2020-2021学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷 （解析版）

2020.2021学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题）・

1.若命题p：3xo<l,xo2<l,则为（）

A.Vx<l,N21B.Vx<1,x2<1

C.3xo<1,xo2^lD.Lxo2<l

2.某校共有1500名学生，现用系统抽样的方法从中等距抽取50名学生参加志愿者活动，

将这1500名学生依次编号为1,2,3,1500,已知第一位被抽到的学生编号为4,

则下列编号被抽到的是（）

A.324B.184C.104D.24

3.下列求导运算正确的是（）

A.（sinx+cosx）'=cosx+sinx

B.（xlnx）'』

x

C.（/%）'=e2x

/x、,1-x

D.（—）^

ee

4.已知W=（入+1,0,1）,E=（3，-1,2）,其中入，（ieR,若W〃1,贝!J人+四=（）

A.0B.1C.2D.3

5.设尤CR,贝u“尤>0“是"x+422”的（）

x

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知A,2是平面内两个定点，平面内满足|尸川・|依|=。Q为大于0的常数）的点尸的

轨迹称为卡西尼卵形线，它是以发现土星卫星的天文学家乔凡尼•卡西尼的名字命名.当

A,B坐标分别为（-1,0）,（1,0）,且a=l时，卡西尼卵形线大致为（）

7.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方

盒.若该方盒的体积为2,则。的最小值为（）

A.1B.2C.3D.3^

22

8.已知椭圆E：2T+看1（@>1>>0）的左、右焦点分别为F2,M为E上一点.若

NMF[F2=看，恒2尸；+可.恒―；则E的离心率为（）

A.丹工B.隼1C.V2-1D.V3-1

二、多项选择题（共4小题）.

9.已知曲线E的方程为:加+"俨=1（切〃W0）,则£可能是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

10.如图为我国2020年2月至10月的同城快递量与异地快递量的月统计图：根据统计图,

下列结论正确的是（）

我国订快递除统il图

句域快速，，单位I万件）1"•异地快迹・（单位：万件）

A.异地快递量逐月递增

B.同城快递量，9月份多于10月份

C.同城和异地的月快递量达到峰值的月份相同

D.同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同

11.如图，在正方体ABC。-AIBICLDI中，M,N,P,。分别是所在棱的中点，则下列结

论正确的是（)

A.点Ci,到平面PMN的距离相等

B.PN与QM为异面直线

C.ZPNM=9Q°

D.平面截该正方体的截面为正六边形

12.已知函数/(x)=ew，sinx+l,贝ij()

A.f(x)的周期为2TT

B./(x)的图象关于点(0,1)对称

C./(%)在［0,等］上为增函数

D./(%)在区间［-5n,5河上所有的极值之和为10

三、填空题(共4小题).

22

13.双曲线的渐近线方程是.

14.在区间［-3,1］上随机取一个数无，若事件A：xW机的概率为孑，则根的值为.

15.某次数学竞赛有100位同学参加，如图为这100位同学此次竞赛成绩的频率分布直方图，

则a=，这100位同学此次竞赛成绩的中位数约为.(中位数精确到OOL)

16.如图所示，在平行四边形ABCD中，E为中点，DE±AB,0c=8,DE=6.沿着

OE将△AOE折起，使A到达点A'的位置，且平面A'DEmBCDE.设P为AA'

DE内的动点，若NEPB=NDPC,则P的轨迹的长度为.

四、解答题(共6小题).

17.已知函数/G)=-1X3-2X2+3.

(1)求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)求/(x)在［-2,1］上的最大值和最小值.

18.已知抛物线E：W=2px的焦点为尸，P(1,1)为E上一点.

(1)求E的方程及尸的坐标；

(2)设斜率为1的直线/与E交于A,B两点，若瓦•而=-2,求/的方程.

19.在①@ZPCA=ZPCB,③平面PCD_L平面ABC这三个条件中任选一个，

补充在下面问题的横线上，并解答.

