高中数学必修5知识点总结及经典例题

必修5知识点总结

1、正弦定理：在AABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为AABC的外接圆的半径，则

abc”

有二一=--=--=2R.

sinAsinBsinC

2、正弦定理的变形公式：①a=2RsinA,/?=27?sinB,c=27?sinC；

cihc

@sinA=——，sinB=——,sinC=——；③a:/?:c=sinA:sinB:sinC；

2R2R2R

ca+b+cabc

④-------------------=-----=-----=-----.

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边,

求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）

如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想

画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点:

当无交点则B无解、

当有一个交点则B有一解、

当有两个交点则B有两个解。

法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：

当a<bsinA,则B无解

当bsinAVaWb,则B有两解

当a=bsinA或a〉b时，B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式:=—Z?csinA=—aZ?sinC=—acsinB.

"AABC222

4、余弦定理：在AABC中，cr-b1+c2-2/?ccosA,b1-cr+c2-2accosB.

c2=a2+b2-2abcosC.

2222

'nermai'人b+C~-CT「CT+C-b~-O.+b--C

5、余弦定理的推论：cosA=--------------,cosB=--------------,cosC=---------------

2bclaclab

（余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角）

6、如何判断三角形的形状：设4、》、c是AABC的角A、B、C的对边,贝ij：①若a2+h2=c2,则C=90°；

②若则。<90°；③若〃+。2<。2,则C>90°.

A

正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,

但不能到达，在岸边选取相距G千米的C、D两点，

并测得NACB=75°,ZBCD=45°,ZADC=30l>,

ZADB=45"（A.B、C、D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离。

本题解答过程略

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点.

7、数列：按照一定顺序排列着的一列数.

8、数列的项：数列中的每一个数.

9、有穷数列：项数有限的数列.

10、无穷数列：项数无限的数列.

H、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：a,i>a"）.

12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即:a.r〈a”）.

13、常数列：各项相等的数列（即:a„H=a„）.

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

15、数列的通项公式：表示数列｛%｝的第〃项与序号”之间的关系的公式.

16、数列的递推公式：表示任一项凡与它的前一项a,-（或前几项）间的关系的公式.

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这

个常数称为等差数列的公差.符号表示：注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①an-an_\-d｛n>2,d为常数）②2a,,=an+i+an_]（n>2）③%=Az+（”,左为常数

18、由三个数a,A,8组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A称为。与。的等差中项.若

Z74-r

=—,则称人为。与C的等差中项.

2

19、若等差数列｛?7｝的首项是4,公差是d,则a“=q+（〃-l）d.

20、通项公式的变形：®a=a+（n-rn）d,②4=%-（〃-1）乙③d一；

nm：

④哼铝+1;⑤八一

dn-m

21、若｛%｝是等差数列，且zn+〃=p+g（m>n、p、qeN'"）,则％+%=册+%；若｛%｝是等

差数列，且2〃=p+q（〃、p、qeN*）,则2%=%+〃].

22、等差数列的前“项和的公式：①5,=--一,②S“=叫+'".③

乙乙

s“=q+出+…+

23、等差数列的前〃项和的性质：①若项数为2〃（〃eN*）,则S2”="（%+%+l），且S偶一S奇=以，

s奇_4

S偶an+\

s

②若项数为2〃-l（〃eN）,则S2〃_]=（2"-l）a"，且S奇-S偶=。“，—=—^―（其中5奇=〃。“，

s偶〃-1

S偶=（〃-1）4）,

24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这

个常数称为等比数列的公比.符号表示：4丛=4（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上

a”

的值同号）

注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①a„=a,,_iq（n>2,q为常数,且X0）②其=an+l-a,,_｝（n>2,anan+\an_\*0）

③a”=cq"（c,q为非零常数）.

④正数列｛〃“｝成等比的充要条件是数列｛log*a“｝（xxl）成等比数列.

25、在a与8中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，则G称为。与Z?的等比中项.若G2=ab,

则称G为a与b的等比中项.（注：由G?="不能得出a,G,。成等比，由a,G,bnGrab）

26、若等比数列｛。“｝的首项是外,公比是小则

27、通项公式的变形:①。②4=44一。1）；③qi=刍~®qn-m=2.

a\a,n

28、若｛%｝是等比数列，且/n+〃=〃+q（m>〃、p、qeN"）,则a“ja“=a屋％;若｛a“｝是等比

*2

数列，且2〃=〃+q（n>p、（yeN）,则

叫（q=1）

29、等比数列｛4｝的前〃项和的公式:①S"=<q（l一q"）%—aq.②r=4+%+…+为

、"q='（"1）

S]—H\（n—1）

30、对任意的数列｛”“｝的前”项和S“与通项a”的关系：册=彳/

'"'[sn-5„_|（n>2）

[注]:①册=。|+（〃-1卜=加/+（%-4）（d可为零也可不为零一为等差数列充要条件（即常数列也是等差数

列）一若"不为0,则是等差数列充分条件）.

