自考本科线性代数笔记(第二章 矩阵)

第一章矩阵

2.1矩阵的概念

定义2.1.1由mxn个数a.（i=l,2,m；j=l,2,...»n）排成一个m行n列的

数表

fa\\@2勾邦、

02\出2%"

、41%2•••用大小括号表示

称为一个m行n列矩阵。矩阵的含义是，这mxn个数排成一个矩形阵列。其中a.称

为矩阵的第i行第j列元素（i=l,2,…，m；j=l,2,…，n）,而i称为行标，j称为列

标。第i行与第j列的变叉位置记为（i,j）。

通常用大写字母A,B,C等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n,也可

记为

A=（a,）mxn或（aij）mxn或Amxn

2

当m=n时，称A=（ay）nxn为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n个数排

成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概

念。只有一阶方阵才是一个数。一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A

的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素a”，a22,…，a.称为此方阵的对角元。在本

课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。用Om*n或者o（大写字）表示。

特别，当m=l时，称a=（a”a2，…，aQ为n维行向量。它是Ixn矩阵。

'瓦、

9=与

当n=l时，称2MM为m维列向量。它是mxl矩阵。

向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。

[5]

例如，（a,b,c）是3维行向量，I4是3维列向量。

几种常用的特殊矩阵:

l.n阶对角矩阵

010

A=°”22

形如100

"mJ或简写为\力（那不是A,念"尖”）

的矩阵，称为对角矩阵，对角矩阵必须是方阵。

f20

0]（2

030

例如，I。

0是一个三阶对角矩阵，也可简写为（

2.数量矩阵

当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。n阶数量矩阵有如下形式:

70…0]（a'

0a0a

<00…"型.或1（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少

的）

特别，当a=l时，称它为n阶单位矩阵。n阶单位矩阵记为E”或3即

fl001（11

0…或I1yl

在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。

n阶数量矩阵常用aE”或叫表示。其含义见2.2节中的数乘矩阵运算。

3.n阶上三角矩阵与n阶下三角矩阵

形如

的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

对角矩阵必须是方阵。一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。

4.零矩阵

mo-。、

000

0=.

、0°-（可以是方阵也可以不是方阵）

2.2矩阵运算

本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。只有在对矩阵定义了一

些有理论意义和实际意义的运算后，才能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工

具。

2.2.1矩阵的相等（同）

定义2.2.1设A=（ay）mxn>B=（bij）kxi>若m=k,n=]且ag=bij,i=l»2,m；j=l,

2,n,则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。

由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两

个矩阵中处于相同位置（i,j）上的一对数都必须对应相等。特别，

A=（ag）mxn=O^^ij=0，i=l,2,m；j-112,n。

注意行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如

G加；）

因为两个矩阵中（1,2）位置上的元素分别为0和2。但是却有行列式等式

1012

01D1（因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样）

2.2.2矩阵的加、减法

定义2.2.2设A=（aij）mxn和B=（bij）mxn,是两个mxn矩阵。由A与B的对应元素

相加所得到的一个mxn矩阵，称为A与B的和，记为A+B,即

A+B=(3jj+bij)m*n。

即若

’为1士加勾2士知-"士砥'

散1士与1“22士与2£32M士与*

士为1士加2""%"土Anj

当两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩

阵时，它们才可相加。

例如

'1234](0145]_(1379]

J678广1230179716)

注意：

（1）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别

例如

2+23+3、勺46、

1+11+1322

2+23+3,<346,

3b23

1=311

3323（阶数相同，所有的行（列）中除某一行（列）

不相同外，其余的行都一样才可以相加,方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其它的

不变。）

（2）阶数大于1的方阵与数不能相加。（阶数大于1它就是一个表，不是一个数了）

若A=（a.）为n阶方阵，n>l,a为一个数，则A+a无意义！但是n阶方阵A=（a.）

m*n与数量矩阵aEn可以相加：

’41+〃a12%,

A+aE„=卬磔+”-%

、加/2…而+/（把数转化为数量矩阵aE”就可以想加了）

由定义222知矩阵的加法满足下列运算律：

设A,B,C都是mxn矩阵，O是mxn零矩阵,

则

(1)交换律A+B=B+A.(乘法没有交换律)

(2)结合律(A+B)+C=A+(B+C).