问题：已知在三棱锥P-ABC中，。为A8的中点，,AC=BC=2.

(1)证明：PCLAB-,

(2)若PC=2,ZPCB=ZACB=9Q°,E为线段PB上一点，且E8=3PE,求二面角

D-CE-B的余弦值.

20.已知椭圆E：^-+^_=1(a>^>0)的离心率为虫L,4(0,1)为E的上顶点.

a2b23

(1)求E的方程;

(2)以A为直角顶点的Rt^ABC的另两个顶点均在E上运动，求证：直线BC过定点.

21.为了研究某班男生身高和体重的关系，从该班男生中随机选取6名，得到他们的身高和

体重的数据如表所示:

编号123456

身高x(cm)165171167173179171

体重y(kg)62m64747466

在收集数据时，2号男生的体重数值因字迹模糊看不清，故利用其余5位男生的数据得到

身高与体重的线性回归方程为后来得到2号男生的体重精准数值m后再次

计算得到线性回归方程为y=3x+£.

⑴求回归方程y/x+肃

（2）若分别按照了=^^+=和y=Ex+£来预测身高为根的男生的体重，得到的

估计值分别为Wl,W2,且W2-W1=2,求机的值；

（3）指数是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其中

指数在24到27.9之间的定义为超重.通过计算可知这6人的8M指数分别为：22.8,

27.4,22.9,24.7,23.1,22.6,现从这6人中任选2人，求恰有1人体重为超重的概率.

n__

-£（Xj-x）（y「y）

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=------------------

H_

£（x「x）之

i=l

a=y-bx*

22.已知函数/（x）=lnx+-=—.

x

（1）讨论函数/（X）的单调性；

（2）证明：当心寺时，f（x）”吟

参考数据：e=2.7183.

参考答案

一、单项选择题（共8小题）.

1.若命题p：3xo<Lxo2<L则—7?为（）

A.Vx<LN21B.Vx<l,x2<l

C.3xo<1,xo2^lD.xo2<1

解：命题p：mxoVl,xo2<1,

根据含有量词的命题的否定，则有「p为VxVl,

故选：A.

2.某校共有1500名学生，现用系统抽样的方法从中等距抽取50名学生参加志愿者活动,

将这1500名学生依次编号为1,2,3,1500,已知第一位被抽到的学生编号为4,

则下列编号被抽到的是（）

A.324B.184C.104D.24

解：1500名学生系统抽样抽取50名，则每隔30名抽取1名，

若4被抽取，则被抽取的是4,34,…，30Z+4,（%为自然数），

符合条件的只有答案8：184=6X30+4,

故选：B.

3.下列求导运算正确的是（）

A.(sinx+cosx)'=cosx+sinx

B.(xlnx)7」

x

C.(/%)'=e2x

解：A.(sinx+cosx)'=cosx-sinx.

B.(x/nx)1=1+lruc.

C.(e2x),=2&x.

故选：D.

4.已知@=(A+1,0,1),b=(3，2|i-1,2),其中入，u&R,若Z〃E，则人+四=(

A.0B.1C.2D.3

解：.・二〃〉

工设E=kA

・・・(3,2|i-1,2)=gk,0,k),

k入+k=3

:・<2N-1=0，解得X=-^-,N=^->

k=2

・••入+|i=l.

故选：B.

设贝"是」的(

5.xeR,U“x>0“x+22")

x

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：•..设X6R,“xd>2”

X

x?x+l>0,

.•・金>0,

X

.*.x>0,

x4>2"-“x>0”

X

又当x>0时,二独立.

则“%〉0"是66x^>2“的充分必要条件;

x

故选：C.

