2022高考文科立体几何解答题专项练习题

高考文科立体几何解答题练习

(考查异面直线夹角、线面角、点到平面距离、体积、表面积)

一、解答题(本大题共11小题，共132.0分)

1.(文科生做)如图，四棱锥P—2BCD中，P21底面

ABCD,AB//CD,AD=CD=1,Z.BAD=120°,

PA=V3,^ACB=90°,M是线段P。上的一点不

包括端点.

(1)求证：BC1平面PAC；

(2)求A点到平面PCD的距离;

(3)试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角的正弦值为督.

2.如图所示，在四棱锥P-中，底面ABC。是边长为2的正方形，侧面为

正三角形，且面PAD1面A8CD,E、F分别为棱AB、PC的中点.

(1)求证：EF〃平面PAD；

(2)(文科)求三棱锥B-EFC的体积；(理科)求二面角P-EC-D的正切值.

3.（文科）设A在平面BCD内的射影是直角三角形28

的斜边8。的中点O,

AC-BC=1,CD=V2,

求（1）4C与平面BC。所成角的大小;

（2）异面直线AB和CD的大小.

4.在长方体ABC。—a/iGA中，AB=2,BB[=

BC=1,E为AG的中点，连结ED,EC,匹和

DB.

（I）求证：平面EDB1平面EBC-,

（理科生做）（II）求二面角E-DB-C的正切值；

（文科生做）（U）求点A到平面DBE的距离.

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5.(文科)在如图所示的五面体ABC。跖中，AB//CD,AB=2AD=2,^ADC=

ABCD=120°,四边形EDCB是正方形，二面角£一。。一4的大小为90。.

(1)求证：直线4。1平面BDE

(2)求点D到平面ABE的距离.

6.(文科)四棱镜P中，PD1平面ABC。，2ADAB=BC=2a,AD//BC,

PD=V3a,/.DAB=60°,。是PB的中点.

(I)若平面24。C平面PBC=I,求证：1//BC-,

(H)求证：DQ1PC.

7.如图，在三棱锥S-4BC中，侧面与侧面SAC均为

等边三角形，Z-BAC=90°,。为2C中点.

(1)证明：S。！平面ABC；

(2)(理科)求二面角4-SC-8的余弦值.

(文科)若4B=2,求三棱锥4-SBC的体积.

8.如图所示的几何体中，ABC—4tBic1为三棱柱，且441，平面ABC,=AC,

四边形ABC。为平行四边形，AD=2CD,^ADC=60°.

(I),求证：AC11平面AMCD；

(U)若CD=2,求三棱谁6-&CD的体积(文科做).

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9.如图，在三棱柱4BC—Ai81cl中，BBiJ_平面ABC,^BAC=90。，AC=AB=AA1,

E,G分别是BC,C】C的中点.

(1)求证：4E181C；

(2)(文科生答)求异面直线AE与&C所成的角的大小;

(理科生答)求直线AC与平面AEG所角的余弦值.

10.如图，四边形ECBF是直角梯形,NECB=90°,EF//BC,EF=2,BC=4,又AC=2,

乙4c8=120。，ABLEC,直线AF与直线EC所成的角为60。.

AB

（1）求证：平面瓦4c平面ABC;

（2）（文科）求三棱锥E-凡4c的体积.

11.如图，在四棱锥P—HBCD中，PAIjRffiABCD,ADLAB,AB//DC,AD=DC=

AP=2,4B=1,点E为棱PC的中点.

（1）（理科生做）证明：BELCD-,

（文科生做）证明：BE〃平面PAD；

（2）（理科生做）若/为棱PC上一点，满足8尸1AC,求二面角尸-AB-P的余弦值.

（文科生做）求点B到平面PCD的距离.

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答案和解析

1.【答案】证明：(1)•••PA，底面ABCD,BCu平

面AC,PA1BC,

■：^ACB=90°,

BC1AC,5LPAnAC=A,

BC_1_平面PAC.

