人教高中物理同步讲义练习必修二8.7 机械能守恒定律 （原卷版）

8.7机械能守恒定律学习目标学习目标课程标准学习目标1．理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。2．能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。1、通过机械能守恒定律的学习，初步建立能量观念、体会守恒思想。2、会用能量观念分析具体实例中动能与势能（包括弹性势能）之间的相互转化。3、理解机械能守恒定律的推导过程。4、会从功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题，体会利用机械能守恒定律解决问题的便利性。002预习导学课前研读课本，梳理基础知识：一、重力做功与重力势能的关系1.重力做功的特点(1)物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径。(2)重力做功不引起物体的变化。2.重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就；重力对物体做负功，重力势能就增大。(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝＝－。二、机械能守恒定律1.内容：在只有重力或系统内弹力做功的物体系统内，与可以互相转化，而总的机械能。2.表达式：mgh1＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝mgh2＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)。3.机械能守恒的情况：(1)系统只受重力或系统内弹簧弹力的作用，不受其他外力。(2)系统除受重力或系统内弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统。(3)系统内除重力或系统内弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和。(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化。三、单物体的机械能守恒问题1.表达式2.一般步骤3.选用技巧在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。四、连接体的机械能守恒问题1.对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。3.列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。五、含“弹簧类”机械能守恒问题1.由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。2.弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。3.如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)。（二）即时练习：【小试牛刀1】如图所示，光滑水平面与光滑半球面相连，O点为球心，一轻绳跨过光滑小滑轮连接物块A、B，A、B质量相等且可视为质点，开始时A、B静止，轻绳水平伸直，B与O点等高，释放后，当B和球心O连线与竖直方向夹角为30°时，B下滑速度为v，此时A仍在水平面上，重力加速度为g，则球面半径为()A.eq\f(7v2,4g) B.eq\f(72＋\r(3)v2,4g)C.eq\f(7\r(3)v2,4g) D.eq\f(7v2,4\r(3)g)【小试牛刀2】如图(a)，在竖直平面内固定一光滑半圆形轨道ABC，B为轨道的中点，质量为m的小球以一定的初动能Ek0从最低点A冲上轨道。图(b)是小球沿轨道从A运动到C的过程中，动能Ek与其对应高度h的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力大小为25N，空气阻力不计，重力加速度g取10m/s2。由此可知()A．小球的质量m＝0.2kgB．初动能Ek0＝16JC．小球在C点时重力的功率为60WD．小球在B点受到轨道的作用力大小为85N【小试牛刀3】如图所示，露天娱乐场中过山车是由许多节完全相同的车厢组成，过山车先沿水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形轨道，若过山车全长为L(L＞2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，为使整个过山车安全通过固定的圆形轨道，那么过山车在运行到圆形轨道前的速度至少为(车厢间的距离不计，忽略一切摩擦)()A.eq\r(gR) B.eq\r(3πgL)C.eq\r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4πR,L)))) D.eq\r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(πR,L))))003题型精讲【题型一】单体机械能守恒【典型例题1】一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示。长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)()A．eq\r(2＋πgR) B．eq\r(2πgR)C．eq\r(21＋πgR) D．2eq\r(gR)【典型例题2】如图所示是一竖直固定在水平地面上的可伸缩细管，上端平滑连接四分之一细圆弧弯管，管内均光滑，右管口切线水平。竖直细管底部有一弹射装置(高度忽略不计)，可以让静止在细管底部的小球(可视为质点)瞬间获得足够大的速度v0，通过调节竖直细管的长度h，可以改变上端管口到地面的高度，从而改变小球平抛的水平距离，重力加速度为g，则小球平抛的水平距离的最大值是()A.eq\f(v02,g)B.eq\f(v02,2g)C.eq\f(v02,3g)D.eq\f(v02,4g)【对点训练1】如图所示，光滑圆形轨道竖直固定在倾角α＝30°的光滑斜面上，B点为圆与斜面相切的点，C为圆轨道上与圆心等高的点，D点为圆形轨道的最高点。一质量为m＝0.5kg的小球，从与D等高的A点无初速度释放，小球可以无能量损失的通过B点进入圆轨道，当地重力加速度g取10m/s2。在小球运动的过程中，下列说法正确的是()A．小球可以通过D点B．小球到最高点时速度为零C．小球对C点的压力大小为10ND．由于圆轨道的半径未知，无法计算出小球对C点的压力大小【对点训练2】如图所示，半径R＝0.5m的光滑半圆轨道固定在竖直平面内，半圆轨道与光滑水平地面相切于圆轨道最低端点A。质量m＝1kg的小球以初速度v0＝5m/s从A点冲上竖直圆轨道，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点，g取10m/s2，不计空气阻力。