22

②等差｛明,｝前〃项和5„=An+Bn=Mn+^,-^n一:可以为零也可不为零一为等差的充要条件一若

4为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非季常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

附：几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前"项和为S"，在"YO时，有最大值.如何确定使S“取最大值时的〃值，有两种方法：

一是求使为之0,。用Y0,成立的〃值；二是由利用二次函数的性质求"的值

数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：

数列通项公式对应函数

等差数列y=dx+8（d=0时为一次函数）

an=4-(«-l)d=+(«]-d)

等比数列x

n-1alny=a^（指数型函数）

%=的0=-q

q

数列前n项和公式对应函数

«(«-1),d2/d、2

等差数列sna=ax+bx

n=\+2*=2%+©-2〃y（awO时为二次函数）

等比数列_可。-，)__，炉+y=a^x+b（指数型函数）

——q十

1-q]-q1-(7

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为

我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例题：1、等差数列以J中，％=根，%%#阀）则。*也=

分析：因为是等差数列，所以怎是关于n的一次函数，

一次函数图像是一条直线，则（n,m）,（m,n）,（m+n,）三点共线,

n-m_a^n-n

所以利用每两点形成直线斜率相等，即初一附+得。匿+=。（图像如上），这里利用等差数

列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

例题：2、等差数列中，刈=25,前n项和为%,若$9=可7,n为何值时％最大？

da./d、

r*or一%+（以］一）%

分析：等差数列前n项和4可以看成关于n的二次函数以=22

（%，孙）是抛物线〃x）=5'+®一5）'上的离散点，根据题意，〃9）=/。7）,

9+17

rrX-----------

则因为欲求.最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为2,即当〃=13时,

区最大。

例题：3递增数列LJ,对任意正整数n,/=/+'%恒成立，求N

分析：『构造一次函数，由数列｛4）递增得到：外+1一%>°对于一切万C犷恒成立，g|j2«+l+^>0

恒成立，所以4>一（2%+1）对一切花6凶.恒成立，设/5）=-（2%+1）,则只需求出了5）的最大值即

可，显然/（%）有最大值/（1）=-3,所以4的取值范围是：4>-3。

2°构造二次函数，/=/+“％看成函数它的定义域是｛X|XN1,XC2）,因为是递

__4

增数列，即函数/（X）=x2+；lx为递增函数，单调增区间为［1，+8）,抛物线对称轴'―5,因为函数f（x）

为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴

的左侧

a3

--<—

也可以（如图），因为此时B点比A点图。于是，22,得4>一3.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前〃项和可依照等比数列前

〃项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：弓耳心一旨..

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,

公差是两个数列公差4,〃2的最小公倍数.

2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法：对于n22的任意自然数，验证

%一%1（*~）为同一常数。⑵通项公式法。（3）中项公式法：验证

2%+i=%+%.2（«,ti=wN都成立。

3.在等差数列｛%｝中，有关权的最值问题：（1）当《〉0,d<0时，满足〈a...>0八的项数m使得s,“取最

大值.（2）当为<0,d>0时，满足的项数m使得s,“取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思

想的应用。

附：数列求和的常用方法

1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于J二一:其中｛%｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘

.a,,%.

的数列等。

例题：已知数列｛a„｝的通项为a„=---,求这个数列的前n项和S..

解：观察后发现：a„=--——

n〃+1

sn=a]+a2-\-----Fan

=（i-!）+（W）+•••+（」—

223n〃+1

=1—

〃+1

3.错位相减法:适用于｛4/“｝其中｛%｝是等差数列，%,｝是各项不为0的等比数列。

例题：已知数列｛aj的通项公式为•2",求这个数列的前n项之和s,。

解：由题设得：

s“=%+々+4+…+4,

=l-21+2-22+3-23+---+n-2n

即

%=12+2・22+3"+…+〃.2”①

把①式两边同乘2后得

25„=l-22+2-23+3-24+---+n-2n+1②

用①-②，即：

=1-21+.2•22+3-23+•；/+1y-2"①

//////，/

////

2s„=l-22+2-^+3-/+--+n-2"+,②

得

23nn+i

-sn=1-2+2+2+--+2-n-2

2(1-2")]

=------------n-2

1-2

=2向_2_〃-2向

=(l-n)2n+1-2

.•.s“=(〃-l)2"+i+2

4.倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

2

1n(n+l)

1):1+2+3+...+n------2)1+3+5+...+(2n-l)-n23)l3+23+---+n3=

2

1」_1

4)l2+22+32+---+n2=-n(n+l)(2H+1)5)

〃(〃+l)n〃+l

1

)

n(n+2)2n〃+2

6)—=--—(―--)(pvq)

pqq-ppq

31、a-b>Q<^>a>b；a-b=boa=b；a-b〈boa〈b.

32、不等式的性质：®a>b<^>b<a；®a>b,b>c=>a>c；®a>b^>a+c>h+c；

④a>b,c>Onac>be,b,CClC〈be；⑤a>b,c>dna+c>b+d；

®a>h>O=>yfa>扬(〃GN,H>1).

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.