解：(2)取CD的中点E,贝ME1CD,AELAB,

又P4，底面ABCD,PA1AE,

建立如图所示空间直角坐标系，

则4(0,0,0),P(0,0,V3),C(y,|,0),

V31

PA=(0,0,-V3),PC=(y,|,-V3),

―>W'L

PD=圾

设平面PDC的一个法向量元=(x,y,z),

1

T+

-V3-X-y-z-o

n2

得

取

22元ao

TP丽C%--

1,

nV3T

-X--y--o

2

4点到平面PCD的距图：

,\PA-n\V3V15

d=k=医

(HI)设MQ,y,z),PM=m'PD，

则(x,y，z—V3)=-V3),

解得点一称TH,百一旧山)，即彳拓=(-ym,—|m,V3—V3m),

tb—_______-_______—

田snw-^m2+3(：1_m)2-5，

解得m=1(不合题意舍去)或m=I，

.•.当M为尸。的中点时，直线AM与平面PC。所成角的正弦值为卓.

【解析】(1)由241底面ABCD,BCu平面AC,知P41BC,由乙4cB=9。。,知BCJ.4C,

由此能够证明BC1平面PAC.

(2)取C£)的中点E,则4E1CD,故AE1AB,由PAJ■底面ABC。，知PA1AE,建立

空间直角坐标系，利用向量法能求出A点到平面PCD的距离.

(3)设M(x,»z),利用向量法能推导出当M为尸。的中点时，直线AM与平面PCD所

成角的正弦值为等.

本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查满足条件的点的位

置的探索.解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和向量法的合理运用.

2.【答案】(1)证明：取尸。中点G,连结GF、AG,

-1

GF为4PDC的中位线，GF//CD5.GF=-CD,

-I

■■■AE//CDS.AE=-CD,：.GF//AE^GF=AE,

EFG2是平行四边形，则EF//4G,

又•••EF,面PAD,AGu面PAD,

：.EF〃面PAD；

(2)(文科)解：取中点。，连结尸。,

•.•面PAD1面ABCD,△PAD为正三角形，P01面ABCD,且P。=百，

又为面ABCD斜线，尸为PC中点，；.F到面A3。距离d="=渔,

22

-UZfTrIT113cV3V3

=XXXX=

故4-EFC=%-BCE32^^~TW；

（理科）角轨连0B交CE于M,可得RtAEBCmRtAOAB,

.­.乙MEB=Z.AOB,贝！jzMEB+Z.MBE=90°,即。M1EC.

连PM,又P。1EC,可得EC，平面POM,贝!!PM1EC,

即NPM。是二面角P-EC—。的平面角，

在RtAEBC中，BM=OM=OB-BM=

CE55

•­.tanzPMO=丝=座，即二面角尸-EC—D的正切值为叵.

OM33

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【解析】本题考查线面平行的判定，考查二面角的平面角及其求法，训练了利用等积法

求多面体的体积，是中档题.

(1)取尸。中点G,连结G尸、AG,由三角形中位线定理可得且GF=再由

已知可得2E〃CD且4E从而得到EFGA是平行四边形，则EF//2G,然后利用

线面平行的判定可得EF〃面PAD；

(2)(文科)取AO中点O,连结PO,由面面垂直的性质可得P。，面ABCD,且P0=百，

求出厂到面ABC。距离d="=宜，然后利用等积法求得三棱锥B-EFC的体积；

22

(理科)连02交CE于跖可得Rt△EBC=RtA。4B,得到。M1EC,进一步证得PM1EC,

可得NPM。是一.面角P-EC-。的平面角，然后求解直角三角形可得二面角P-EC-D

的正切值.

3.【答案】解：(1)•；4在平面内的射影是直角三角

形BCD的斜边8。的中点O,

。4是三棱锥的高

•••BC=1,CD=V2.

oc=OB=0D=―,0A=Vxc2-OC2=

OA_L平面BCD,.•.乙4C。是AC与平面BCD所成角,

1厂

•・,tanZ-ACO=*=专=芋，/-ACO=30°,

CU3

2

・••AC与平面BC。所成角为30。.