(1)求小球运动到轨道末端B点时的速度vB；(2)求A、C两点间的距离x；(3)若小球以不同的初速度冲上竖直圆轨道，并沿轨道运动到B点飞出，落在水平地面上。求小球落点与A点间的最小距离xmin。【题型二】涉及弹簧、弹性绳的机械能守恒问题【典型例题3】2021年7月30日，东京奥运会蹦床女子决赛中，中国包揽女子蹦床金、银牌，朱雪莹夺金，刘灵玲获蹦床银牌。在运动员蹦床训练中，从运动员下落到离地面高h1处开始计时，其动能Ek与离地高度h的关系如图所示。在h1～h2阶段图像为直线，其余部分为曲线，h3对应图像的最高点，运动员的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦。下列有关说法正确的是()A．整个过程中运动员的机械能守恒B．从运动员的脚接触蹦床直至蹦床被压缩至最低点的过程中，其加速度先增大后减小C．运动员从h1降到h5过程中，蹦床的最大弹性势能为Epm＝mgh1D．运动员处于h＝h4高度时，蹦床的弹性势能为Ep＝mg(h2－h4)【典型例题4】(多选)研究“蹦极”运动时，在运动员身上系好弹性绳并安装传感器，可测得运动员竖直下落的距离及其对应的速度大小。根据传感器收集到的数据，得到如图所示的“速度—位移”图像。若空气阻力和弹性绳的重力可以忽略，根据图像信息，下列说法正确的有()A．弹性绳原长为15mB．当运动员下降10m时，处于失重状态C．当运动员下降15m时，绳的弹性势能最大D．当运动员下降20m时，其加速度方向竖直向上【对点训练3】如图所示，A、B两物体在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上。用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后C沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度。求：(1)斜面倾角α；(2)B的最大速度v。【对点训练4】如图所示，一光滑细杆固定在水平面上的C点，细杆与水平面的夹角为30°，一原长为L的轻质弹性绳，下端固定在水平面上的B点，上端与质量为m的小环相连，当把小环拉到A点时，AB与地面垂直，弹性绳长为2L，将小环从A点由静止释放，当小环运动到AC的中点D时，速度达到最大。重力加速度为g，下列说法正确的是()A.在下滑过程中小环的机械能先减小后增大B.小环刚释放时的加速度大小为gC.小环到达AD的中点时，弹性绳的弹性势能为零D.小环的最大速度为eq\r(gL)【题型三】细绳、轻杆连接体【典型例题5】如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑。右侧是一个固定的光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°。一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及斜面顶端的光滑的定滑轮且两端分别系有可视为质点的小球m1和m2，且m1＞m2。开始时m1恰在碗口水平直径右端的A处，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。当m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失。(1)求小球m2沿斜面上升的最大距离s；(2)若已知细绳断开后小球m1沿碗的内侧上升的最大高度为eq\f(R,2)，求eq\f(m1,m2)。(结果保留两位有效数字)【典型例题6】(多选)如图所示，由长为L的轻杆构成的等边三角形支架位于竖直平面内，其中两个端点分别固定质量均为m的小球A、B，系统可绕O点在竖直面内转动，初始位置OA水平。由静止释放，重力加速度为g，不计一切摩擦及空气阻力。则()A．系统在运动过程中机械能守恒B．B球运动至最低点时，系统重力势能最小C．A球运动至最低点过程中，动能一直在增大D．摆动过程中，小球B的最大动能为eq\f(\r(3),4)mgL【对点训练5】如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上。开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4m。现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10m/s2。若圆环下降h＝3m时的速度v＝5m/s，则A和B的质量关系为()A.eq\f(M,m)＝eq\f(35,29) B.eq\f(M,m)＝eq\f(7,9)C.eq\f(M,m)＝eq\f(39,25) D.eq\f(M,m)＝eq\f(15,19)【对点训练6】一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则()A．A球的最大速度为2eq\r(gl)B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为eq\r(\f(8\r(2)＋1gl,3))D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1004体系构建1.在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。2.非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为eq\f(1,2)mv2。3.常见情境三点提醒(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化关系。(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。常见情境三大特点(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。4.题型特点由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。两点提醒(1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧是伸长还是压缩。(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。005记忆清单1．对机械能守恒条件理解的三个角度2．判断机械能守恒的三种方法3．三点提醒(1)物体在运动过程中只有重力做功，机械能守恒。(2)单个物体在竖直光滑圆轨道上做圆周运动时，因只有重力做功，机械能守恒。(3)单个物体做平抛运动、斜抛运动时，因只有重力做功，也常用机械能守恒定律列式求解。00601强化训练1．水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。如图所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m。