6.已知A,8是平面内两个定点，平面内满足|尸川・|尸8|=。Q为大于0的常数)的点尸的

轨迹称为卡西尼卵形线，它是以发现土星卫星的天文学家乔凡尼•卡西尼的名字命名.当

A,B坐标分别为(-1,0),(1,0),且。=1时，卡西尼卵形线大致为()

CD

解：由题意设动点坐标为(x,y),

贝IV(x+1)2+y2•7(x-l)2+y2=1-

即［(x+l)2+俨卜［(x-1)2+y2］=1,

把原点。(0,0)代入，可得上式成立，故曲线过原点，排除C、。；

把方程中的x被-尤代换，y被-y代换，方程不变，

故曲线C关于坐标原点对称，排除&

故选：A.

7.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方

盒.若该方盒的体积为2,则。的最小值为()

A.1B.2C.3D.3炯

解：设截去的四个小正方形的边长为x,则无盖方盒底面是边长为a-2x的正方形，高为

所以方盒的体积为V(x)=(a-2x)x=4x3-4ax2+a"x,x€(0,得)，

则V'(x)=12x2-8ax+a2=(2x-a)(6x-a),x€(0,y),

令V(x)=0,解得x=_^_，x=^"，

当0<x<色时，Vz(x)>0,所以丫(x)单调递增，

6

当,<x<=时，V(X)<0,所以V(尤)单调递减，

62

93

故Wx1—V管)号，

若该方盒的体积为2,

n3

则有、、一丫管)号>2，

解得。23,

所以a的最小值为3.

故选：C.

22

8.已知椭圆E：彳+^=l（a〉b〉O）的左、右焦点分别为尸2,M为E上一点.若

/见尸1卜2=千，|F2F；+F/|=|F.；I，则E的离心率为（）

A.夸^B.咛1C.V2-1D.V^-l

解：如图所示，以BE,为邻边作平行四边形EP2MM对角线尸赤交于点E,

则F2W+呼=踮,所以|BN=0F2|=2C,

V

则在三角形中，Z

F2F1M=ZF2F1E=-^->

2

由余弦定理可得：甲2E|2=|F[E，+恒产2I-2\FiE\\FlF2\cosZF2FiE,

即c2=[F[E|2+4c2-2X|F[E|X2cx亨，整理可得：

IJE|2-2gc|F[E|+3c2=0,

解得尸1E|=^C,所以|MFI|=2愿C，且由勾股定理可得BE,凡E,

又E为ME的中点;，则二角形打他M为等腰三角形，所以|MF2|=|PLF2|=2C,

由椭圆的定义可得：|MFi|+|MF2l=2V3c+2c=2a,

解得二1,

a2

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.已知曲线E的方程为znN+〃y2=i（m〃wo）,则E可能是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

解：当机=〃>0时，曲线E的方程为加/+卬；2=1表示圆;

m>Q,〃>0,〃zWw时，曲线E的方程为m：2+wy2=i表示椭圆，

机”<0时，曲线E的方程为mG+盯2=1表示双曲线，

故选：ABC.

10.如图为我国2020年2月至10月的同城快递量与异地快递量的月统计图：根据统计图,

下列结论正确的是（）

我国月快递量统计图

■■同城快建，，单位।万件）1"•异地快还■（单位：万件）

A.异地快递量逐月递增

B.同城快递量，9月份多于10月份

C.同城和异地的月快递量达到峰值的月份相同

D.同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同

解：由我国2020年2月至10月的同城快递量与异地快递量的月统计图，知：

对于A,异地快递量2月到6月逐月递增，6月到7月递减，7月到10月逐月递增，故A

错误;

对于8,9月同城快递量113215.1万件，10月同城快递量97454.2万件，9月份多于10

月份，故B正确；

对于C,同城的月快递量达到峰值的月份是6月，异地的月快递量达到峰值的月份是10

月，故C错误；

对于同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同，都是3月，故。正确.

故选：BD.