(2)如图，取2C中点RAC中点E,连接EF,OE,OF

■■■EF//AB,0F//CD

NEF。即为异面直线A8和CD所成的角

在AEF。中，ABy/AO2+OB21,

Dr=--=---------

2222

8=竽=¥，0E="=^?^=出

1,

2

・•・乙FEO=90°,Z.EF0=45°

・•・异面直线A5和CD所成的角的大小为45。.

【解析】(1)因为A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边的中点O,所以

。4是三棱锥的高，在直角三角形AOC中可计算AO,再由。/1平面5CQ,知乙4C。是

AC与平面BCO所成角，由此能求出AC与平面8CO所成角的大小.

（2）取BC中点RAC中点E,利用三角形中位线定理证明NEFO即为异面直线42和CD

所成的角，再在AEF。中分别计算三边的长，利用解直角三角形知识即可求得此角.

本题考查线面角的求法，考查异面直线所成角的求法，考查推理论证能力、运算求解能

力，考查整体思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题.

4.【答案】（I）证明：在长方体4BCD-

&B1C1D1中，

AB=2,BB1=BC=1,E为。的中

点.

.•・△。。送为等腰直角三角形，乙D、ED=

45°.

同理NCiEC=45°.

•••/.DEC=90°,SPDE1EC.

在长方体48CD-力iBiQDi中,BC_L平面ADCQ,

又DEu平面D10c

BC1DE.又ECCISC=C,DE_L平面EBC.

•••DEu平面DEB,•.•平面DEB1平面EBC.

（理科生做）（口）解：如图，过E在平面4DCG中作E。1DC于。.

在长方体48CD—A/iC也中，•••面4BCD，面％。"［，•••E01®ABCD.

过。在平面。BC中作。F1DB于F连接ER

••.EF1BD,NEF。为二面角E-DB-C的平面角.

-1

利用平面几何知识可得。尸=痣，0E=1,tanzEFO=V5.

.•・二面角E-DB-C的正切值为述.

（文科生做）（II）解：设点A到平面。8E的距离为4,

'''^E-DBA-%-OBE'

1111厂厂

—x—x1x2x1=—x—xv2xv3cZ

一娓

•.•aci——,

3

故A到面瓦啰的距离为渔.

3

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【解析】（I）先由BC1平面DiDCQnBC1DE,再利用△D/E为等腰直角三角形今

乙心ED=45。以及“iEC=45。可得DE1EC,合在一起可得平面EDB1平面EBC-,

（理科生做）（H）先过E在平面01DCC1中作E。1DC于。0E0，面ABC。；再。在平面

08c中作OF1DB于F,利用三垂线定理极其逆定理可得EF1BD.所以NEF。为二面角

E-DB-C的平面角.再利用平面几何知识求出NEF。的正切值即可；

（文科生做）（n）由喔-DB4=VA_DBE,利用等体积法来求A到面EZ汨的距离即可.

本题综合考查了面面垂直的判定以及二面角的求法和点到面的距离计算.在求点到面的

距离时，如果直接法不好求的话，一般转化为棱锥的高利用等体积法来求.

5.【答案】（1）证明：因为四边形EOCF为正方形，

所以ED1CD,

因为二面角E-DC-4的大小为90。，

所以平面EDCF_L平面ABCD,

由面面垂直的性质定理得ED1平面ABCD,

又ADu平面ABCD,

所以ED1AD,

又因为N/WC=120。，AB//CD,

所以NDAB=60°,

又AB=2AD=2,

所以由余弦定理得8。=百，

所以A£>2+B£）2=AB2,即力D_LBD,

又DECDB=D,DE,DBu平面BOE,

所以4。1平面BDE-

（2）解：设点D到平面ABE的距离为h,则腺YBD=%TBE，

所以NxLx（l+2）x更xl=工义工义/义辛义八

32232V2

所以八=到红，

14

所以点D到平面ABE的距离为这I.