(3)A+O=O+A=A.

(4)消去律A+C=B+CoA=B.

2.2.3数乘运算(矩阵与数不能相加，但是可能想乘)

定义2.2.3对于任意一个矩阵A=(aij)mxn和任意一个数k,规定k与A的乘积为kA=

(kajj)mxn.(矩阵里的第个原数都乘以数k)

即若

则

由定义223可知，数k与矩阵A的乘积只是A中的所有元素都要乘以k,而数k与行

列式Dn的乘积只是用k乘Dn中某一行的所有元素，或者用k乘D,,中某一列的所有元素,

这两种数乘运算是截然不同的。

根据数乘矩阵运算的定义可以知道，数量矩阵aEn就是数a与单位矩阵En的乘积。

数乘运算律

(1)结合律(kl)A=k(1A)=klA,k和1为任意实数。

(2)分配律k(A+B)=kA+kB,(k+1)A=kA+lA,k和1为任意实

数。

例1已知

f-\231、“2-10、

A=02-13B=4-311

J20"J02"

求2A-3Bo

［答疑编号：020101针对该题提问］

解

r-l231]p2-10、

2A-3B=202-13-34-311

Vb

、420025)

(-14621(36-30、

=04-2-933

40叼(306田

(-2-34-66+32-0、

=0-124+9-2-36-3

18-34-00-610-15J

'-5-292、

=-1213-53

、54-6-5,

例2已知

(30-12^|(5632^

A=,8=,

^2831J1^247-1J

且A+2X=B,求X。

[答疑编号：020102针对该题提问]

_1_"2640]J1320]

解「=尹-匈=40-44-2厂10-22-11(注意是乘以矩阵里的每个元素)

2.2.4乘法运算

定义2.2.4设矩阵A=(aij)mxk，B=(bpkxn，令C=(旬)mxn是由下面的mxn个元素

Cij=aubij+ai2b2j+...+aikbkj(i-1(2,...,m；j=l,2,...,n)

构成的m行n列矩阵，称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记为

C=AB。

由此定义可以知道，两个矩阵A=(a“)和B=(bij)可以相乘当且仅当A的列数与B的

行数相等。当C=AB时，C的行数=人的行数，C的列数=8的列数。C的第i行第j列元素

等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。

'10-1、。。、

/=21。B=31

若12-1,<°2)且AB=C

例3

求矩阵C中第二行第一列中的元素C21

［答疑编号：020103针对该题提问］

解：C21等于左矩阵A中的第二行元素与右矩阵B中第一列元素对应乘积之和

AC2i=2xl+1x3+0x0=5

例4设矩阵

'10-1]p0、

A=210,B=31,

/2-1J10。(列行)

求AB。

［答疑编号：020104针对该题提问］

q00]pxl+0x3+(-1)x0IxO+Oxl+(-1)x2^(\-2、

AB-211■2xl+1x3+0xO2x0+1x14-0x251

2)[3x1+2x3+(-1)x0

解：。23x0+2xl+(-l)x2;=<90；

这里矩阵A是3x3矩阵，而B是3x2矩阵，由于B的列数与A的行数不相等，所以

BA没有意义。

勾1勾2和、

6=a22%3

的3)求(1)AE

例5%33(2)E3A3

an勾3V100^

453=%3a23010

解：(1)⑶为01,

的2a33

q]+0+00+A]?+00+0+口13“13

+°+°0+生2+00+0+%-叼]叼3・4

、%1+0+00+电2+。0+0+q3/gl色3,

［答疑编号：020105针对该题提问］

711+0+002+0+0为3+0+0'

°+。21+°。+。22+00+。然+0

+0+与I0+0+cfy^0+0+q3)

