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文档简介
参数方程极坐标系
例1.已知曲线C:式+犬=1,直线1:(x=2+t(t为参数)
49\y=2-2t
(I)写出曲线C的参数方程,直线1的普通方程.
(II)过曲线C上任意一点P作与1夹角为30。的直线,交1于点A,求|PA|的最大值与最小值.
考点:参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系.
专题:坐标系和参数方程.
分析:(I)联想三角函数的平方关系可取x=2cos。、y=3sin。得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线1的普通
方程;
(口)设曲线C上任意一点P(2cos。,3sin0).由点到直线的距离公式得到P到直线1的距离,除以
sin30。进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.
解答:22
解:(I)对于曲线C:—+^-^1,可令x=2cos。、y=3sin0,
49
故曲线C的参数方程为(x=2cose,(6为参数).
|y=3sin9
'x=2+t①
对于直线【:
y=2-2t②
由①得:t=x-2,代入②并整理得:2x+y-6=0;
(II)设曲线C上任意一点P(2cos0,3sin0).
P至U直线1的距离为dqg|4cos6+3sin6-6|.
则|PA|=一'3^|5sin(8+a)-6|>其中a为锐角.
sin305
当sin(0+a)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为空四.
5
当sin(0+a)=1时,|PA|取得最小值,最小值为名后.
5
点评:本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.
变式1.已知曲线C1:产-4+c°st(t为参数),C2:产c°s0为参数).
y=3+sint|y=3sin6
(1)化C”C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若Ci上的点P对应的参数为t=?L,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:/X=3+2t(t为参数)距离的
2厂-2+t
最小值.
例2.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为巧"SB(0为参数).以。为极点,x轴正半轴为极轴建
]y=sin0
立极坐标系,直线的极坐标方程为2pcos(8+三)=班.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.
考点:椭圆的参数方程;椭圆的应用.
专题:计算题;压轴题._
分析:由题意椭圆的参数方程为[xW^cosS(&为参数),直线的极坐标方程为2p©os(8+工)=又两.将椭
(y=sin03
圆和直线先化为一般方程坐标,然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.
解答:解:将2PCOS(e+卫)二班化为普通方程为X-ay-又后=0(4分)
3
点(acos8,sin0)到直线的距离
7T
.—-8-每一-3所1.cos(9+「)――।"分)
所以椭圆上点到直线距离的最大值为2加,最小值为加.(10分)
点评:此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择不同的方程
进行求解,这也是每年高考必考的热点问题.
变式1.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线1的极坐标方程为:
Psin(0-—)J,曲线C的参数方程为:产2+2COS0为参数).
62|y=2sina
(I)写出直线1的直角坐标方程;
(H)求曲线c上的点到直线1的距离的最大值.
变式2.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为
p=2后cos(&+子),直线1的参数方程为•,(t为参数),直线1和圆C交于A,B两点,P是圆C
y=-l+2V2t
上不同于A,B的任意一点.
(I)求圆心的极坐标;
(II)求aPAB面积的最大值.
x=l+『t
变式3.在直角坐标系xoy中,直线I的参数方程为彳(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴
y=-1--|t
5
建立极坐标系,曲线c的极坐标方程为p=我cos(e+2L).
4
(1)求直线I被曲线c所截得的弦长;
(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.
例3.选修4-4:参数方程选讲
已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为(入/万,—),曲
6
线C的极坐标方程为p2+2A/3Psin©=1,
(工)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;
(II)若Q为C上的动点,求PQ中点M到直线1:JX=3+2t(t为参数)距离的最小值.
ly=-2+t
考参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
点:
专坐标系和参数方程.
题:
分(1)利用x=pcos。,y=psin。即可得出;
析:(2)利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出,
乎解⑴点的极坐标为(哂,—),
答:6
=
xp=2依co4=2FX坐=3,yp=2V3siiry273
.・.点P的直角坐标③后)
把p2=x?+y2,y=psin。代入p2+2行psin8=l可得*2+丫2+2炳产1,即x?+(y+仃)2=4
二曲线C的直角坐标方程为x2+(y+a)2=金
6
(2)曲线C的参数方程为(x=2cos(e为参数),直线1的普通方程为x-2y-7=0
I产-爽+2sin8
设Q(2cos8,-V3+2sin6),则线段PQ的中点抽(当COS8,sinQ)•
那么点M到直线1的距离
|-|+cos8-2sin0-7||cos8-2sin0-9|依sin(8-。)+今]]西
d=V1W=飞"飞■》粕=]0、-L
,点M到直线1的最小距离为卫正-1,
10
点本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的
评:单调性等基础知识与基本技能方法,考查了计算能力,属于中档题.
变式1.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程[x=l+cos”(0为参数).以o为极点,x轴的非负半轴为极轴建立
[尸sin。
极坐标系.
(I)求圆C的极坐标方程;
(口)直线1的极坐标方程是p(sin0+V3cos0)=3册,射线OM:与圆C的交点为O,P,与直线1的交点为
3
Q,求线段PQ的长.
变式2.在直角坐标系xoy中,曲线Ci的参数方程为而c°s0(a为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极
ly=sinCl
轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为psin(e+2L)=4近.
4
(1)求曲线Cl的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;
(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.
例4.已知直线1的参数方程是J-(t为参数),圆C的极坐标方程为p=2cos(9+/1).
4
y=-yt+4V2
(I)求圆心C的直角坐标;
(口)由直线1上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.
考点:简单曲线的极坐标方程.
专题:计算题.
分析:(I)先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用
pcos6=x,psin0=y,p2=x2+y2,进行代换即得圆C的直角坐标方程,从而得到圆心C的直角坐标.
(II)欲求切线长的最小值,转化为求直线1上的点到圆心的距离的最小值,故先在直角坐标系中算出直线1
上的点到圆心的距离的最小值,再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.
解答:解:(I)•••PW2COS0-V2sin6,...p2=^pcose-^Psine,
.•.圆C的直角坐标方程为x2+y2_尸0,
即(x-雪)2+(N曰).•.圆心直角坐标为吗,-夸).(5分)
(II),直线1的普通方程为x-y+46=0,
圆心C到直线1距离是」偿_寿2--诋----=5,
V2
直线1上的点向圆C引的切线长的最小值是{52_12=2%(10分)
点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角
坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
变式1.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线1的参数方程为,*内,&为参数),
ly=at
曲线Ci的方程为p(p-4sin0)=12,定点A(6,0),点P是曲线Ci上的动点,Q为AP的中点.
(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;_
(2)直线1与直线C2交于A,B两点,若|AB|W2j&求实数a的取值范围.
变式2.在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆Ci,直线C2的极坐标方程分别为p=4sin。,
pcos(9--)=2-\[2.
4
(I)求Cl与C2交点的极坐标;
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