14

【解析】（1）运用勾股定理证明垂直8。，再利用面面垂直的性质定理证明EO垂直

AD即可；

（2）设点£）到平面A8E的距离为人,由等体积法，即/.ZBO=%—/BE，可求得力

本题考查了线面垂直的证明及等体积法求点面距离，属于基础题.

6.【答案】证明：（I）•­-AD//BC,ADu平面

PAD,BC仁平面PAD

：.BC〃平面PAD,

又平面P8C过BC,且与平面尸4。交于/,

（口）连结8。，△4BD中，AD=a,AB=2a

/.DAB=60°,

由余弦定理，得：

BD2=DA2+AB2-2DA-ABcos60°,

解得BD=代a,

•••册=4。2+3。2,...△AB。为直角三角形，BDLAD,

•••ADI/BC,BCLPD,

•••PDCBD=D,BC，平面PBD,

•••BCu平面PBC,平面P8。1平面PBC,

又•：PD=BD=Wa,。为PB中点，；.DQ1PB,

•.•平面PBDn平面PBC=PB,：.DQ_L平面PBC,

PCu平面PBC,

：.DQ1PC.

【解析】（I）由4D〃BC,得BC〃平面PA。，由此能证明”/BC.

（工）连结加＞,由余弦定理，得百a,从而8。LAD,BC1PD,进而8cl平面

PBD,平面PBD!_平面PBC,再由DQ1PB,得DQ_L平面PBC,由此能证明DQ1PC.

本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意

空间思维能力的培养.

7.【答案】证明：（1）由题设知4B=AC=SB

SC=SA,

连结04△ABC为等腰直角三角形，

0A=OB=0C=—SA,且4。1BC,

2

第12页,

又△SBC为等腰三角形，故S。1BC,且S。=-SA,

2

从而。弟+sc>2=sa2.

.•.△SOA为直角三角形，SO1A0.

又4。CB0=0.

SO_L平面ABC.

解：(2)(理科)(法一：几何法)：取SC的中点连结AM,0M,

由(1)知SO=OC,SA=AC.得。M1SC,AM1SC.

■■■NOMA为二面角a—SC—B的平面角.

由4。1BC,AOISO,SOnBC=。得AO，平面SBC.

：.AO1OM.

又4M=^S4

2

故sinz_AM。=—=-^=—,cosZ-AMO=—,

AMy/333

・・・二面角Z—SC—B的余弦值为理.

3

(法二：向量法)：以。为原点，05为X轴，。4为y轴，OS为Z轴，建立空间直角坐标

系，

设4B=2,则2(0,夜,0),5(72,0,0),C(-V2,0,0),5(0,0,烟,

SA=(0,V2,-V2),~SB=(V2,0,-V2),SC=(-V2,0,-V2),

设平面SAB的法向量元=(久,y,z),

贝HD.日='yz=°,取x=i,得元=(1,1,1),

设平面SBC的法向量访=(0,1,0),

设二面角a-sc-B的平面角为仇

则COS8=R=：=^.

|?n|-|n|V33

二面角a-sc-B的余弦值为理.

3

(2)(文科)AB=2,S"4c=|x/lSxXC=|x2x2=2,

SO^—SA=42,

2

・・・三棱锥A—SBC的体积：

^A-SBC=^S-ABC=3X^2X2=誓.

【解析】（1）由题设知AB=AC=SB=SC=SA,连结。4,推导出S。1BC,SOLAO,

由此能证明S。1平面ABC.

（2）（理科）几何法：取SC的中点连结AM,OM,则。MlSC,AMISC,NOMA为

二面角a-sc-B的平面角，由此能求出二面角a-sc-8的余弦值.

向量法：以。为原点，。3为x轴，为y轴，OS为Z轴，建立空间直角坐标系，禾！I

用向量法能求出二面角4-SC-B的余弦值.

（2）（文科）三棱锥4—S8C的体积匕一SBC=VS-ABC-

本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，考

查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能

力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方思想、数形结合思想，是中档题.

8.【答案】解：

（I）证明：•.TBC-AiBiQ为三棱柱,

A41GC是平行四边形，

又力力11平面ABC,ACu平面ABC,

AA11AC,又AA]=AC,

44iGC是正方形，

•••ACr1ArC,

四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD,^ADC=60°.

