2024秋高中数学学业质量标准检测1课时作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-第一章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2024·湖南浏阳一中醴陵三中高二联考)设命题p：∀x>0，log2x<2x＋3，则¬p为(C)A．∀x>0，log2x≥2x＋3B．∃x>0，log2x<2x＋3C．∃x>0，log2x≥2x＋3D．∀x<0，log2x≥2x＋3[解析]全称命题的否定是特称命题，所以选C．2．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]方法1：∵数列{an}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20即S4＋S6>2S5.若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”故选C．方法2：∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”故选C．3．(2024－2024学年南康中学平川中学信丰中学联考)下列关于命题说法正确的是(B)A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题是“若xy＝0，则x≠0”B．命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是真命题C．命题“∃x∈R，x2－2x＋2≥0”的否定是“∀x∈R，x2－2x＋2≥0”D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题是真命题[解析]对于A：命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0”，故A错误，对于B：命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题，故B正确，对于C：命题“∃x∈R，x2－2x＋2≥0”的否定是“∀x∈R，x2－2x＋2＜0”故C错误，对于D：命题“若cosx＝cosy，则x＝y”是假命题，则逆否命题也是假命题，故D错误，故选B．4．(2024·北京9)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的(C)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝(2n＋1)π－β，则sinα＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋(－1)kβ，k∈Z.故选C．5．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝eq\f(\r(5),2)；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋2>0，给出下列结论：①命题“p∧q”为真命题；②命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨(¬q)”是假命题．其中正确的是(C)A．②③ B．②④C．③④ D．①②③[解析]p：∵∀x∈R，sinx≤1，∴p为假命题，q：Δ＝1－8<0，∴q为真命题，∴p∧q为假，(¬p)∨(¬q)为真，p∨q为真，p∨(¬q)为假，故选C．6．(2024·山东理，3)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2，下列命题为真命题的是(B)A．p∧q B．p∧(¬q)C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q)[解析]∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln1＝0.∴命题p为真命题，∴¬p为假命题．∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，∴命题q为假命题，∴¬q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(¬q)为真命题，(¬p)∧q为假命题，(¬p)∧(¬q)为假命题．故选B．7．(2024·福州市八县(市)协作校期末)下列结论正确的是(C)A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题B．命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”的否命题是真命题C．命题p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)≤0的否定是“∀x∈R，x2>0.”D．“x>2”是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)”的充要条件[解析]A．“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”错误，例如当m＝0时，am2＝bm2B．命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋2x－3≠0”错误，如：x＝－3时，x2＋2x－3＝0；C．命题p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)≤0的否定是“∀x∈R，x2>0.”正确；D．如x＝－1满意“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)”，但不满意“x>2”，所以不是充要条件．8．设x、y、z∈R，则“lgy为lgx，lgz的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]由题意得，“lgy为lgx，lgz的等差中项”，则2lgy＝lgx＋lgz⇒y2＝xz，则“y是x，z的等比中项”；而当y2＝xz时，如x＝z＝1，y＝－1时，“lgy为lgx，lgz的等差中项”不成立，所以“lgy为lgx，lgz的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的充分不必要条件，故选A．