11.如图，在正方体A8CD-AIBCLDI中，M,N,P,。分别是所在棱的中点，则下列结

论正确的是（）

A.点Ci,5到平面PMN的距离相等

B.PN与QM为异面直线

C.ZPNM=9Q°

D.平面PMN截该正方体的截面为正六边形

解：如图，取中点E,CG中点E则有六边形MQNPEF为正六边形，

对于A,根据正方体的对称性，可得点Ci,Di到平面MQNPEF的距离相等，正确;

对于8,PN与QM为共面直线，故B错；

对于C,在正六边形A/QNPEB中，设PN=1,则PM=2,MN=M，：，MN1+PN2=PM1,

则MN_LPN,故C正确；

对于。，平面PMN截该正方体的截面为正六边形，故。正确.

故选：ACD.

12.已知函数/(%)=0刘•siiLt+1,则()

A.f(x)的周期为2TT

B./(x)的图象关于点(0,1)对称

C./(%)在［0,等］上为增函数

D.于(x)在区间［-5m5n］上所有的极值之和为10

解：对于A,函数/(x)=e国•sinx+1,f(X+2TC)(x+2ir)+l=^+27rlesinx+l

丰于(x),

故2Tt不是/(x)的周期，故A错误；

对于8,g(x)=eM,sinx,g(-x)=e「*、sin(-x)=-ew,sin,r=-g(x),

所以g(无)为奇函数，图象关于原点(0,0)对称，所以/(x)=g(x)+1的图象关于

点(0,1)对称，故B正确；

兀

对于C,当x20时，f(x)=Qsinx+l,f'(x)=^・sinx+^・cosx=，，/^sin(x+-^-),

当xc［0,3兀］时,x+兀C［2-,JI］,sin(x+H~)20,故/(x)20"(x)在［0,3兀］

44444

上为增函数，故C正确；

对于。，当比［0,5用时，令/(x)=0,解得x=--~+E,k=l,2,3,4,5,

xxX9x

当％E［-5ir,0)时，f(x)=e'*siwc+lff(x)=-e'*siwc+e~cosx=y［2^sin(x-

T-

令/(x)=0,解得x=:+加，k=-1,-2,-3,-4,-5,

因为/(x)+f(-x)=e园•sinx+1-eWesinx+l=2,

故所求极值之和为f(XI)+f(X2)+f(X3)+f(X4)+f(X5)4/(-XI)4/(-%2)+/(-

X3)4/(-X4)tf(-X5)=2X5=10,故。正确.

故选：BCD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上。

22-

13.双曲线、■一孑二1的渐近线方程是心±2尸0.

2222—

解：由£-4_=0,可得双曲线手-(-=1的渐近线方程为'余士2y=0.

故答案为：J余±2y=0.

14.在区间［-3,1］上随机取一个数无，若事件A：xW机的概率为则"z的值为0.

4

解：•..区间［-3,1］的区间长度为1-(-3)=4,

•••随机地取一个数x,若无满足xWm的概率为㈢，

4

则满足条件的区间长度为4X4=3.

4

因此无所在的区间为［-3,0］,

故m=0.

故答案为：0.

15.某次数学竞赛有100位同学参加，如图为这100位同学此次竞赛成绩的频率分布直方图,

则。=0.015,这100位同学此次竞骞成绩的中位数约为73.33.(中位数精确到

(0.010+a+a+0.030+0.025+0.005)X10=1,

解得a=0.015.

V[40,70)的频率为：(0.010+0.015+0.015)X10=0.4,

[70,80)的频率为：0.030X10=0.3,

；.这100位同学此次竞赛成绩的中位数约为：70+写技生X10处73.33.

16.如图所示，在平行四边形ABC。中，E为AB中点，DELAB,DC=8,DE=6.沿着

OE将△ADE折起，使A至U达点A'的位置，且平面A'DE_L平面BCOE.设尸为△?1'

DE内的动点，若/EPB=NDPC,则P的轨迹的长度为_仁工_.

