2018届中考数学基础知识复习检测17

1.如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值解：（1）证明：连接OB、OP∵且∠D=∠D∴△BDC∽△PDO∴∠DBC=∠DPO∴BC∥OP∴∠BCO=∠POA∠CBO=∠BOP∵OB=OC∴∠OCB=∠CBO∴∠BOP=∠POA又∵OB=OAOP=OP∴△BOP≌△AOP∴∠PBO=∠PAO又∵PA⊥AC∴∠PBO=90°∴直线PB是⊙O的切线（2）由（1）知∠BCO=∠POA设PB，则又∵∴又∵BC∥OP∴∴∴∴∴cos∠BCA=cos∠POA=.2.已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径，AD平分CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若cm，cm，求⊙O的半径.CCOBADMEN解（1）证明：连接OD．∵OA=OD，．∵AD平分∠CAM，，．∴DO∥MN．，∴DE⊥OD．………1分∵D在⊙O上，是⊙O的切线．……………………2分（2）解：，，，．………………3分连接．是⊙O的直径，．，．………………4分．．∴（cm）．⊙O的半径是7.5cm．……………5分（说明：用三角函数求AC长时，得出tan∠DAC＝2时，可给4分.）3.如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC·CD=PC·BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；第23题（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。第23题解（1）由题意，AB是⊙O的直径；∴∠ACB=90。，∵CD⊥CP，∴∠PCD=90。∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90。，∴∠ACP=∠DCB，又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP=∠ABP+∠ABC，∴∠ABC=∠APC，∴∠APC＝∠D，∴△PCA∽△DCB；∴，∴AC·CD=PC·BC（2）当P运动到AB弧的中点时,连接AP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90。，又∵P是弧AB的中点，∴弧PA=弧PB，∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA=45.,又AB=5，∴PA=，过A作AM⊥CP，垂足为M，在Rt△AMC中，∠ACM=45，∴∠CAM=45，∴AM=CM=，在Rt△AMP中，AM2+AP2=PM2，∴PM=，∴PC=PM+=。由（1）知：AC·CD=PC·BC，3×CD=PC×4，∴CD＝（3）由（1）知：AC·CD=PC·BC，所以AC：BC=CP：CD；所以CP：CD=3：4，而△PCD的面积等于·=，CP是圆O的弦，当CP最长时，△PCD的面积最大，而此时CP就是圆O的直径；所以CP=5，∴3：4=5：CD；∴CD=，△PCD的面积等于·==；4.已知⊙O的直径AB、CD互相垂直，弦AE交CD于F，若⊙O的半径为R求证：AE·AF＝2R证明：连接BE…1分∵AB为⊙O的直径∴∠AEB＝90°…2分∵AB⊥CD∴∠AOF＝90°∴∠AOF＝∠AEB＝90°又∠A＝∠A∴△AOF∽△AEB…5分∴AE·AF＝AO·AB∵AO＝RAB＝2RAE·AF＝2R………………8分5.已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．DCOABE（1）判断直线DCOABE（2）若，，求的长．解：（1）直线与⊙相切． 1分证明：如图1，连结．，．ABCDPEABCDPE．O（图1）又，．．直线与⊙相切4分（2）解法一：如图1，连结．是⊙的直径，．DCODCOABE图1．6分，，．7分，．8分解法二：如图2，过点作于点．．DCODCOABH图2． 6分，，． 7分，． 8分6.已知：如图12-1，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结PC，交AD于点E．（1）（5分）求证：AD是圆O的切线；（2）（5分）如图12-2，当PC是圆O的切线，BC=8，求AD的长．（1）证明：∵AB=AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BD．又∵BD是圆O直径，∴AD是圆O的切线．（2）解：连结OP，OE．由BC=8，得CD=4，OC=6，OP=2．∵PC是圆O的切线，O为圆心，∴．于是，利用勾股定理，得．∵，，∴△DCE∽△PCO．ABCDPEABCDPE．O（图12-2）∵PE、DE是圆O的切线，∴．于是，由，得．又∵OB=OP，∴．于是，由，得．∴．∴OE//AB．∴，即得．∴．7.如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BEE与AC交于F.ABCOABCOEFD（2）若AE=6，BE=8，求EF的长.解：（1）BE平分∠ABC.……1分理由：∵CD＝AC，∴∠D=∠CAD.∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD.……4分∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD，∴∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC.……6分（2）由（1）知∠CAD=∠EBC=∠ABE.∵∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△BEA.……8分∴，∵AE=6，BE=8.∴EF=.……10分8.如图，在中，以AC为直径作圆O，交AB边于点D，过点O作OE∥AB，交BC边于点E。（1）试判断ED与圆O位置关系，并给出证明；（2）如果圆O的半径为，求AB的长.（1）解：ED与圆O相切，证明如下：连结OD∵OE∥AB∴∠COE=∠CAD、∠EOD=∠ODA………2分∵∠OAD=∠ODA∴∠COE=∠DOE又∵OC=OD、DE=OE∴⊿COE≌⊿DOE（SAS）………4分∴∠ODE=∠OCE=RT∠∴ED是圆O的切线………6分（2）解：在RT⊿ODE中∵OD=，DE=2∴OE===………9分∵DE∥AB∴⊿COE～⊿CAB∴=即=∴AB=5………12分9.如图11，为⊙O的直径，弦于点，过点作ABECMOD图11，交ABECMOD图11（1）求证：为⊙O的切线；（2）如果，求⊙O的直径。答案:证明：，，．又为直径，为⊙O的切线． 3分（2）为直径，，． 5分．．，．． 8分，． 10分⊙O的直径． 12分10.如图13，已知等边三角形ABC,以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F。（1）判断EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为8，求FH的长。（结果保留根号）答案:(1)EF是⊙O的切线.连接OE∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，∵OE＝OC，∴△OCE是等边三角形，∴∠EOC＝∠B＝60°，∴OE∥AB.∵EF⊥AB，∴EF⊥OE，∴EF是⊙O得切线.(2)∵OE∥AB，∴OE是中位线.∵AC＝8，∴AE＝CE＝4.∵∠A＝60°，EF⊥AB，∴∠AEF＝30°，∴AF＝2.∴BF＝6.∵FH⊥BC，∠B＝60°，∴∠BFH＝30°，∴BH＝3.11.已知是⊙的直径，弦于，是延长线上的一点，、与⊙分别交于、，与⊙交于.（1）求证：平分；（2）若⊙的半径为，，求线段的长.答案：证明：（1）连结，则，所以的中点到、、、四点的距离相等，即、、、四点在同一个圆上，弦所对的圆周角…2分，，而……………4分∴即平分………5分（2）连结、，，，在中得，………………6分在，，……………7分，由∽得，……………9分平分，……………10分12.如图，Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M.