2023九年级数学下册 第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程第2课时 利用二次函数解一元二次方程教案 （新版）北师大版

2023九年级数学下册第二章二次函数5二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数解一元二次方程教案（新版）北师大版学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析本节课的主要教学内容是利用二次函数解一元二次方程。这是北师大版2023九年级数学下册第二章二次函数的第五节内容，也是本章节的第二课时。本节课的内容与学生已有知识有密切联系，需要在学生已经掌握二次函数的图像和性质的基础上进行。

课程主要内容包括：

1.利用二次函数的性质解一元二次方程；

2.运用图像法求解一元二次方程；

3.练习题解析，巩固所学知识。

教学内容与学生已有知识的联系：

学生在八年级学习了二次函数的基本概念和图像，掌握了二次函数的顶点式和一般式。在此基础上，本节课将引导学生利用已知的二次函数知识解决实际问题，即利用二次函数解一元二次方程。通过本节课的学习，学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。核心素养目标本节课的核心素养目标分为三个方面：

1.逻辑推理：使学生能够通过已知的二次函数性质，推理出一元二次方程的解法，培养学生运用逻辑推理解决数学问题的能力。

2.数学建模：引导学生将二次函数知识应用于解决实际问题，培养学生运用数学知识构建模型的能力。

3.数据分析：通过利用二次函数解一元二次方程，使学生能够分析方程的解与二次函数图像之间的关系，培养学生分析数据、处理信息的能力。重点难点及解决办法重点：

1.利用二次函数的性质解一元二次方程；

2.运用图像法求解一元二次方程。

难点：

1.如何引导学生从二次函数的图像中找出解一元二次方程的规律；

2.如何运用二次函数的性质将一元二次方程转化为二次函数问题。

解决办法：

1.对于重点内容，可以通过讲解典型例题，让学生反复练习，巩固知识点；

2.对于难点内容，可以采用引导学生观察图像、分组讨论的方式，帮助学生发现规律，并将实际问题转化为数学问题。同时，鼓励学生提问，及时解答学生的疑问，帮助学生克服困难。教学资源1.软硬件资源：多媒体教学设备、黑板、粉笔、教学课件；

2.课程平台：北师大版2023九年级数学下册教材；

3.信息化资源：互联网资源、数学教学软件、数学题库；

4.教学手段：讲解法、演示法、练习法、分组讨论法、问答法。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对二次函数与一元二次方程关系的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道二次函数与一元二次方程有什么关系吗？它们在实际问题中的应用有哪些？”

展示一些实际问题涉及二次函数与一元二次方程的图片或视频片段，让学生初步感受它们的应用场景。

简短介绍二次函数与一元二次方程的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.二次函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解二次函数的基本概念、图像特点和性质。

过程：

讲解二次函数的定义，包括其主要组成元素如顶点、开口方向等。

详细介绍二次函数的图像特点和性质，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.一元二次方程基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解一元二次方程的基本概念、组成和解法。

过程：

讲解一元二次方程的定义，包括其主要组成元素如系数、解等。

详细介绍一元二次方程的解法，如公式法、因式分解法等，使用图表或示意图帮助学生理解。

4.利用二次函数解一元二次方程案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解利用二次函数解一元二次方程的方法和技巧。

过程：

选择几个典型的利用二次函数解一元二次方程的案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、解题步骤和意义，让学生全面了解利用二次函数解一元二次方程的原理和方法。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用二次函数解决实际问题。

5.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与利用二次函数解一元二次方程相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的解题方法、技巧以及可能的优化方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

6.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对利用二次函数解一元二次方程的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的解题方法、技巧及优化方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

7.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调利用二次函数解一元二次方程的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的基本概念、图像特点和性质、一元二次方程的解法等。

强调利用二次函数解一元二次方程在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于利用二次函数解一元二次方程的短文或报告，以巩固学习效果。知识点梳理本节课的主要知识点包括以下几个方面：

