＞0)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C＝0,B＞0,A＞0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C＝0,AB＜0)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C＝0,AB＞0))[答案]D[解析]∵l过原点，∴C＝0，又l过二、四象限，∴l的斜率－eq\f(A,B)<0，即AB>0.9．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0[答案]D[解析]设P(x，y)是所求直线上任一点，它关于直线x＝1对称点P′(2－x，y)在已知直线x－2y＋1＝0上，∴2－x－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0.10．顺次连结A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所组成的图形是()A．平行四边形 B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不对[答案]B[解析]∵kAB＝eq\f(5－3,2－(－4))＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－(－4))＝－3，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2)，∴AB∥CD，AB⊥AD，AD与BC不平行，故四边形ABCD是直角梯形．二、填空题11．若直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则实数[答案]－6[解析]把x＝3，y＝0代入方程(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0中得3(a＋2)－2a12．纵截距为－4，与两坐标轴围成三角形的面积为20的直线的一般式方程为________．[答案]2x－5y－20＝0或2x＋5y＋20＝0[解析]设直线的方程为y＝kx－4(k≠0)，由y＝0得x＝eq\f(4,k)，∵直线与两坐标轴围成的面积为20，∴eq\f(1,2)×|－4|×|eq\f(4,k)|＝20，k＝±eq\f(2,5)，∴所求直线的方程为y＝±eq\f(2,5)x－4，即2x－5y－20＝0和2x＋5y＋20＝0.13．直线l过P(－6,3)，且它在x轴上的截距等于它在y轴上的截距的一半，其方程是________．[答案]2x＋y＋9＝0或y＝－eq\f(1,2)x[解析]当l过原点时方程为y＝－eq\f(1,2)x；当l不过原点时方程为：eq\f(x,\f(a,2))＋eq\f(y,a)＝1，代入(－6,3)得a＝－9，即2x＋y＋9＝0.14．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上截距之和为2，则实数k＝________.[答案]－24[解析]方程变形为：eq\f(x,\f(－k,3))＋eq\f(y,\f(k,4))＝1，因此－eq\f(k,3)＋eq\f(k,4)＝2，则k＝－24.三、解答题15．求经过A(－3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．[解析]当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1.将A(－3,4)代入上式有eq\f(－3,a)＋eq\f(4,－a)＝1，解得：a＝－7，所求直线方程为x－y＋7＝0当直线l在两坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y＝kx，将A(－3,4)，代入得，k＝－eq\f(4,3)，所求直线的方程为y＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y＝0.故所求直线l的方程为x－y＋7＝0或4x＋3y＝0.16．求与直线3x－4y＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程．[解析]解法1：由题意知：可设l的方程为3x－4y＋m＝0，则l在x轴、y轴上的截距分别为－eq\f(m,3)，eq\f(m,4).由－eq\f(m,3)＋eq\f(m,4)＝1知，m＝－12.∴直线l的方程为：3x－4y－12＝0.解法2：设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,－\f(b,a)＝\f(3,4).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝－3))∴直线l的方程为：eq\f(x,4)＋eq\f(y,－3)＝1.即3x－4y－12＝0.17．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2(1)l在x轴上的截距为－3；(2)斜率为1.[解析](1)令y＝0，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3≠0①,\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3②))由①得m≠3且m≠－1由②得3m2－4m－15＝0，解得m＝3或m＝－eq\f(5,3).综上所述，m＝－eq\f(5,3)(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－1≠0③,\f(－(m2－2m－3),2m2＋m－1)＝1④))，由③得m≠－1且m≠eq\f(1,2)，解④得m＝－1或eq\f(4,3)∴m＝eq\f(4,3).18．△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)分别求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边的中垂线所在直线的方程；(4)求AC边上的高所在直线的方程；(5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程．[解析](1)由A(0,4)，C(－8,0)可得直线AC的截距式方程为eq\f(x,－8)＋eq\f(y,4)＝1，即x－2y＋8＝0.由A(0,4)，B(－2,6)可得直线AB的两点式方程为eq\f(y－4,6－4)＝eq\f(x－0,－2－0)，即x＋y－4＝0.(2)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x＝－4，y＝2，所以直线BD的两点式方程为eq\f(y－6,2－6)＝eq\f(x＋2,－4＋2)，即2x－y＋10＝0.(3)由直线AC的斜率为kAC＝eq\f(4－0,0＋8)＝eq\f(1,2