［答疑编号：020106针对该题提问］

由本例可见A3E3=E3A3=A3，并且可以推广有

4琮％=4

它与代数中的la=a-l=a比较可见单位矩阵E”在乘法中起单位的作用。

例

A

求AB和BA

［答疑编号：020107针对该题提问］

XB-P°1.［°°］皿°1P°)-P°1

解：U。NUI。ojU1川0)1,20)

现在，我们对矩阵乘法与数的乘法作一比较。

数的乘法有交换律，矩阵乘法没有普遍交换律。(差别)

91、

C=J求

例7<0

(1)AB(2)AC

解⑴皿Md)

［答疑编号：020108针对该题提问］

m)=(;0)

［答疑编号：020109针对该题提问］

可见AB=AC

众所周知，两个数的乘积是可交换的：ab=ba,因而才有熟知的公式:

(a+b)2=a2+2ab+b2,a2-b2=(a+b)(a-b),(ab)k=akbk.

两个非零数的乘积不可能为零。因此，当ab=0时，必有a=0或b=0。当ab=ac成立时,

只要挣0,就可把a消去得到b=c。(这条只满足数，不满足矩阵)

由矩阵乘法及上述例6、例7可知：

(1)单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：EnA=AE„=A

(2)数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：(aEn)A=A(aEn).

(3)在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律，即一般A即BA。

(4)当AB=O时，一般不能推出A=O或B=O。这说明矩阵乘法不满足消

去律。

(5)当AB=AC时，一般不能推出B=C。(消去律)

若矩阵A与B满足AB=BA,则称A与B可交换。此时，A与B必为同阶方阵。

矩阵乘法不满足消去律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式

的同侧消去。在下一节中我们将会看到，被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式的同侧

消去。

f\0、

J4=

例8设矩阵<2U,求出所有与A可交换的矩阵。(即AB=BA)

［答疑编号：020201针对该题提问］

X11砧'

T=21勾2)为与A可交换的矩

解因为与A可交换的矩阵必为二阶矩阵，所以可设

阵，则

10砒]=(*11^12

x

21.*2122)On+与12勺2+为,

卜11/叫10]/

XU+2J12

XA=以如人21rl^22J

721+2x22

由AX=XA,可推出X［2=0，X11=X22,且Xu，X21可取任意值,即得

70、

x=MlX1J。(对角线必须一样)

p1、"12、

例9解矩阵方程Q2,x=、T4,X为二阶矩阵。

［答疑编号：020202针对该题提问］

%/12

N=、21与2人由题设条件可得矩阵等式:

解设I

:鸣勺2、

29

功)

2^11+^212X12+J22T2、

711+2^21x12+2＞第L

由矩阵相等的定义得

2卬+%=L2砧+为=2,

711+2;:21=T；.々2+2*22=L(列出两组方程式)

11

X=

解这两个方程组可得X]|=l,X21=-1,X12=1,X22=0o所以-107

乘法运算律

(1)矩阵乘法结合律(AB)C=A(BC)。(不改变顺序)