设CP=x，⊙P的半径为y.⑴求证：△BPM∽△BAC.⑵求y与x的函数关系式，并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离？⑶当点P从点C向点B移动时，是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x、y的值；若不存在，请说明理由。AACPMB答案：（1）证明：∵AB切⊙P于点M∴∠PMB=∠C=90°又∵∠B=∠B∴△BPM∽△BAC………4分(2)∵AC=3，BC=4，∠C=90°∴AB=5∵，∴，∴(0≤x﹤4)………7分当x﹥y时，⊙P与AC所在的直线相离．即：x﹥得：x﹥，∴当﹤x﹤4时，⊙P与AC所在的直线相离…………9分ABCABCOMPN得：OP=2.5-y，而BM=，∴OM=，有：，……12分得：∴y1=0（不合题意舍去），y2=∴…………14分13.如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E.⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=.（1）求证：CD∥BF；（2）求⊙O的半径；（3）求弦CD的长.FFMADOECOCB【答案】（1）∵BF是⊙O的切线∴AB⊥BF∵AB⊥CD∴CD∥BF（2）连结BD∵AB是直径∴∠ADB=90°∵∠BCD=∠BADcos∠BCD=∴cos∠BAD=又∵AD=3∴AB=4∴⊙O的半径为2FAFADEOCB（3）∵cos∠DAE=AD=3∴AE=∴ED=∴CD=2ED=eq\f(3eq\r(,7),2)14.如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．（1）求证：CA是圆的切线；（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．（第22（第22题）【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,∴BC=．即圆的直径为10.15.如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.【答案】（1）证明：连接OC，……1分因为点C在⊙O上，OA=OC，所以因为，所以，有.因为AC平分∠PAE，所以……………3分所以……4分又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线.………………5分（2）解:过O作，垂足为F，所以，所以四边形OCDF为矩形，所以……………7分因为DC+DA=6，设,则因为⊙O的直径为10，所以，所以.在中，由勾股定理知即化简得，解得或x=9.………………9分由，知，故.………10分从而AD=2，…11分因为，由垂径定理知F为AB的中点，所以…………12分16.如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM, 连接OM、BC.求证：（1）△ABC∽△POM;(2)2OA2=OP·BC.（第22（第22题图）【答案】证明：（1）∵直线PM切⊙O于点M，∴∠PMO=90°………………1分∵弦AB是直径，∴∠ACB=90°………………2分∴∠ACB=∠PMO………………3分∵AC∥PM,∴∠CAB=∠P………………4分∴△ABC∽△POM………………5分(2)∵△ABC∽△POM,∴………………6分又AB=2OA,OA=OM,∴………………7分∴2OA2=OP·BC………………8分17.如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，(1)求证：△ABE∽△ADB；(2)求AB的长；(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．解：(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D，又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB，(2)∵△ABE∽△ADB，∴，∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12∴AB=．(3)直线FA与⊙O相切，理由如下：连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴，BF=BO=，∵AB=，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，∴直线FA与⊙O相切．18.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC2＝AB·AD．【答案】证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°．…①∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90°.②由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（2）如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ACD与△RtACD中，∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=AB·AD．19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA＝3，AE＝2，(1)求CD的长；(2)求BF的长．【答案】解：(1)连结OC，在Rt△OCE中，．∵CD⊥AB，∴(2)∵BF是⊙O的切线，∴FB⊥AB，∴CE∥FB，∴△ACE∽△AFB，∴，，∴20.如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．（1）求证：CA是圆的切线；（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．（第22（第22题）【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,∴BC=．即圆的直径为10.21.如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C．（1）求证：OD⊥AC；（2）若AE=8，，求OD的长．【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°，又∵∠AOD=∠C，∴∠AOD+∠A=90°，∴∠ADO=90°，∴OD⊥AC.（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，∴D为AE中点，∴，又，∴OD=3.22.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF，（1）求证：OD∥BE；（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．第20题第20题【答案】（1）证明：连接OE，∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径，∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，∵∠ABE=∠AOE，∴∠AOD=∠ABE，∴OD∥BE（2）OF=CD，理由：连接OC，∵BC、CE是⊙O的切线，∴∠OCB=∠OCE∵AM∥BN，∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°由（1）得∠ADO=∠EDO，∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°在Rt△DOC中，∵F是DC的中点，∴OF=CD．第20题第20题23.