2025高考数学一轮复习-46.2-非线性回归模型与回归效果分析【课件】

46.2-非线性回归模型与回归效果分视角1

指数型经验回归方程非线性经验回归方程举题说法云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书(2022年)》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：1-1年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y/亿元692962133420913229【解答】视角2

对数型经验回归方程某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次xi和农产品销售量yi(i＝1，2，3，…，10)的数据，得到如图所示的散点图．1-2【解答】某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次xi和农产品销售量yi(i＝1，2，3，…，10)的数据，得到如图所示的散点图．1-2(2)对数据作出如下处理，得到相关统计量的值如右表：

【解答】视角1

残差分析回归效果分析【解答】散点图如图所示．假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．数据如右：2-1x234345y737271736968(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．数据如下：2-1x234345y737271736968(2)求y与x之间的经验回归方程，当单位成本为70元/件时，预报产量为多少；【解答】【解答】假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．数据如下：2-1x234345y737271736968(3)计算各组残差，并计算残差平方和．注：保留两位有效数字．视角2

决定系数如图是某企业2016年至2022年的污水净化量(单位：吨)的折线图．2-2注：年份代码1～7分别对应年份2016～2022.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量；【解答】如图是某企业2016年至2022年的污水净化量(单位：吨)的折线图．2-2注：年份代码1～7分别对应年份2016～2022.(2)请用决定系数说明回归方程预报的效果．随堂练习1．下列四幅残差分析与一元线性回归模型拟合精度最高的是

(

)D【解析】由图知D中残差均匀分布在横轴附近，故D中图象与一元线性回归模型拟合精度最高．ABCD【解答】2．经验表明，树高y与胸径x具有线性关系，为了解回归方程的拟合效果，利用右面数据计算残差，用来绘制残差图．【解析】由表可得，各组数据的残差为18.9－18.6＝0.3，19.4－19.3＝0.1，20.8－21.5＝－0.7，22.8－23＝－0.2，24.8－24.4＝0.4，故残差最大值为0.4，最小值为－0.7.则残差的最大值和最小值分别是

(

)A．0.4，－1.8 B．1.8，－0.4C．0.4，－0.7 D．0.7，－0.4C3．某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：月份代号x1234567在线外卖规模y/百万元111318★28★35【解析】【答案】B4．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是 (

)A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx【解析】【答案】D由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加缓慢．对于A，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不符合要求；对于B，y＝a＋bx2是二次函数型，函数y＝a＋bx2(b≠0)的对称轴为y轴，当b＞0时，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求，当b＜0时，图象呈现上凸，呈递减趋势，不符合要求；对于C，y＝a＋bex是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求；对于D，y＝a＋blnx是对数型，增长缓慢，符合要求．配套精练A组夯基精练一、

单项选择题1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，其中拟合效果最好的是

(

)A．模型1的决定系数R2＝0.05 B．模型2的决定系数R2＝0.49C．模型3的决定系数R2＝0.89 D．模型4的决定系数R2＝0.98D【解析】决定系数R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好；决定系数R2越小，模型的拟合效果越差.模型4的决定系数最大、最接近1，其拟合效果最好．2．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法错误的是(

)A．若变量x和y之间的相关系数为r＝－0.992，则变量x和y之间的负相关很强B．用决定系数R2来比较两个模型拟合效果，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好D【解析】3．以模型y＝cekx(c＞0)去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到经验回归方程z＝2x－1，则k，c的值分别是 (

)B【解析】4．某兴趣小组研究光照时长x(单位：h)和向日葵种子发芽数量y(单位：颗)之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉D(10，2)后，则下列说法正确的是

(

)A．样本相关系数r变小B．决定系数R2变小C．残差平方和变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强【解析】【答案】D从图中可以看出D(10，2)较其他点偏离直线远，故去掉D(10，2)后，回归效果更好．对于A，y与x正相关，r＞0，样本相关系数r越接近于1，模型的拟合效果越好，去掉D(10，2)后，样本相关系数r变大，故A错误；对于B，决定系数R2越接近于1，模型的拟合效果越好，去掉D(10，2)后，决定系数R2变大，故B错误；对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，去掉D(10，2)后，残差平方和变小，故C错误；对于D，去掉D(10，2)后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确．【解析】【答案】BCD对于C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，即拟合效果越好，故C正确；对于D，由决定系数R2的意义可知，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D正确．A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关B．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0kPaC．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，样本点(11，22.6)的残差为－1.9D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程y2＝132.9e-0.163x的预报效果更好【解析】【答案】ACD对于A，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确；对于B，经验回归方程得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误；对于D，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程y2＝132.9e-0.163x的预报效果更好，故D正确．三、

填空题7．若一个样本的观测值与均值的差的平方和为80，残差平方和为60，则决定系数R2＝________．0.25【解析】【解析】－0.19．为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位：dm2)与水生植物的株数y(单位：株)之间的相关关系，收集了4组数据，用模型y＝cekx(c＞0)去拟合x与y的关系，设z＝lny，x与z的数据如右表所示．【解析】x3467z2.5345.9e0.35四、

解答题10．已知x与y之间的数据如下表：【解答】x23456y2.23.85.56.57.0(1)求y关于x的经验回归方程；四、

解答题10．已知x与y之间的数据如右表：x23456y2.23.85.56.57.0(2)完成下面的残差表，并判断(1)中经验回归方程的回归效果是否良好(若R2＞0.9，则认为回归效果良好)．参考公式及数据：【解答】【答案】11．某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过实验，收集到其不同浓度x(mol/L)与灭死率y的数据，如下表：【解答】浓度x(mol/L)10-1210-1010-810-610-4灭死率y0.10.240.460.760.9411．某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过实验，收集到其不同浓度x(mol/L