1.二次函数的基本概念：了解二次函数的定义、标准式、顶点式和开口方向等，掌握二次函数的图像特点，如顶点、对称轴、开口等。

2.二次函数的性质：掌握二次函数的单调性、最值、对称性等性质，并能应用于实际问题中。

3.一元二次方程的基本概念：了解一元二次方程的定义、一般形式、解的定义等，掌握一元二次方程的解法，如公式法、因式分解法等。

4.利用二次函数解一元二次方程的方法：了解二次函数与一元二次方程的关系，掌握利用二次函数的性质和解法来解决一元二次方程的方法和技巧。

5.实际问题中的应用：能够将二次函数与一元二次方程的知识应用于解决实际问题，如优化问题、几何问题等。重点题型整理七、重点题型整理

1.题型一：二次函数的基本概念题目

题目1：已知一个二次函数的图像经过点（1，3）和（3，-5），求该二次函数的解析式。

答案：设该二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c。代入点（1，3）和（3，-5）得到两个方程：

a(1)^2+b(1)+c=3

a(3)^2+b(3)+c=-5

解得：a=-2，b=4，c=1。所以该二次函数的解析式为y=-2x^2+4x+1。

2.题型二：二次函数的性质题目

题目2：已知二次函数y=x^2-4x+4，求该二次函数的顶点坐标、对称轴和开口方向。

答案：该二次函数的顶点坐标为（2，0），对称轴为x=2，开口向上。

3.题型三：一元二次方程的基本概念题目

题目3：已知一元二次方程x^2-4x+4=0，求该方程的解。

答案：该方程的解为x1=x2=2。

4.题型四：利用二次函数解一元二次方程题目

题目4：已知二次函数y=x^2-4x+4与一元二次方程x^2-4x+4=0有相同的解，求该二次函数的解析式。

答案：由题意知，该二次函数的解析式为y=x^2-4x+4。

5.题型五：实际问题中的应用题目

题目5：已知某商品的定价为400元，降价后的售价为原价的80%，求该商品的降价金额。

答案：设降价金额为x元，根据题意可得方程：400-x=400*80%。

化简得：x=400*20%=80元。所以该商品的降价金额为80元。教学反思与总结今天上的这节课，我主要让学生通过利用二次函数解一元二次方程来巩固他们对二次函数和一元二次方程的理解。教学过程中，我尽力让学生通过实际问题来感受数学的实用性，让他们在学习过程中能更主动地参与到课堂讨论中来。

在教学方法上，我采用了讲解法、演示法和练习法，尽量让学生在动手中学习，而不仅仅是被动地接受知识。我也注意引导学生思考，培养他们的逻辑推理能力和问题解决能力。对于课堂上的难题，我让学生通过小组讨论来共同解决问题，这样既能培养他们的团队合作精神，也能让他们在讨论中加深对知识的理解。

不过，我也发现了一些问题。比如，有些学生在解决实际问题时，还是不能很好地将理论知识应用到实践中。这说明我在教学过程中，还需要更加注重理论知识与实际问题之间的联系，让学生能够更好地理解和运用所学知识。另外，部分学生在讨论中表现不够积极，这可能是因为他们对知识掌握得不够扎实，或者是对问题缺乏兴趣。针对这些问题，我需要进一步改进教学方法，让学生能够在轻松愉快的氛围中学习，提高他们的学习积极性。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.二次函数的基本概念：二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。二次函数的图像是一条抛物线，其顶点坐标可以通过公式(-b/2a,f(-b/2a))计算得出。二次函数的图像开口向上还是向下取决于a的符号，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

2.二次函数的性质：二次函数在其顶点左侧是递减的，在其顶点右侧是递增的。二次函数的最小值（或最大值）出现在其顶点处，可以通过计算f(x)=ax^2+bx+c的导数f'(x)来找到顶点的横坐标。

3.一元二次方程的基本概念：一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数，且a≠0。一元二次方程的解可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来找到。

4.利用二次函数解一元二次方程：如果一个二次函数y=ax^2+bx+c与一元二次方程ax^2+bx+c=0有相同的解，那么这个二次函数的解析式就是y=ax^2+bx+c。

5.实际问题中的应用：二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用非常广泛，如优化问题、几何问题、物理问题等。通过利用二次函数和一元二次方程，我们可以解决许多实际问题。

当堂检测：

1.求二次函数y=x^2-4x+4的顶点坐标、对称轴和开口方向。

答案：顶点坐标为（2，0），对称轴为x=2，开口向上。

2.已知一元二次方程x^2-4x+4=0，求该方程的解。

答案：x1=x2=2。

3.已知二次函数y=x^2-4x+4与一元二次方程x^2-4x+4=0有相同的解，求该二次函数的解析式。

答案：y=x^2-4x+4。

4.求解实际问题：某商品的定价为400元，降价后的售价为原价的80%，求该商品的降价金额。

答案：降价金额为80元。

5.求解实际问题：某商品的进价为50元，售价为x元，求该商品的利润y与售价x之间的关系。

答案：利润y=售价x-进价50=售价x-50。板书设计一、二次函数的基本概念

1.定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）

2.图像特点：开口、顶点、对称轴

二、二次函数的性质

1.单调性：左侧递减，右侧