(2)矩阵乘法分配律(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC。

(3)两种乘法的结合律k(AB)=(kA)B=A(kB),k为任意实数。

(4)EmAmxn=Amxn,AmxnEn=Amxn(其中Em,E”分别为m阶和n阶单位矩阵)。

矩阵乘法的结合律要用定义直接验证(证略)，其他三条运算律的正确性是显然的。

方阵的方累。

J4

设A为n阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，所以可以不加括号而有完全确

定的意义。

^=3,^=^^=AA,-，^=AA-A

我们定义A的鼎(或称方幕)为

由定义可知，n阶方阵的方累满足下述规则：

AkA'=Ak+l,（Ak）*=Akl,k,I为任意正整数。

例10用数学归纳法证明以下矩阵等式：

『邛p.p1丫2gM

⑴101JI。⑵11ub

「打㈠

证（1）当n=l时，矩阵等式显然成立。假设当n=k时,矩阵等式成立，即10U1°U

“Dq=p卡廿

则101JI。1乂01J101人0DI。1）

知道，当n=k+l时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数n,此矩阵等式成立。

［答疑编号：020203针对该题提问］

p1V_2*_!（\1］

（2）当n=l时，矩阵等式显然成立。假设当n=k时，矩阵等式成立，即IJ-JV

』：『•（；『（；//：）（；:ZC；M：；）

知道，当户1<+1时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数n,此矩阵等式都成立。

［答疑编号：020204针对该题提问］

例11设n阶方阵A和B满足4=5（8+E。，证明：（解B平方为多少）

/=<=炉=段，

flO

［答疑编号：020205针对该题提问］

证由'=5⑶3%］•推出B=2A-En。再由

22

B=(2A-En)(2A-En)=4A-4A+En(E等于1呀)

证得炉=礴=44?=4/O/=/

㈤

Bn

（/，叼，…,。）=2"网,=勾瓦+叼与+•••+%与

1-1

例12

前者是数，后者是n阶方阵，两者不相等，即ABrBA.（行乘列为数，列乘行为N阶方

阵）

［答疑编号：020206针对该题提问］

因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于n阶方阵A和B,有以下重要结

论：

(1)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2AB=BA»

(2)(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2=A2-B2<=>AB=BA.

(3)当AB=BA时必有(AB)k=AkBt(只有两者两等时成立)

例如AB=BA时，(AB)2=(AB)(AB)=ABAB=A(BA)B=AABB=(AA)(BB)=A2B2

但AB,BA时，则上面结果不成立。

…Na-c：iI

r

AB,

■(AB)2"炉

[答疑编号：020207针对该题提问]

因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于n阶方阵A和B,有以下重要结论：

⑴AB=O,A我。不能推出B=。。例；)山•(:时

外°1・

1°°A°。)1°°)(两个不等于零的方阵相乘或是一个数平方也可能等于零)

2

(2)由A=O不能推出A=(O0]

A=Oo例如Xi0)

°Y°°Lf°°1

则U0川oil。

(3)由AB=AC,A#O不能推出A_(\。心/。c=(°。'

B=C。例如I。oj-Iooj-10D时

pOVOO'!flOVO0]_e0]

1°0八0°J-l00九0J"l00/(同系数两个数或是两个数的平方相等)

即AB=AC,但B#C

(4)由A2=B2不能推出A=±B。例如，取

JU孤MlI)

炉=(o：Ko：Mi上

2.2.5矩阵的转置

定义225设矩阵

2

把矩阵的行与列互换得到的nxm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT或A，，

即

同1a21…

/=勾2叼2…

a

2n…4汽)冰炭

易见A与AT互为转置矩阵。特别，n维行(列)向量的转置矩阵为n维列(行)向

量。

'16、

〃2nH=24

A=，

例如，343)则(53)

/=%

若A=(ai，a2，…，an)贝！J

㈤

B=匕，

若以J则B「=(bi，b2，…，bn)

例14如果已知A为Ixn矩阵，BA11为rxl矩阵，证明：B为rxn矩阵。

［答疑编号：020208针对该题提问］

证设B为x行y列的矩阵

则有BxxyA'x尸(BADxxl

根据可乘条件有y=n

根据积的形状有x=r

所以B为Brxn

例15U-V10U求

(1)AB(2)(AB)T(3)ATBT(4)BTAT

“cfl2"111fl31

AB==

解：(1)v-1J10l)11Oj

［答疑编号：020209针对该题提问］

fin

⑷T叱n

(2)13Q)

［答疑编号：020210针对该题提问］

百■=『ifo］=f1］

(3)］-1J(11J11-1J

［答疑编号：020211针对该题提问］

(4)Xi认2-1厂匕0,

［答疑编号：020212针对该题提问］

由本例可见(AB)T=BTAT,这一结果有普遍性(不证)

转置运算律

⑴(ADT=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAr,k为实数。

TTTTTTT

(4)(AB)=BA,(AiA2...An)=AnAn-i...Ai.