显然AC1DC,：.AC1AB,

■■■AAr1AB,ACnAA1=A,

ACu平面力441u平面4CC1&,

AB1平面ACC14,又A\B\〃AB,

：■A1B11平面

又力Clu平面ACC14,

•••A1B11ACr,

A/inArC=4,

A1B1,A1Cu平面A/】CD,

AC11平面A/iCD.

解：（II）,；CD=2,AD=4,AC=AA-^=V16—4=2A/^,

由（I）知：ABI平面a&CCAB11CD,

•••CD1平面A&GC,

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••・三棱锥Cl-&CD的体积:

1

Uq-AiCD==2XCDxSA41cle

=-x2x-x2V3x2V3=4.

32

【解析】（I）推导出—1A1C,AC1AB,AA11AB,从而AB1平面2CQ&,进而&当1

由此能证明4G1平面4/1CD.

（口）由。。=2,得4。=4,AC=AA1=V16-4=2V3,三棱谁G-&C。的体积：

匕;1-41CD=，D-4iCiC，由此能求出结果.

本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间

的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

9.【答案】（1）证明：因为BBi，面ABC,AEeffiABC,所以AElBBi

由48=AC,E为BC的中点得到ZE1BC

・；BCCtBBi=B,HE1面BB£C,

•••AE1BrC.

（2）（文科）解:取BiQ的中点的,连4又,EC

则2E〃4%,

・•.NEi&C是异面直线AE与&C所成的角.

由（1）可得4E1EQ则1EC

设力C=AB=AAr=2,贝ij由ABAC=90°,

可得AiEi=AE=2A/2,ArC=2A/2,

在Rt△Ei&C中<XJ«Z.E\A\C斗

••・异面直线AE与AC所成的角为60。.

(理科)解：过C作CF1EG于点R连接A元

由(1)可得平面4EG，平面BCGB,

又CFu平面BCC/i，平面AEGn平面3"祖=EG,

CF_L平面AEG.则NC4F即为AC与平面AEG所成的角.

由(2)可得CE=V2,CG=1,

利用等面积法可得C昨看袅V2X1V6

3

sin皿尸=黑=4则COSHF=等.

【解析】本题考查了线面垂直的判定、线面垂直的性质、异面直线所成角和直线与平面

所成角，是中档题.

(1)先证明AE，面381的。，由线面垂直的性质可得线线垂直；

(2)(文科)NE14C是异面直线AE与&C所成的角，根据数据计算即可；

(理科)由⑴可得平面AEG1平面BCQB,所以CF1平面力EG,则NC4F即为AC与平面

AEG所成的角，根据数据计算即可.

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10.【答案】(1)证明：・••EC1BC,EC1AB,S.ACCiAB=B

：.EC_L平面ABC,

又•••ECu平面EAC,

平面E4C1平面ABC.

(2)取BC的中点N,贝iJCN=2,连接AN,FN.

■■■EF//CN,EF=CN,

：.FN//EC,FN=EC,

FN_L平面ABC,

•・・直线AF与直线EC所成的角为60。,

•••4AFN=60°,

在AACN中，由余弦定理得

AN=y/AC2+CN2-2AC-CN-cosl20°=2V3

.•.在RtAAFN中，FN=2,

"^E-FAC=匕-ECF=匕-FNC=^F-ACN

=-x-AC-CN-sinl20°-FN=—.

323

【解析】本题考查立体几何的知识，属于中档题，

(1)通过证明EC_L平面ABC来证明平面比4c1平面ABC.

(2)根据题意求出AN的长度，利用/_F4c=^A-ECF=^A-FNC=%-ACN求出体积.

11.【答案】证明：(1)(理科生做)•.•在四棱锥P—4BCD中，PA，底面A8CD,ADVAB,

AB//DC,

AD=DC=AP=2,4B=1,点E为棱PC的中点.

二以点A为原点，建立空间直角坐标系，如图，

则B(l