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．)9．有四个关于三角函数的命题，其中是真命题的是(BC)A．∃x∈R，sinx＋cosx＝2B．∃x∈R，sin2x＝sinxC．∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，eq\r(\f(1＋cos2x,2))＝cosxD．∀x∈(0，π)，sinx>cosx[解析]对于选项A，因为sinx＋cosx＝eq\r(2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，所以sinx＋cosx的最大值为eq\r(2)，可得不存在x∈R，使sinx＋cosx＝2成立，得命题A是假命题；对于选项B，因为存在x＝kπ或±eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，使sin2x＝sinx成立，故命题B是真命题；对于选项C，因为eq\f(1＋cos2x,2)＝cos2x，所以eq\r(\f(1＋cos2x,2))＝|cosx|，结合x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))得cosx≥0，由此可得eq\r(\f(1＋cos2x,2))＝cosx，得命题C是真命题；对于选项D，因为当x＝eq\f(π,4)时，sinx＝cosx＝eq\f(\r(2),2)，不满意sinx>cosx，所以存在x∈(0，π)，使sinx>cosx不成立，故命题D是假命题．10．下列命题中假命题的是(ACD)A．命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1>3x”B．“函数f(x)＝cosax－sinax的最小正周期为π”是“a＝2”的必要不充分条件C．x2＋2x≥ax在x∈[1,2]时有解⇔(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]时成立D．“平面对量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<0”[解析]对于A，命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故错；对于B，由函数f(x)＝cosax－sinax的最小正周期为π⇒a＝±2，故正确；对于C，例a＝2时，x2＋2x≥2x在x∈[1,2]上有解，而(x2＋2x)min＝3＜2xmax＝4，∴故错；对于D，当“a·b＜0”时，平面对量a与b的夹角是钝角或平角，∴“平面对量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件是“a·b＜0”，故错．故选ACD．11．(湖南恩施州2024－2024学年高二期末)已知函数f(x)＝log2(x＋a)＋log2(x－a)(a∈R)．命题p：∃a∈R，函数f(x)是偶函数；命题q：∀a∈R，函数f(x)在定义域内是增函数．那么下列命题为真命题的是(AC)A．q B．p∧qC．(¬p)∧q D．p∧(¬q)[解析]当a≥0时，函数f(x)的定义域为：{x|x＞a}，当a＜0时，函数f(x)的定义域为：{x|x＞－a}，因此当a∈R时，函数的定义域不关于原点对称，因此f(x)不行能是偶函数，所以命题p是假命题，¬p是真命题；依据函数的单调性的性质可知：∀a∈R，函数f(x)在定义域内是增函数，因此命题q是真命题，¬q是假命题，因此有：p∧q是假命题；(¬p)∧q是真命题；p∧(¬q)是假命题．故选AC．12.若函数f(x)对随意x1，x2∈(0，＋∞)，有f(x1)>0，f(x2)>0，且f(x1)＋f(x2)<f(x1＋x2)成立，则称函数f(x)为“遵守法律函数”．给出下列四个函数，其中是“遵守法律函数”的是(AC)A．y＝x2 B．y＝log2(x＋1)C．y＝2x－1 D．y＝cosx[解析]对于选项A，函数y＝x2，当x>0时，y>0，f(x1)＋f(x2)－f(x1＋x2)＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)－(x1＋x2)2＝－2x2x1<0，所以f(x1)＋f(x2)<f(x1＋x2)，故A是“遵守法律函数”；对于选项B，若f(x)＝log2(x＋1)，对于随意x1>0，x2>0都有f(x1)>0，f(x2)>0，设x1＝x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝1＋1＝2，而f(x1＋x2)＝log23<2，所以f(x1)＋f(x2)<f(x1＋x2)不成立，所以B不是“遵守法律函数”；对于选项C，若f(x)＝2x－1，对于随意x1>0，x2>0都有f(x1)>0，f(x2)>0，f(x1)＋f(x2)－f(x1＋x2)＝2x1－1＋2x2－1－2x1＋x2＋1＝2x1－1＋2x2(1－2x1)＝(2x1－1)(1－2x2)<0，则C是“遵守法律函数”；对于选项D，若f(x)＝cosx，因为f(x)＝cosx∈[－1,1]，所以对随意x1>0，x2>0，f(x1)>0，f(x2)>0不肯定成立，所以D不是“遵守法律函数”．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．命题“若|x|>1，则x>1”的否命题是__真__.(填“真”或“假”)[解析]原命题的否命题为“若|x|≤1，则x≤1”，∵|x|≤1，∴－1≤x≤1，故原命题的否命题为真命题．14．若命题“∃x0∈R，axeq\o\al(2,0)－ax0－2≥0”是假命题，则实数a的取值范围是__(－8,0]__.15．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0(a≠0)的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是__若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0(a≠0)的两根不全大于0__.