云南省昆明市盘龙区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题【含答案解析】

盘龙区2023-2024学年上学期期末检测高二数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必用碳素笔或钢笔将自己的姓名、准考证号在答题卡上填写清楚.2．考生必须把所有答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案一律无效.3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，其余试题用碳素笔或钢笔作答.4．考试结束后将本试卷及答题卡交监考教师方可离开教室.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交运算直接运算即可.【详解】因为集合，，所以，故选：C.2.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义进行计算即可.【详解】设点,则，则，故选：B.3.等比数列中，已知，则（）A.1 B.3 C.9 D.27【答案】C【解析】【分析】根据条件求得公比，利用通项公式可得结果.【详解】设数列的公比为，则，则，所以，故选：C.4.已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直的条件，向量数量积的定义及运算可得结果.【详解】因为两个单位向量与的夹角为，且，所以，即，故选：C.5.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取特殊值，结合单调区间即可判断.【详解】由，排除BD，，由，可得，解得，由，可得，解得或，所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，故排除C.故选：A6.直线与曲线有公共点，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用直线的截距、直线与圆的位置关系及数形结合的思想计算即可.【详解】由，即曲线为以原点为圆心的半圆，如图所示，因为直线与曲线有公共点，而，即为直线在纵轴上的截距，易知当直线与相切时纵截距最大，即，所以；过时纵截距最小，即，所以.故选：B7.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.【详解】因为，所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，故选：D.8.已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据几何体特征、勾股定理及其外接球体积公式计算即可.【详解】设分别为正棱柱上下底面的中心，即，由几何体的特征易知其外接球球心在上，如图所示，根据正三角形的中心性质可知，同理，设外接球半径为则，所以有，则外接球体积.故选：D【点睛】思路点睛：对于几何体外接球问题，第一步先确定球心位置，可以先通过确定一面的外接圆圆心去确定，本题几何体比较规则，容易得出球心在上下中心连线上；第二步，由点在球上及球体的特征结合勾股定理构建方程组解方程求半径即可.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.的虚部为 B.复数在复平面内对应的点位于第二象限C.的共轭复数 D.【答案】CD【解析】【分析】由复数的乘、除法运算化简复数可判断A；由复数的几何意义可判断B；由共轭复数的定义可判断C；由复数的模长公式可判断D.【详解】，对于A，的虚部为，故A错误；对于B，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B错误；对于C，的共轭复数，故C正确；对于D，，故D正确.故选：CD.10.多项选择题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．小乐同学在面对一道多项选择题时，仅能明确的排除一个错误选项A，于是她选择在B、C、D三个选项中随机填涂答案提交，若该题在B、C、D中只有两个选项正确，则（）A.若小乐填涂三个选项，则该题得2分的概率为B.若小乐随机填涂一个选项，则该题得0分的概率为C.若小乐随机填涂两个选项，则该题得5分的概率为D.若小乐随机填涂两个选项，则该题得0分的概率为【答案】BC【解析】【分析】对选项逐个分析，分别计算出对应的概率，即可得出答案.【详解】对于A，若小乐填涂三个选项，则为，而该题在B、C、D中只有两个选项正确，故该题得2分的概率为，故A错误；对于B，若小乐随机填涂一个选项，共有种方法，该题得0分的概率为，故B正确；对于C，若小乐随机填涂两个选项，共有种方法，该题得5分的概率为，故C正确；对于D，若小乐随机填涂两个选项，共有种方法，则该题得0分的概率为，故D错误.故选：BC.11.已知、分别为双曲线的左、右焦点，过、作渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若，则下列选项正确的是（）A. B.的面积为C.的渐近线方程为 D.的离心率为【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的基本量之间的关系进行计算判断.【详解】如图：因为，渐近线，化成，所以.在中，，，，所以，同理，所以，故A正确；，故B错；因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；因为，故D正确.故选：ACD12.已知，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先由基本不等式，将等式转化为关于不等式，求解即可.