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PAGE课时分层作业(六)(建议用时:60分钟)[合格基础练]一、选择题1.在梯形ABCD中,AB∥CD,ABα,CDα,则CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A.平行 B.异面C.相交 D.平行或异面D[由条件知CD∥α,故CD与α内的直线平行或异面.]2.若直线l不平行于平面α,且lα,则下列四个命题正确的是()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l相交B[依题意,直线l∩α=A(如图),α内的直线若经过点A,则与直线l相交;若不经过点A,则与直线l是异面直线.]3.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得到AB∥平面MNP的图形是()A.①② B.②④C.②③ D.①④D[过AB的体对角面与面MNP平行,故①成立;④中易知AB∥NP,故④也成立.]4.P是△ABC所在平面外一点,E,F,G分别是AB,BC,PC的中点,则图中与过E,F,G的截面平行的线段条数是()A.1 B.2C.3 D.4B[由题意知EF∥AC,FG∥PB,∴AC∥平面EFG,PB∥平面EFG,即有2条与平面EFG平行的线段.]5.如图,α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,若AB∥α,则CD与EF的位置关系是()A.平行 B.相交C.异面 D.平行或相关A[∵eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB∥α,α∩β=CD,ABβ))⇒AB∥CD,同理可证AB∥EF,∴EF∥CD.]二、填空题6.如图,三棱锥ABCD中E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的点,它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,则当EFGH是菱形时,AE∶EB=________.m∶n[∵AC∥平面EFGH,∴EF∥AC,HG∥AC.∴EF=HG=eq\f(BE,BA)·m.同理,EH=FG=eq\f(AE,AB)·n,∴eq\f(BE,AB)·m=eq\f(AE,AB)·n,∴AE∶EB=m∶n.]7.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,M是A1B1的中点,N是AB上的点,且AN∶NB=1∶2,过D1,M,N的平面交AD于点G,则NGeq\f(\r(5),3)a[由题意易知GN∥D1M,由AN∶NB=1∶2,M为A1B1的中点得AN=eq\f(1,3)AB=eq\f(1,3)A1B1=eq\f(2,3)A1M.∴eq\f(GN,D1M)=eq\f(AN,A1M)=eq\f(2,3),∴GN=eq\f(2,3)D1M=eq\f(2,3)eq\r(a2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))\s\up12(2))=eq\f(\r(5),3)a.]8.如图,四边形ABCD是矩形,P平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于E,交DP于F,则四边形BCFE的形状一定是______.梯形[∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD.∵AD平面PAD,∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD=EF,∴BC∥EF.∵AD=BC,AD≠EF,∴BC≠EF,∴四边形BCFE为梯形.]三、解答题9.如图,已知A1B1C1ABC是正三棱柱,D是AC的中点.求证:AB1∥平面DBC1[证明]∵A1B1C1ABC是正三棱柱∴四边形B1BCC1是矩形.连结B1C交BC1于点E则B1E=EC.连结DE,在△AB1C中∵AD=DC,B1E=EC,∴DE∥AB1.又∵AB1平面DBC1,DE平面DBC1,∴AB1∥平面DBC1.10.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BB1上不同于B,B1的任一点,AB1∩A1E=F,B1C∩C1E=G.求证:AC∥[证明]∵AC∥A1C1,而AC平面A1EC1,A1C1平面A1EC1.∴AC∥平面A1EC1.而平面A1EC1∩平面AB1C=FG,AC平面AB1C∴AC∥FG.[等级过关练]1.下列说法中正确的是()A.平行于同一平面的两直线平行B.若直线a平行于平面α内的一条直线b,则直线a∥平面αC.若两平行直线中的一条与平面α相交,则另一条也与平面α相交D.若直线a与平面α内的无数条直线相交,则直线a在平面α内C[A中两直线可以平行也可以相交或异面,B中a也有可能在平面α内,D中直线a也可能与平面α相交.]2.如图所示,A是平面BCD外一点,E,F,H分别是BD,DC,AB的中点,设过这三点的平面为α,则在下图中的6条直线AB,AC,AD,BC,CD,DB中,与平面α平行的直线条数有()A.1 B.2C.3 D.4B[如图,过F作FG∥AD交AC于G,连接HG,HE,EF,显然平面EFGH就是平面α.在△BCD中,EF∥BC,EFα,BCα,∴BC∥α.同理,AD∥α.所以在所给的6条直线中,与平面α平行的有2条.]3.在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是____________________.平面ABC,平面ABD[连结AM并延长交CD于E,连结BN并延长交CD于F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点,由eq\f(EM,MA)=eq\f(EN,NB)得MN∥AB,因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.]4.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EFeq\r(2)[因为直线EF∥平面AB1C,EF平面ABCD,且平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又因为点E是DA的中点,所以F是DC的中点,由中位线定理可得:EF=eq\f(1,2)AC.又因为在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2eq\r(2),所以EF=eq\r(2).]5.如图,直线l是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点的平面
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