高二数学下册课时限时检测12

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(2011·山东潍坊)如图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是()A．2π B．3πC．6π D．9π解析：由三视图可知，该几何体是一个由底面半径为2高为3的圆柱中间挖去一个底面半径为1的等高圆柱后余下的部分，所以，其体积为π×(22－12)×3＝9π.答案：D2．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧(左)视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(15),6) D.eq\f(\r(62),24)解析：由题中的三视图可知，该几何体是一个四棱锥，所以其体积为V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(1,3).答案：A3．(2011·深圳模拟)如图，一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为eq\r(3)的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于()A．15π B．18πC．21π D．24π解析：由题意可知，该组合体的下面为圆柱体，上面为圆锥体，由相应几何体的面积计算公式得，该组合体的表面积为：S＝πr2＋2πrh＋πrl＝π(eq\r(3))2＋2π×(eq\r(3))×2eq\r(3)＋π×(eq\r(3))×2eq\r(3)＝21π.答案：C4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A．4 B．6C．8 D．12解析：由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S—ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形．∠DAB＝90°，∴V＝eq\f(1,3)SA×eq\f(1,2)(AB＋CD)×AD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)(2＋4)×2＝4.答案：A5．(2010·辽宁锦州期末)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A．27 B．30C．33 D．36解析：由三视图知该几何体为组合体，由一个正四棱锥与一个正方体叠加构成，其中正方体的棱长为3，正四棱锥高为1，底面正方形边长为3，∴V＝V柱＋V锥＝33＋eq\f(1,3)×9×1＝30.答案：B6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(6,5)πcm3 B．3πcm3C.eq\f(2,3)πcm3 D.eq\f(7,3)πcm3解析：由三视图可知，此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球，所以其体积为V＝πr2h－eq\f(2,3)πr3＝3π－eq\f(2,3)π＝eq\f(7,3)π(cm3)．答案：D二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图，则四棱锥P－ABCD的表面积为________．解析：由三视图可得，三角形ABP的面积等于三角形ADP的面积且为eq\f(1,2)a2，三角形BPC的面积等于三角形CDP的面积且为eq\f(\r(2),2)a2，正方形ABCD的面积为a2，所以可得四棱锥P－ABCD的表面积为(2＋eq\r(2))a2.答案：(2＋eq\r(2))a28．(2010·湖北高考)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为rcm，则底面圆的半径为rcm，从而有8πr2＋3×eq\f(4,3)πr3＝6r·πr2，由此解得r＝4.答案：49．(2010·南京模拟)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为eq\r(52＋122)＝13cm.答案：13三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正(主)视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧(左)视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥．(1)V＝eq\f(1,3)×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝eq\r(42＋\f(8,2)2)＝4eq\r(2)，另两个侧面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝eq\r(42＋\f(6,2)2)＝5，因此S＝2(eq\f(1,2)×6×4eq\r(2)＋eq\f(1,2)×8×5)＝40＋24eq\r(2).11．正三棱锥的高为1，底面边长为2eq\r(6)，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．解：过PA与球心O作截面PAE与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE，因△ABC是正三角形，易知AE即是△ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线，作为正三棱锥的高PD通过球心，且D是三角形△ABC的重心，据此根据底面边长为2eq\r(6)，即可算出DE＝eq\f(1,3)AE＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×2eq\r(6)＝eq\r(2)，PE＝eq\r(1＋\r(2)2)＝eq\r(3)，由△POF∽△PED，知eq\f(r,DE)＝eq\f(1－r,PE)，∴eq\f(r,\r(2))＝eq\f(1－r,\r(3))，r＝eq\r(6)－2.∴S表＝S侧＋S底＝3×eq\f(1,2)×2eq\r(6)×eq\r(3)＋eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(6))2＝9eq\r(2)＋6eq\r(3).12．(2010·广州模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．(1)求证：MN∥平面A1CD；(2)过N，C，D三点的平面把长方体ABCD－A1B1C1D1解：(1)证明：设点P为AD的中点，连结MP、NP，∵点M是BC的中点，∴MP∥CD.∵CD⊂平面A1CD，MP⊄平面A1CD，∴MP∥平面A1CD.∵点N是AA1的中点，∴NP∥A1D.∵A1D⊂平面A1CD，NP⊄平面A1CD，∴NP∥平面A1CD.∵MP∩NP＝P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，∴平面MNP∥平面A1CD.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面A1CD.(2)取BB1的中点Q，连结NQ、CQ、ND，∵点N是AA1的中点，∴NQ∥AB.∵AB∥CD，∴NQ∥CD，∴过N、C、D三点的平面NQCD把长方体ABCD－A1B1C1D1截成两部分几何体，其中一部分几何体为直棱柱QBC－NAD，另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1－A1NDD1∴S△QBC＝eq\f(1,2)·QB·BC＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，∴直三棱柱QBC－NAD的体积V1＝S△QBC·AB＝eq\f(1,2).∵长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝1×1×∴直四棱柱B1QCC1－A1NDD1