高中数学极坐标与参数方程

参数方程极坐标系

例1.已知曲线C：式+犬=1,直线1：（x=2+t（t为参数）

49\y=2-2t

（I）写出曲线C的参数方程，直线1的普通方程.

（II）过曲线C上任意一点P作与1夹角为30。的直线，交1于点A,求|PA|的最大值与最小值.

考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系.

专题：坐标系和参数方程.

分析：（I）联想三角函数的平方关系可取x=2cos。、y=3sin。得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线1的普通

方程；

（口）设曲线C上任意一点P（2cos。，3sin0）.由点到直线的距离公式得到P到直线1的距离，除以

sin30。进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.

解答：22

解：（I）对于曲线C：—+^-^1,可令x=2cos。、y=3sin0,

49

故曲线C的参数方程为（x=2cose,（6为参数）.

|y=3sin9

'x=2+t①

对于直线【:

y=2-2t②

由①得：t=x-2,代入②并整理得：2x+y-6=0；

（II）设曲线C上任意一点P（2cos0,3sin0）.

P至U直线1的距离为dqg|4cos6+3sin6-6|.

则|PA|=一'3^|5sin（8+a）-6|>其中a为锐角.

sin305

当sin（0+a）=-1时，|PA|取得最大值，最大值为空四.

5

当sin（0+a）=1时，|PA|取得最小值，最小值为名后.

5

点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题.

变式1.已知曲线C1：产-4+c°st（t为参数）,C2：产c°s0为参数）.

y=3+sint|y=3sin6

（1）化C”C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若Ci上的点P对应的参数为t=?L,Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：/X=3+2t（t为参数）距离的

2厂-2+t

最小值.

例2.在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为巧"SB（0为参数）.以。为极点，x轴正半轴为极轴建

]y=sin0

立极坐标系，直线的极坐标方程为2pcos（8+三）=班.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.

考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用.

专题：计算题；压轴题._

分析：由题意椭圆的参数方程为[xW^cosS（&为参数），直线的极坐标方程为2p©os（8+工）=又两.将椭

（y=sin03

圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.

解答：解：将2PCOS（e+卫）二班化为普通方程为X-ay-又后=0（4分）

3

点（acos8,sin0）到直线的距离

7T

.—-8-每一-3所1.cos（9+「）――।"分）

所以椭圆上点到直线距离的最大值为2加，最小值为加.（10分）

点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程

进行求解，这也是每年高考必考的热点问题.

变式1.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线1的极坐标方程为:

Psin（0-—）J，曲线C的参数方程为：产2+2COS0为参数）.

62|y=2sina

（I）写出直线1的直角坐标方程；

（H）求曲线c上的点到直线1的距离的最大值.

变式2.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为

p=2后cos（&+子），直线1的参数方程为•,（t为参数），直线1和圆C交于A,B两点，P是圆C

y=-l+2V2t

上不同于A,B的任意一点.

（I）求圆心的极坐标；

（II）求aPAB面积的最大值.

x=l+『t

变式3.在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为彳（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴

y=-1--|t

5

建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为p=我cos（e+2L）.

4

（1）求直线I被曲线c所截得的弦长；

（2）若M（x,y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值.

例3.选修4-4：参数方程选讲

已知平面直角坐标系xOy,以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（入/万，—），曲

6

线C的极坐标方程为p2+2A/3Psin©=1,

（工）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；

（II）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线1：JX=3+2t（t为参数）距离的最小值.

ly=-2+t

考参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.

点：

专坐标系和参数方程.

题：

分（1）利用x=pcos。，y=psin。即可得出；

析：（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，

乎解⑴点的极坐标为（哂，—），

答：6

=

xp=2依co4=2FX坐=3，yp=2V3siiry273

.・.点P的直角坐标③后）

把p2=x?+y2,y=psin。代入p2+2行psin8=l可得*2+丫2+2炳产1，即x?+（y+仃）2=4

二曲线C的直角坐标方程为x2+（y+a）2=金

6

（2）曲线C的参数方程为（x=2cos（e为参数），直线1的普通方程为x-2y-7=0

I产-爽+2sin8

设Q(2cos8,-V3+2sin6)，则线段PQ的中点抽(当COS8,sinQ)•

那么点M到直线1的距离

|-|+cos8-2sin0-7||cos8-2sin0-9|依sin（8-。）+今］］西

d=V1W=飞"飞■》粕=］0、-L

，点M到直线1的最小距离为卫正-1，

10

点本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的

评：单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题.

变式1.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程［x=l+cos”（0为参数）.以o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立

［尸sin。

极坐标系.

（I）求圆C的极坐标方程；

（口）直线1的极坐标方程是p（sin0+V3cos0）=3册,射线OM：与圆C的交点为O,P,与直线1的交点为

3

Q，求线段PQ的长.

变式2.在直角坐标系xoy中，曲线Ci的参数方程为而c°s0（a为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极

ly=sinCl

轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin（e+2L）=4近.

4

（1）求曲线Cl的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标.

例4.已知直线1的参数方程是J-（t为参数）,圆C的极坐标方程为p=2cos（9+/1）.

4

y=-yt+4V2

（I）求圆心C的直角坐标；

（口）由直线1上的点向圆C引切线，求切线长的最小值.

考点：简单曲线的极坐标方程.

专题：计算题.

分析：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用

pcos6=x,psin0=y,p2=x2+y2,进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标.

（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线1上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线1

上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.

解答：解：（I）•••PW2COS0-V2sin6,...p2=^pcose-^Psine，

.•.圆C的直角坐标方程为x2+y2_尸0，

即（x-雪）2+（N曰）.•.圆心直角坐标为吗,-夸）.（5分）

（II）,直线1的普通方程为x-y+46=0,

圆心C到直线1距离是」偿_寿2--诋----=5，

V2

直线1上的点向圆C引的切线长的最小值是｛52_12=2%（10分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角

坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

变式1.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线1的参数方程为，*内，&为参数）,

ly=at

曲线Ci的方程为p（p-4sin0）=12,定点A（6,0）,点P是曲线Ci上的动点，Q为AP的中点.

（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；_

（2）直线1与直线C2交于A,B两点，若|AB|W2j&求实数a的取值范围.

变式2.在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆Ci，直线C2的极坐标方程分别为p=4sin。,

pcos（9--）=2-\[2.

4

（I）求Cl与C2交点的极坐标；