解：因为NEPB=NDPC,

所以tanZEPB—tanZDPC,

因为平面A'OE_L平面BCDE,

又平面A'BCDE=DE,DELAB,ABu平面BCOE,

所以AB_L平面A'DE,

又DP,PEu平面A'DE,

故BE_LPE,BELDP,

又ABC。为平行四边形,

所以A8〃CD,

所以C£>_LZ)P,

BE

在RtZiEPB中，tanNEPB=

PE,

.CD

在RtZYDPC中，tanZDPC=

PD

又E为AB中点，且A8=CD,

所以PD=2PE,

以E为坐标原点，E£>为x轴，EA为y轴建立平面直角坐标系,

则。(6,0),E(0,0),设尸(尤，y),

则有正_6)2+y2=Mf2+y2,

整理可得(X+2)2+y2=16,

故点尸的轨迹是以M(-2,0)为圆心，半径，=4的圆，

设点尸在平面A'OE内的圆弧对应的圆心角为a,

根据弧长公式1=<1「=今'，

所以尸的轨迹的长度为空.

故答案为:

3

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知函数八无)=-1X3-2X2+3.

O

(1)求曲线y=/(%)在x=l处的切线方程;

(2)求/(x)在［-2,1］上的最大值和最小值.

解：⑴f(x)--|~X3-2X2+3，f(1)=£,

oo

f'(无)=2尤2-4X,则/(1)=-2,

故y=/(x)的切线方程为：j-1-=-2(x-1),

o

即尸-2x+呈；

(2)f(x)=2x(x-2),

令/(x)>0,解得：％V0或%>2,

令/(x)<0,解得：0<xV2,

故/(%)在［-2,0)递增，在(0,1］递减,

故/(九)在［-2,1］上的最大值是/(0)=3,

而“-2)=-争/(I)=今，故4-2)</(1),

故/(x)的最小值是/(-2)=-,

O

Q1

故人x)2=f(0)=3,…)-=/(-2)=­,

18.已知抛物线E：炉=2"的焦点为足p(1,1)为E上一点.

(1)求E的方程及产的坐标；

(2)设斜率为1的直线/与E交于A,B两点,若瓦•闻=-2,求/的方程.

解：(1)因为抛物线及产=2川过点p(1,1),

所以l=2p,

故E的方程为：俨=羽焦点厂的坐标为(1，0)；

4

(2)设斜率为1的直线/的方程为：y=x+m,A(xi,yi),B(xi,”)，

，2=

联立，VX可得y2-y+m=0,

ky=x+m

△=1-4m>0,

•'•yi+y2—Lyi*y2—m,

包=(xi-1,yi-1)，pg=(X2-L>2-1)

•而=~2,(xi-1)(X2-1)+(yi-1)("-1)=-2,

整理可得：xi%2-(X1+X2)+yiy2-(%+以)+4=0,

(yi-m)(j2-m)-(yi-m+^2-m)+yij2-(yi+y2)+4=0,

；・2”y2-(m+2)(yi+y2)+源+2m+4=0,

m2+3m+2=0,

解得m=-1或m=-2,满足△>()

的方程为：y=xT或尸％-2.

19.在①PD_LA3,@ZPCA=ZPCBf③平面PCD_L平面ABC这三个条件中任选一个，

补充在下面问题的横线上，并解答.

问题：已知在三棱锥尸-ABC中，。为A3的中点，,AC=BC=2.

(1)证明：PC.LAB；

(2)若PC=2,ZPCB=ZACB=90°,E为线段尸3上一点，且防=3尸£求二面角

Q-CE-3的余弦值.

B

D

解：补充的三个条件相互等价，证明如下：①=PA=P8,AC=BC,PC=PC=APA8

△PBC=②;

②，AC=BC,PC=PC=APAC咨APBCnPA：PBnPDtAB,CDJLABn③;

③，AC^BC,。为AB中点=>C£)_LAB,平面PCD_L平面ABC今尸£>_LAB=①；

不妨补充①.

(1)证明：AC^BA,。为A2的中点0C£)_LAB,PCD,PCu平面

PCD^PCLAB.