取重力加速度g＝10m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力。则人的落水点到滑梯末端的水平距离为()A．4.0mB．4.5mC．5.0m D．5.5m2.(多选)如图所示，质量为m的小环(可视为质点)套在固定的光滑竖直杆上，一足够长且不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M的物块相连，已知M＝2m。与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离为d＝3m，定滑轮大小及质量可忽略。现将小环从A点由静止释放，小环运动到C点速度为0，重力加速度取g＝10m/s2，则下列说法正确的是(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)()A.A、C间距离为4mB.小环最终静止在C点C.小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能D.当小环下滑至绳与杆的夹角为60°时，小环与物块的动能之比为2∶13.如图所示，弹性轻绳的一端套在手指上，另一端与弹力球连接，用手将弹力球以某一竖直向下的初速度向下抛出，抛出后手保持不动。从球抛出瞬间至球第一次到达最低点的过程中(弹性轻绳始终在弹性限度内，空气阻力忽略不计)，下列说法正确的是()A．绳伸直以后，绳的拉力始终做负功，球的动能一直减小B．该过程中，手受到的绳的拉力先增大后减小C．该过程中，重力对球做的功大于球克服绳的拉力做的功D．在最低点时，球、绳和地球组成的系统势能最大4.一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法错误的是（）A．运动员到达最低点前重力势能始终减小B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关5.(多选)如图所示，一轻质支架的两端分别连着质量为m和2m的小球A和B(可视为质点)，支架的OA段长为L，OB段长为2L，∠AOB＝120°保持不变，可绕水平固定转轴O在竖直平面内无摩擦转动。已知重力加速度为g，当OB与水平方向成30°角时无初速度释放支架，直到B球第一次运动到最低点的过程中，下列说法正确的是()A．当B球运动到最低点时，A球的速度大小为eq\r(gL)B．当B球运动到最低点时，B球的速度大小为eq\r(2gL)C．B球运动到最低点的过程中，支架对A球做正功D．B球运动到最低点的过程中，B球的机械能守恒6.(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点静止释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是()A.小球的机械能守恒B.小球的机械能减少C.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D.小球和弹簧组成的系统机械能守恒7.(多选)如图所示，有质量为2m、m的小滑块P、Q，P套在固定竖直杆上，Q放在水平地面上。P、Q间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹簧左端与Q相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水平，α＝30°时，弹簧处于原长。当α＝30°时，P由静止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中()A．P、Q组成的系统机械能守恒B．当α＝45°时，P、Q的速度相同C．弹簧弹性势能最大值为(eq\r(3)－1)mgLD．P下降过程中动能达到最大前，Q受到地面的支持力小于3mg8．载人飞行包是一个单人低空飞行装置，如图所示，其发动机使用汽油作为燃料提供动力，可以垂直起降也可以快速前进，若飞行包(包括人)在竖直方向上匀速上升的过程中(空气阻力不可忽略)，下列说法正确的是()A．发动机对飞行包不做功B．飞行包的重力做正功C．飞行包的动能不变D．飞行包的机械能不变9.(多选)如图甲所示，被称为“魔力陀螺”的玩具陀螺能在圆轨道外侧旋转不脱落，其原理可等效为如图乙所示的模型。半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的铁球(可视为质点)沿轨道外侧运动，A、B分别为轨道的最高和最低点，轨道对铁球的磁性引力始终指向圆心且大小不变，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g，则()A．铁球绕轨道可能做匀速圆周运动B．铁球绕轨道运动过程中机械能守恒C．铁球在A点的速度必须大于eq\r(gR)D．轨道对铁球的磁性引力至少为5mg，才能使铁球不脱轨10．荡秋千是人们喜欢的一项健身娱乐活动。荡秋千者通过做功，逐渐增加自身的机械能，从而逐渐“荡”高。其原理如下：人向下摆动过程中逐渐“下蹲”使重心下降，而在秋千上摆过程中，人又逐渐站起使重心升高，机械能增加，从而逐渐“荡”高。有一个正在“荡”秋千的运动员质量为75kg，身高为1.8m，在水平地面上站立时重心高1.0m，蹲坐时重心高0.6m。秋千摆长为5.0m。若该运动员从与竖直方向成37°角位置开始下摆。(忽略空气阻力、秋千的质量，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2)(1)求运动员到达秋千下摆的竖直最低位置时的速度大小；(2)求运动员在秋千下摆的竖直最低位置时受到秋千的作用力大小。11．有一款名叫“跳一跳”的微信小游戏，游戏要求操作者通过控制棋子(质量为m)脱离平台时的速度，使其能从一个平台跳到旁边的平台上．如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，不计空气阻力．则下列说法中正确的是(重力加速度为g)()A．棋子从起跳至运动到最高点的过程中，机械能增加mghB．棋子离开平台时的动能为mghC．棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加mghD．棋子落到平台上的速度大小为eq\r(2gh)12.某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示。竖直平面内的光滑轨道由倾角为θ的斜面轨道AB和圆弧轨道BCD组成，在B点相切。使质量m＝0.1kg的小球从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点D时对轨道的压力F。改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示，取g＝10m/s2。(1)求圆轨道的半径R；(2)若小球从D点水平飞出后又落到斜面上，其中最低点与圆心O等高，求θ的值。13.如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线．已知一小球从M点