占'、/cr,设A=(aij)为n阶实方阵。若A满足AT=A,也就是说A中元素满

定义2.2.6「

aij=aji，i,j=L2,...»n,则称A为实对称矩阵。

若A满足AT=A,也就是说A中元素满足：

aij=-aji，i,j=L2,…，n,此时必有即=0,i=L2,…,n,则称A为实反对称矩阵。

实矩阵指的是元素全为实数的矩阵，在本课程中，我们只讨论实对称矩阵和实反对称矩

阵，因此，往往省略一个“实”字。例如，

n241/、缶bcl

(a

(49'ef)

都是对称矩阵;

0b

0b'

-b0

-b0

''Ic-e0)

都是反对称矩阵。

例16证明：任意一个实方阵A都可以惟一地表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵

之和。

［答疑编号：020213针对该题提问］

证：取有山+外「二V-心

贝ijA=X+Y

工「=［/+/)，=+=3川+⑸=；(4+万)

#c十」zzz-A

...X是对称阵。

Kr=l(^-Z)r=3H-(Ar)r)=1(#-A)=-l(A-Z)=-Y

.♦.Y是反对称阵。

对任意方阵A都

(注)举例证明了下面结论,

有

(A+AD是对称阵

(A-AT)是反对称阵

例17(1)设A为n阶对称矩阵，证明：对于任意n阶方阵P,pTAP必为对称矩

(2)如果已知PTAP为n阶对称矩阵，问A是否必为对称矩阵？

证(1)因为A是对称矩阵，必有AT=A(满足这个条件)，于是必有

（PTAP）T=PTATP=PTAP

这说明MAP必为对称矩阵。

［答疑编号：020214针对该题提问］

（2）反之，如果MAP为n阶对称矩阵：（pTAP）T=pTAP,则有

PTATP=PTAP,

但是矩阵乘法不满足消去律，在矩阵等式两边，未必能把PT和P消去，所以不能推出

AT=A,A未必是对称矩阵。

［答疑编号：020215针对该题提问］

226方阵的行列式

由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵A的行列式，记

定义2.2.7作Ml

或det(A)o

即，如果

勾1勾2…勾月

421勾2…

A=

&加J,

则

顷1a12…%

同=业1（6）=%1组2…组”

"加％2总。

_F121_12_

例如，'=1_34］的行列式为4=一。

注意II

心（1）矩阵是一个数表，行列式是一个数，二者不能混淆，而且行列式记号“件'与矩

阵记号“（*）”也不同，不能用错。

（2）矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数与列数必须相等。

（3）当且仅当'=（气?为n阶方阵时，才可取行列式w=hL对于不是方阵的矩阵是不

可以取行列式的。

易见，上、下三角矩阵的行列式等于它的所有对角线元素的乘积

n

n=^1^2''°nn

特别，限卜a",%=L

•••0

…0

…1

a1

当=2

例18设上1c2，3」且有优|="。求I必I

［答疑编号：020301针对该题提问］

阳k02^3

kA^密脑2%

解：修叼如3

：k3d

由本例可见1%卜m国

一般地应有1叫卜/Ml

方阵的行列式有如下性质：设A,B为n阶方阵，k为数,

则

(1)网5

(2)KI=^I4

(3)I期=1朗见（行列式乘法规则）

（1）,（2）的证明可由方阵行列式的定义及行列式性质直接得到。（3）的证明从略。

1325

■4=B34_),则

例19设2-2

［答疑编号：020302针对该题提问］

13

国

①2-2

2

|B|

②3

[;3251117

AB=1-22_|,

③-2j[34

'2:5ri312-4

BA=

342-2111C

④阉=56

12-4

111=56

于是得

圈=|网=56,|朗B|=(-8)(-7)=56。

例20设A,B同为n阶方阵。如果AB=O,则由

［答疑编号：020303针对该题提问］

圈=|母忸|=0

知道，必有M卜嗫忸1=4但未必有A=O或B=O。

例21证明：任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。

［答疑编号：020304针对该题提问］

证：设A为2n-l阶反对称矩阵，则有/=-4于是根据行列式性质1和性质2,得到

k［=卜4|=卜-网=>2|J4|=0

因为Ml是数，所以必有国=0。

2.2.7方阵多项式

任意给定一个多项式f。)=4炉+4_］炉-】+…+qx+a诉1任意给定一个n阶方阵A,都可以

1!£

定义一个n阶方阵/(&=a海®+4-1#-1+・~+勺4+%玛!，

称f(A)为A的方阵多项式。注意：在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵如纵而不是常

数的。方阵多项式是以多项式形式表示的方阵。

2r2-11

f(x)=x2-4x+3,A=

例22：设L-34」，求f(A)