【详解】因为，对于选项A，，当且仅当时等号成立；得，解得或（舍去）故，选项A正确；对于选项B，，当且仅当时等号成立；得，且，解得，故，选项B正确；对于选项C，，且，得，结合选项A中正确结果，得，当且仅当时等号成立；选项C不正确；对于选项D，，且，所以，结合选项B中正确结果，则，所以，当且仅当时等号成立，选项D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若是的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个为______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】化简，写出一个范围比小的即可.【详解】由，解得或，故，因为是的一个充分不必要条件，写出一个范围比小的即可，故.故答案为：（答案不唯一）14.把离心率为的椭圆称为“正椭圆”．已知、为“正椭圆”的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若周长为16，则“正椭圆”方程为______．【答案】【解析】【分析】由题意可得出，，解方程求出，即可得出答案.【详解】由题意可得：，则，又因为周长为16，所以，则，故“正椭圆”方程为.故答案为：.15.函数在区间上单调递增，则取值范围为______．【答案】【解析】【分析】先求出函数的单调增区间，再利用是单调增区间的子集，确定的取值范围.【详解】由，，.由.又，，所以，所以.故答案为：16.如图，公园要在一块圆心角为，半径为的扇形草坪中修建一个内接矩形文化景观区域，若，则文化景观区域面积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】取中点，连结，交于点，交于点，连结，设，推导出和，从而得出文化景观区域面积，利用三角函数的性质，解出面积最大值．【详解】取中点，连结，交于点，交于点，连结，设，则，，，文化景观区域面积：，当，即时，文化景观区域面积取得最大值为．故答案为：．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到变量，从而表示得，再熟练掌握三角恒等变换进行化简即可得解.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知．（1）求的通项公式；（2）求．【答案】17.18.【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解即可.【小问1详解】因为数列为等差数列，所以，由，所以公差，所以.【小问2详解】由（1）得：，，所以.18.在中，角所对的边分别为，．（1）求；（2）已知的面积为，为的中点，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理化简条件，代入，即可求解；（2）根据三角形面积可求得，再利用，建立方程解出后，结合条件即可求解.【小问1详解】因为，由余弦定理，得化简得，所以，又，所以.【小问2详解】由的面积为，可得，则，在中，,,则，化简为又，所以即，解得.19.某市为了解高三数学复习备考情况，该市教研部门组织了一次检测考试，随机抽取100名学生的检测成绩（满分：150分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图：（1）估计该市高三年级检测成绩的第80百分位数；（2）为进一步了解市内学生数学学习情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生恰有1人成绩在内的概率．【答案】19.11520.（或）【解析】【分析】（1）根据百分位数的概念结合频率分布直方图求解即可；（2）利用古典概型求解即可.【小问1详解】由，可得.样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为，在130分以下所占比例为，因此，第80百分位数一定位于内，由，所以样本数据的第80百分位数约为.【小问2详解】因为分数段的人数为：人，分数段的人数为：人，从这两组中用分层抽样的方法抽取5人，则2人来自分数段，记为，，3人来自分数段，记为，，.从这5人中随机抽取2人的方法种数有：共10种，抽取的这2名学生恰有1人成绩在内的方法有：共6种，所以，所求事件的概率为：.20.如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定、面面垂直的判定证明即可；（2）根据几何图形特征转化求出到平面的距离即可.【小问1详解】因为底面为正方形，平面，平面,所以，又平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；【小问2详解】易知平面，故到平面的距离即到平面的距离，过作，平面平面，由上结论可知平面，由题意面为正方形，平面，平面，则，所以,显然是等腰直角三角形，又四边形为平行四边形，故是等腰直角三角形，所以,故四棱锥的高为1.21设，令，，．（1）求，的表达式，并猜想；（2）若数列满足：，求的前项和；（3）若数列满足：，求的前项和．【答案】（1）；；；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题意，求出，，归纳猜想即可；（2）应用分组求和及等比数列公式求和即可（3）应用裂项相消法即可.【小问1详解】因为，，，则，，，猜想；【小问2详解】由，则，则则的前项和；【小问3详解】，则的前项和22.已知抛物线上的点到焦点的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）点在抛物线上，直线与抛物线交于两点（第一象限），过点作轴的垂线交于点，直线与直线、分别交于点（为坐标原点），且，证明：直线过定点．【答案】22.