(2)PD±AB,D为AB中点今PA=PB,AC^BC,PC=PC=APAC沿LPBC"/PCA

=ZPCB=90°,

又/ACB=90°,所以CA、CB、CP互相垂直；可以建空间直角坐标系如图，又因为C4

=CB=CP=2,EB=3PE,

则C(0,0,0),。(1,1,0),A(2,0,0),£(0,右争，才=(1,1,0),

—*(13、

CE=(n。，V2)'

设平面CED与平面CEB成角大小为0,平面CEB单位法向量为4=(1,0,0),平

面CED法向量为:=(无，y,z),

n,CD，=0,n*CE=0,于是有0x+5+*=。，lx+ly+0z=0,解得后=入(3,-3,1),

单位法向量F：(3,3,1),

由图可知，二面角。-CE-B为锐二面角，则其余弦值为cos。=|五，；［=|(1,0,0)

•(-t(3,-3,1))

V19V1919

二面角D-CE-B的余弦值为心叵.

19

C2

22

20.已知椭圆E：芸吃=1(a>b>0)的离心率为A(0,1)为E的上顶点.

2,2Q

ab0

(1)求E的方程；

(2)以A为直角顶点的RtaABC的另两个顶点均在E上运动，求证：直线2C过定点.

解：(1)设椭圆的半焦距为c,依题意可得6=1,

离心率

a3

又因为a2=b2+c2,所以〃=F，

2°

所以E的方程为：三-+y2=i.

3

(2)证明：因为直线8C不垂直于x轴，可设直线BC方程为>=区+如

y=kx+m

22

由49得，(1+3F)x+6^mx+3m-3=0

M+3y=3

设3(为，”)，C(X2,”)，则△=36N/-4(1+3N)(3m2-3)>0,即次2+1-小

>0.

_~6km31n2-3

x

1+xQ-2，Xi1X29-------------2

l+3ki+3k

yt-1y2-l

•：AB±AC,：.kAB^AC=———=-l，

X1x2

•'•yiyi-(yi+")+1=一»垃，

(to+m)(te+m)-(^xi+m+te+m)+1=-制孙

(1+F)xixi+k(m-1)(X1+X2)+(m-1)2=0,

即(l+k2)，*m_(m-1).-+(m-1)2=0,

l+3k2l+3k2

整理可得(m-1)(2m+l)=0,

解得加=1(舍去)或加=-/,

且m=-1满足△>(),

2

所以直线8C方程为尸质-卷，过定点(0,-y).

21.为了研究某班男生身高和体重的关系，从该班男生中随机选取6名，得到他们的身高和

体重的数据如表所示:

编号123456

身高x(cm)165171167173179171

体重y(kg)62m64747466

在收集数据时，2号男生的体重数值因字迹模糊看不清，故利用其余5位男生的数据得到

身高与体重的线性回归方程为y=qX+Z；后来得到2号男生的体重精准数值机后再次

计算得到线性回归方程为y%X+1・

⑴求回归方程yEx+C；

（2）若分别按照y^x+C和y=3x+£来预测身高为180c机的男生的体重，得到的

估计值分别为Wl，W2,且W2-W1=2,求相的值;

（3）指数是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其中

指数在24到27.9之间的定义为超重.通过计算可知这6人的出〃指数分别为：22.8,

27.4,22.9,24.7,23.1,22.6,现从这6人中任选2人，求恰有1人体重为超重的概率.

n__

*£区-x）（y「y）

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b上，--------------

£（Xj-x）2

i=l

a=y-bx'

165+171+167+173+179+171

解：（1）由已知数据可得：X=171，

5

—62+64+74+74+66

=68-

5

6_

£(xi-x)口-了)

i=l111214

所以b[=

62-120-15,

£(xrx)

i=l

〜141374

=68-171X—

ai11b15

所以141374.

ykF,

(2)由题意3180-1管=76.4，32=2+31=78.4,

11515

一62tm+64+74+74+66340+m,所