[解析]依据原命题与它的逆否命题是等价命题可干脆写出．16.某学校三好学生的评定标准为：(1)各学科成果等级均不低于等级B，且达A及以上等级的学科的比例不低于85%；(2)无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀的比例不低于85%；(3)体育学科综合成果不低于85分．设学生达A及以上等级的学科比例为x%，学生的品德被投票评定为优秀的比例为y%，学生的体育学科综合成果为z(0≤x，y，z≤100)．用(x，y，z)表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成果均不低于B，且无违反学校规定行为．则：(1)下列选项中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__②④__(填序号)．①(85,80,100)②(85,85,100)③x＋y＋z≥255④x＋y＋z≥285(2)写出一个过往学期某同学的满意评定三好学生的必要条件：__x＋y＋z≥200__.[解析](1)对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀的比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满意被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成果不肯定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意，对于③，由x≥85，y≥85，z＝85，得x＋y＋z≥255，故x＋y＋z≥255是学生可评为三好学生的必要条件，故③不符合题意；对于④，由0≤x，y，z≤100，故有x≥85，y≥85，z≥85，充分性成立，但被评为三好学生，x＋y＋z≥285不肯定成立，故④符合题意．综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④.(2)由(1)可知，x＋y＋z≥255是“学生可评为三好学生”的必要条件，故满意评定三好学生的必要条件可以是：x＋y＋z≥200(答案不唯一)．四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，并推断这些命题的真假．[解析]逆命题，已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．18．(本小题满分12分)已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3<0}，且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．[解析]P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}．∵x∈P是x∈Q的必要条件，∴x∈Q⇒x∈P，即Q⊆P.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤1,a＋4≥3))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5,a≥－1))，∴－1≤a≤5.19．(本小题满分12分)已知定义在(－∞，3]上的单调递减函数f(x)，使得f(a2－sinx)≤f(a＋1＋cos2x)对x∈R均成立，求a的取值范围．[解析]由f(x)的单调性，得3≥a2－sinx≥a＋1＋cos2x对x∈R均成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2≤3＋sinx，,a2－a≥sinx＋cos2x＋1,))对x∈R均成立，然后转化为函数的最值问题．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2≤3＋sinxmin，,a2－a≥sinx＋cos2x＋1max，))又3＋sinx≥2，sinx＋cos2x＋1＝－sin2x＋sinx＋2＝－(sinx－eq\f(1,2))2＋eq\f(9,4)≤eq\f(9,4)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2≤2，,a2－a≥\f(9,4).))解得－eq\r(2)≤a≤eq\f(1,2)－eq\f(\r(10),2).∴a的取值范围是[－eq\r(2)，eq\f(1,2)－eq\f(\r(10),2)]．20．(本小题满分12分)求使函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x[解析]∵函数f(x)的图象全在x轴上方，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋4a－5>0,Δ＝16a－12－4a2＋4a－5×3<0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋4a－5＝0,a－1＝0))，解得1<a<19或a＝1，故1≤a<19.所以使函数f(x)的图象全在x轴的上方的充要条件是1≤a<19.21．(本小题满分12分)(2024－2024学年福州一中第一学期模块考试)已知p：m＜a＋1＜m2＋2；q：函数f(x)＝log2x－a在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))上有零点．(1)若m＝1，求使p∨q为真命题时实数a的取值范围；(2)若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．[分析](1)推断函数的单调性和依据零点存在定理求解；(2)依据p是q成立的充分不必要条件得p集合是q集合的真子集求解，留意是否有等号成立．[解析](1)当m＝1时，p：0＜a＜2，∵函数f(x)＝log2x－a在区间eq\b\lc\(\rc\