如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接OD、AE，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P，（1）求∠AOD的度数；（2）求证：PD是半圆O的切线；【答案】（1）∵点C是OA的中点，∴OC＝OA＝OD，∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，cos∠COD＝，∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°，（2）证明：连接OC，点E是BD弧的中点，DE弧＝BE弧，∴∠BOE＝∠DOE＝∠DOB＝(180°－∠COD)＝60°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋∠AEO＝∠EOB＝60°，∴∠EAO＝30°，∵PD∥AE，∴∠P＝∠EAO＝30°，由（1）知∠AOD＝60°，∴∠PDO＝180°－(∠P＋∠POD)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴PD是圆O的切线24.如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.（1）求证：△ABC∽ΔOFB；（2）当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点.【解】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC.又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB.∵BN是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°.∴△ACB∽△OBF.（2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，∴△ABD∽△BFO，当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO.∴AD=BO=AB=1.∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线.连接OP，∵DP是半圆O的切线，∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，∴四边形ADPO为正方形.∴DP//AB，∴四边形DABQ为矩形.∴BQ=AD=1. （3）由（2）知，△ABD∽△BFO，∴，∴.∵DPQ是半圆O的切线，∴AD=DP，QB=QP.过点Q作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，，∴，∴，∴BF=2BQ，∴Q为BF的中点.25.如图8所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AQ·PQ=OQ·BQ；（3）设∠AOQ=．若cos=．OQ=15．求AB的长_Q_Q_P_O_B_A图8【答案】（1）证明：如图，连结OP∵PA=PB，AO=BO，PO=PO∴△APO≌△BPO∴∠PBO=∠PAO=90°∴PB是⊙O的切线（2）证明：∵∠OAQ=∠PBQ=90°∴△QPB∽QOA∴即AQ·PQ=OQ·BQ（3）解：cos==∴AO=12∵△QPB∽QOA∠BPQ=∠AOQ=∴tan∠BPQ==∴PB=36PO=12∵AB·PO=OB·BP∴AB=_Q_Q_P_O_B_A图826.如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°.(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD=5，求AB的长.【答案】(1)答：直线BD与⊙O相切.理由如下：如图，连接OD，∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O相切.(2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，又∵OC=OD，∴△DOB是等边三角形，∴OA=OD=CD=5.又∵∠B=30°，∠ODB=30°，∴OB=2OD=10.∴AB=OA+OB=5+10=15.27.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切.(1)求证：OB丄OC;(2)若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积.【答案】（1）证明：连接OF,在梯形ABCD，在直角△AOB和直角△AOBF中∵EQ\B\lc\{(\a\al(AO=FO,OB=OB,))∴△AOB≌△AOB（HL）同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°，即OB⊥OC(2)过点做O1G,O1H垂直DC,DA,∵∠DOB=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°，设O1G=x,又∵AD=12,∴OD=6，DC=6EQ\r(,3),OC=12,CG=EQ\r(,3)x,O1C=6-x,根据勾股定理可知O1G²+GC²=O1C²x²+3x²=（6-x）²∴(x-2)(x+6)=0,x=228.如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的长【答案】⑴证明：连接OD∵OA=OD∴∠ADO=∠OAD∵AB为⊙O的直径，∴∠ADO+∠BDO=90°∴在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90°∵∠CDA=∠CBD∴∠CDA+∠ADO=90°∴OD⊥CE即CE为⊙O的切线29.如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点。求证：是半圆的切线；若，，求的长。BDBDAOAHACAEAMAFAA27题图【答案】⑴证明：连接，∵是直径∴有∵于∴∵∴∵是的角平分线∴又∵为的中点∴∵于∵即又∵是直径∴是半圆的切线···4分（2）∵，。由（1）知，，∴。在中，于，平分，∴，∴。由∽，得。∴，∴。30.如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动。(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；(2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形。yOyOxAB【答案】解：(1)当点P在线段OA上时，P(3t，0)，…………(1分)⊙P与x轴的两交点坐标分别为(3t−1，0)、(3t+1，0)，直线l为x=4−t，若直线l与⊙P相交，则eq\b\lc\{(\a\al(3t−1<4−t，,4−t<3t+1．))……………(3分)解得：eq\f(3,4)<t<eq\f(5,4)．……………………(5分)(2)点P与直线l运动t秒时，AP=3t−4，AC=t．若要四边形CPBD为菱形，则CP//OB，∴∠PCA=∠BOA，∴Rt△APC∽Rt△ABO，∴eq\f(AP,AB)=\f(AC,AO)，∴eq\f(3t−4,3)=\f(t,4)，解得t=eq\f(16,9)，……(6分)此时AP=eq\f(4,3)，AC=eq\f(16,9)，∴PC=eq\f(20,9)，而PB=7−3t=eq\f(5,3)≠PC，故四边形CPBD不可能时菱形．……………(7分)(上述方法不唯一，只要推出矛盾即可)现改变直线l的出发时间，设直线l比点P晚出发a秒，若四边形CPBD为菱形，则CP//OB，∴△APC∽△ABO，eq\f(AP,AB)=\f(PC,BO)=\f(AC,AO)，∴eq\f(3t−4,3)=\f(7−3t,5)=\f(t−a,4)，即：eq\b\lc\{(\a\al(\f(3t−4,3)=\f(7−3t,5)，,\f(3t−4,3)=\f(t−a,4)．))，解得eq\b\lc\{(\a\al(t=\f(41,24),a=\f(5,24)))∴只要直线l比点P晚出发eq\f(5,24)秒，则当点P运动eq\f(41,24)秒时，四边形CPBD就是菱形．………………(10分)31.如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若tan∠ABE=，求sinE的值．