34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式（高次不等式）的解法

穿根法（零点分段法）

nZ!-12

求解不等式：a()x+«1x+a2x"^H----\-an>0(<O)(«o>0)

解法：①将不等式化为a°（x-xi）（x-x2）…（x-x.）〉0（<0）形式，并将各因式x的系数化“+”；（为了统一

方便）

②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；

③由右上方穿线（即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各

根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”，则

（自右向左正负相间）

例题：求不等式/一3》2-6工+8>0的解集。

解：将原不等式因式分解为：（x+2）（%-l）（x-4）>0

由方程：（%+2）（%-1）（》-4）=0解得芯=—2,々=1,刍=4

将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图

由图可看出不等式/一3%2一6x+8>0的解集为:

|-2<x<1,或x>4}

,4-r-3-U(X+l)(X—2)(X+5)eg切全

例rla题r：求解21n不等式-----------------<0的解集o

(x+6)(x-4)

解：略

一元二次不等式的求解:

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解的讨论.

A>0A=OA<0

u

二次函数甘u

y=ax2+bx+c

(a〉O)的图象--------X

一元二次方程

有两相异实根有两相等实根

ax2+bx+c-0b

玉,工2($<X2)用=M=----无实根

(a>0地根2a

ax2+Z?x+c>0

(x|x<x^tv>x}b

12〈XXw----

(。>0)的解集2aR

ax2+bx+c<0

<x<x}

20

(a>0)的解集0

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。

2.分式不等式的解法

(1)标准化：移项通分化为坨>0(或工鱼〈0)；3》0(或d^WO)的形式,

g(x)g(x)g(x)g(x)

(2)转化为整式不等式(组)/@>Oo/(x)g(x)>0;/@N0of(x)g(x)>0

g(x)g(x)g(x)手0

例题：求解不等式：一<-1

解：略

例题：求不等式」X一21的解集。

x+1

3.含绝对值不等式的解法：

基本形式：

①型如：Ix|<a(a>0)的不等式的解集为：｛x\-a<x<a｝

②型如：|x|>a(a>0)的不等式的解集为：｛x|x<-a,或x>a｝

变型：

|"+加<。(。>0)型的不等式的解集可以由｛%|-。<办+匕<。｝解得。其中-c〈ax+b<c等价于不等

,[ax+b<c，人_

式组《在解-c<ax+b〈c得注忌a的符号

ax-\-b>-c

|办+4>。(00)型的不等式的解法可以由｛加依+人>。,或依+8<—可来解。

③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解.

④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

例题：求解不等式|x-2|>1

解：略

例题：求解不等式：|x-2|+|x+3区10

解：零点分类讨论法：||

分别令x—2=0和x+3=0-32

解得：x=—3和x=2

在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图

①当xK-3时，(去绝对值符号)原不等式化为：

rf11

-(x—2)—(x+3)<10x>---11

<2=>---<x<-3

x4—3/々2

i[x<-3

②当一3<x<2时，(去绝对值符号)原不等式化为：

-3<x<2

-(x-2)+(x+3)<10

③当x>2时，(去绝对值符号)原不等式化为:

x〉2

x>29

=>,9=>2<x<-

(%-2)+(x+3)<10x<-2

2

由①②③得原不等式的解集为：

函数图像法：

令〃x)=|x-2|+|x+3]

-2x-l(x<-3)

则有：/(x)=(5(-3<x<2)

2x+l(x>2)

在直角坐标系中作出此分段函数及/(x)=10的图像如图

A>0

b,、

②若两根都小于0，即a<0,/?<0,则有，------<0

2a

/(0)>0

X

③若两根有一根小于0一根大于0,即a<0<尸，则有/(O)<0

④若两根在两实数m,n之间，即机<0«/7<〃，

A>0

b

则有彳2a

/(m)>0

,/(«)>0

⑤若两个根在三个实数之间，即机<&</<£<〃,

f(rn)>0

则有</(r)<0

/(〃)>0

常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数

例如：若方程x2-2(/M+l)x+m2-2m-3=O有两个正实数根,求机的取值范围。

A>04(机+1)2-4(m2-2m-3)>0m>-1

解：由①型得《a+4>0=<2(m+1)>0=>m>-1=>m>3

a>0m2-2m-3>0m<-1,或/w>3

所以方程有两个正实数根时，加>3。

又如：方程/一了+机2-1=。的一根大于1,另一根小于1,求阳的范围。

22V5

A>0\-l)-4(m-l)>0----<m<—[[

解：因为有两个不同的根，所以由422

1/(1)<0I2-l+//22-1<0

-1<m<1

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组.

37、二元一次不等式(组)的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这

样的有序数对（x,y）构成的集合.

38、在平面直角坐标系中，已知直线Ar+By+C=O,坐标平面内的点PQ。,%）.

①若B>0,Ax0+B+C>0,则点P（Xo，No）在直线Ar+By+C=O的上方.

②若B>0,Axo+Bjo+C<O,则点P（XO，M）在直线Ar+By+C=O的下方.

39、在平面直角坐标系中，已知直线Ar+By+C=O.

（-）由B确定：

①若B>（）,则Ax+By+C=0表示直线Ax+及+C=0上方的区域；Ax+班+。<0表示直线

Ar+By+C=0下方的区域.

②若B<（）,则Ax+By+C=0表示直线Ax+母+C=