［答疑编号：020305针对该题提问］

解：f(A)=^-4A+3E2

-66J

例23：若人=8£,其中/=£,CT=-Co证明

AAr=ArA<=>BC=CB

［答疑编号：020306针对该题提问］

证：AAr-(B-C)(Br-Cr>(B-Q(B+Q-B2+BC-CB-C2

ZJ4=(Br-Cr)(B-C)=(B+C)(B-C)=B2-BC+CB-C2

由A4J/4O/+BC-CB-C^B1-BC+CB-C2

oBC-CB=-8C+CE

u>IBC=2CB

u>EC=CB

2.3方阵的逆矩阵

我们知道，对于任意一个数a#),一定存在惟一的数b,使ab=ba=l,

这个b就是a的倒数，常记为b=a"。而且a与b互为倒数。

对于方阵A,我们可类似地定义它的逆矩阵。

设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B,使得项=区4=%(其中号提n阶

匕乂2.3.1单位

阵)，(2.5)

则称A是可逆矩阵(或非奇异矩阵)，并称方阵B为A的逆矩阵。A的逆矩阵记为Ml即4】=E。

若满足(2.5)式的方阵B不存在，则称A为不可逆矩阵(或奇异矩阵)。

由逆矩阵的定义可见若B是A的逆矩阵。则反过来A也是B的逆矩阵。即若E=ypl,

则有力=B-1

可逆矩阵的基本性质设A,B为同阶的可逆方阵，常数k/0,

则

(1)为可逆矩阵，且(小丁=4

(2)AA-1=/7/=S

(3)(相-1=歹9”

证4时1)八⑷小-AA'1-E

(曲T=小小

推广有(A4…4尸=

(4)”「次

证(阿(；4-1)=AT1=E

(M)-1=

⑸4尸=(心.

证/"a-br=orW=(与r=E

(6)(O#尸

1-1kk

(>j-)*J4*=(AA)=E=E

(#尸=(£1)上

(7)若A可逆且AB=AC,则有消去律B=C

证：AB=AC

-A-lCAE)=A'\AC)

(J4-14)B=(Y1_14)C

SB=St?=>B=r

如何判定一个给定方阵是否可逆呢？为了回答这个问题，我们先给出下面的概念。

定义2.3.2设力=(/%*4•为Ml的元素即的代数余子式(i,j=l,2,…,n),则矩阵

Ai…4d

出出…友

,-An4n…-Aw_

称为A的伴随矩阵，记为4。

由伴随矩阵的定义可以看出，在构造A的伴随矩阵时，4•必须放在中的第j行第i列的交

叉

位置上，也就是说，Ml的第i行元素的代数余子式，构成/的第i列元素。

由1.4节中的定理1.4.1可得

勾1%

A4"="21叼2

^nlara

/0

=0网

00

即M=I，/（2.7）

类似可得3-=./（2.8）

现在我们来证明下面的重要定理。这个定理给出了判定一个n阶方阵是否可逆的一个

充要条件，以及方阵可逆时，求出其逆矩阵的一个方法。

宗理232

an阶方阵A为可逆矩阵0M上0。

证：必要性设A是n阶可逆矩阵，则存在n阶方阵B,使的=与。由方阵乘积的行

列式法则，可得

于是必有Ml*°。

充分性设工=（%）为n阶方阵且Ml#。，构造如下n阶方阵:

由矩阵可逆的定义可知A是可逆矩阵，而且还得到了求逆矩阵公式I_____!2!_

推论：设A,B均为n阶矩阵，并且满足松=E„,则A,B都可逆，且4】=B,=4

证:由松=典,可得1丝1=1现同=L因此Ml#0且忸卜口,故由定理2.3.2知A可逆，

B也可逆。

在的=蜀两边左乘力-1,得yr】（码（4-1巧8=4-1,-8=/-1

1

在的=蜀两边右乘斤1,得（网1斤】=SB--1）=f1,•力=B-1

这个推论表明，以后我们验证一个矩阵是另一个矩阵的逆矩阵时，只需要证明一个等

式的=用或切=再成立即可，而用不着按定义同时验证两个等式。

fa8、

例1若""Jd）,求/*

［答疑编号：020401针对该题提问］

解:4i=Mi=|d|=d&n-Mi=-p|=-b

&=-Mm=-|c|=-c4?=“22=W=a

14aAJ〔-Ca）

_p2'

例如：4-134;

*（4-2）

解：=1-31J

ab

A=\'

例2设［cd\,当a,b,c,d满足什么条件时，矩阵A是可逆矩阵？当A是可

逆矩阵时，求出41。

［答疑编号：020402针对该题提问］

/=_}_/*=_!_（d』

解：A可逆0kli#0o出一从#0。当A可逆时，Mai-bc［-ca）

例1,例2的结果可以作为求二阶方阵的逆矩阵或伴随矩阵的公式

fl2丫】1（4-2）fl2:（4-2）

Q4）乩31J,14）=t-31J

例如（34

1-13

A=2-14

例3判断矩阵-12-4是否可逆，求出它的逆矩阵。

［答疑编号：020403针对该题提问J

1-13@+（-2）X@1-13

2-14③+1X①

01-2=1#0

解（1）由于I

-12-401-1故矩阵A可逆。

（2）逐个求出代数余子式和伴随矩阵:

-14,24-13

4i:=-4:=341=-

2-4-1-44s2-4

131-1-13'13,

出&=一=-1&=-

-1-4-12-1424

Xi41…

-42-1

出&­,•4Z2

A=4-12

为3：=1An&.3一11

-42-1

A-1=—Z=4-12

于是H3-11

由上例可以看出，当nN3时，用伴随矩阵求逆矩阵计算量是很大的，特别是当n为时

不宜用伴随矩阵来求逆矩阵。

例4设A为n阶方阵,则卜*卜卬:

［答疑编号：020404针对该题提问］

证：由"=同冬知道同Mt卜同二当|小。时，显然有团=国”二

例5若/-4-3E=0。求A的逆矩阵和A+E的逆矩阵。

［答疑编号：020405针对该题提问］

"F，八，.次a-5-3£=口A2-A=3E

A\^A-E)=E

心-助=3£

A-1=^(A-F)

(2)A1-A-1S=QAi-A-2E=S

:.(A+^)(A-2助=E■(A+E)~l=A-2E

例6设A是3阶方阵且Ml=5,求⑴HI(2)(力T⑶(5力-1(4)力"I

［答疑编号：020406针对该题提问］

解：(1)团=喂=同"25

⑵,7二小片闻人口"心"=»'⑷"=P

⑷""卜］，=夕牛=，"$

2.4分块矩阵

分块矩阵理论是矩阵理论中的重要组成部分，在理论研究和实际应用中，有时会遇到

行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常对矩阵采用分块的方法，即用一些

贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块(子矩阵)，以

子块为元素的形式的的矩阵叫分块矩阵。

1002-1

010-13

A=001-64

00……0"2"0

例如，设00002

1002-1

Ai=010=&=-13

令001-64

00O'[20

出==2盼

000[o2

Ai出吗&

A=

则A的一个分块矩阵为［414a02%

这样A可以看成由4个子矩阵(子块)为元素组成的矩阵，它是一个分块矩阵。分块

矩阵的每一行称为一个块行，每一列称为一个块列。上述分块矩阵月=(4底2中有两个块

行、两个块列。