【答案】(本题8分)（1）证明：连接OA∵PA为⊙O的切线，

∴∠PAO=90°

∵OA＝OB，OP⊥AB于C

∴BC＝CA，PB＝PA

∴△PBO≌△PAO

∴∠PBO＝∠PAO＝90°

∴PB为⊙O的切线（2）解法1：连接AD，∵BD是直径，∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°

∴AD∥OP

∴△ADE∽△POE

∴EA/EP＝AD/OP由AD∥OC得AD＝2OC∵tan∠ABE=1/2∴OC/BC=1/2，设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t

∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设EA＝2m,EP=5m,则PA=3m

∵PA=PB∴PB=3m

∴sinE=PB/EP=3/5（2）解法2：连接AD，则∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，∴PA＝PB＝2t过A作AF⊥PB于F，则AF·PB=AB·PC

∴AF=t进而由勾股定理得PF＝t

∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/532.如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D．(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．【解】(1)CD与⊙O的位置关系是相切，理由如下：作直径CE，连结AE．∵CE是直径，∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE=90°，∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E，∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°，∴OC⊥DC，∴CD与⊙O相切．（2）∵CD∥AB，OC⊥DC，∴OC⊥AB，又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°，∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠DOA=60°，∴在Rt△DCO中，=，∴DC=OC=OA=2．33.如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．⑴求证：BE是⊙O的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE的长．（第25题图（第25题图）【答案】证明：⑴∵AB是半圆O的直径∴∠ACB=90°∵OD∥AC∴∠ODB=∠ACB=90°∴∠BOD+∠ABC=90°又∵∠OEB=∠ABC∴∠BOD+∠OEB=90°∴∠OBE=90°∵AB是半圆O的直径∴BE是⊙O的切线⑵在中，AB=2OA=20，BC=16，∴∴∴∴．34.如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．【答案】（1）连接OD.设⊙O的半径为r.∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC.∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC.∴eq\f(OD,AC)=eq\f(OB,AB)，即e