河北省部分学校2022-2023学年上学期九年级数学期末考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年初三年级第一学期期末考试

数学

本试卷满分120分，考试用时120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容:人教版九年级上、下册。

一、单项选择题：共14题，1-8题每题3分，974题每题2分，共36分。在每小题

给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.在解一元二次方程/+px+g=0时，小红看错了常数项q,得到方程的两个根是一3,

1,小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5,-4,则原来的方程是（）

A.x2+2x-3=0B.x2+2A—20=0

C.x2-2x-20=0D.x2-2x-3=0

2.已知二次函数卜=一》2+反+。的图象如图所示，并有以下结论：①函数图象与y轴正

半轴相交；②当xVO时，夕随x的增大而增大，则坐标系的原点。可能是（）

A.点AB.点8C.点CD.点。

3.如图，是。。的直径，弦CDM8,ZC=30°,CD=2耳,则阴影部分图形的面积为

)

A.4乃B.27rC.71

2冗

V

4.如图，若抛物线少=一/+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的

横、纵坐标都是整数）的个数为k,则反比例函数y=X（x>0）的图象是（）

5.图①是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图②所示，此时液面

4B=（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

6.已知：岛尸位于岛。的正西方，由岛尸、。分别测得船R位于南偏东30。和南偏西45。

方向上.符合条件的示意图是（）

7.已知正方形MNOK和正六边形Z8CDE近边长均为1,把正方形放在正六边形中，使OK

边与48边重合，如图所示.按下列步骤操作：

将正方形在正六边形中绕点8顺时针旋转，使KN边与8c边重合，完成第一次旋转；

再绕点C顺时针旋转，使边与CZ）边重合，完成第二次旋转：…在这样连续6次旋

转的过程中，点8,M间的距离可能是（）

A.1.4B.1.1C.0.8D.0.5

8.已知是。。的任意一条直径，求证：。。是以直径N8所在直线为对称轴的轴对称

图形.下列为证明过程，嘉琪为保证推理更严谨，想在方框中七。尸=OP,”和“；/河=

MF,”之间做补充，下列叙述正确的是（

13题图

证明：如图,设点P是。。上除点4、8以外任意一点,

过点P作尸PD8,交。。于点尸'，垂足为点

若点M与圆心。不重合,

连接OP,OP',在AOPP'中，〈OPMOP、；.PM=MP',则是尸P的垂直平分线,

若点M与圆心。重合，显然Z8是PP的垂直平分线，

・•.对于圆上任意一点P,在圆上都有关于直线AB的对称点P'

：.Q0是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形.

A.推理严谨，不必补充B.应补充：,•.△OPP是等腰三角形

C.应补充：又”P'L4BD.应补充：•••△OPP是等腰三角形，又”P'LAB

9有一题目：“已知：点。为MBC的外心,ZSOC=130°,求NA.”嘉嘉的解答为：画△48C

以及它的外接圆0,连接08,0C,如图.由N50C=24=130。，得乙4=65。.

而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，乙4还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是（）

A.淇淇说的对，且乙4的另一个值是115。B.淇淇说的不对，〃就得65。

C.嘉嘉求的结果不对，〃应得50。D.两人都不对，乙4应有3个不同值

10.某种正方形合金板材的成本武元）与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x=3时，y

=18,那么当成本为72元时，边长为（）

A.6厘米B.12厘米C.24厘米D.36厘

米

=—X（.v>0）

11.函数尸‘一嚏"〈"的图象上有两点43，力）、8（x2,及）,针对yi与户的大小关系，

三人的说法如下，

甲：若Xl<0<X2，则力>了2；乙：若X|+x2=0,则yi=V2；

丙：若0cxiVX2,则川>分

下列判断正确的是（）

A.只有甲错B.只有丙对C.甲、丙都对D.甲、乙、丙都错

12.如图，从笔直的公路/旁一点P出发，向西走6km到达/；从产出发向北走6km也到

达/.下列说法错误的是（）

A.从点P向北偏西45。走3km到达I

B.公路/的走向是南偏西45。

C.公路/的走向是北偏东45°

D.从点尸向北走3km后，再向西走3km到达/

13.如图，对于抛物线G：y=x（4—x+M与直线L-.为常数），针对m的不同取值，

三人的说法如下，

甲：无论加为何值，G与x轴总有两个交点；

乙：无论加为何值，G与L不会有交点；

丙：无论机为何值，G与工总有两个交点.下列判断正确的是（）

A.只有甲错B,只有丙对

C.甲、乙、丙都对D.甲、乙、丙都错

14.如图，现要在抛物线y=x(4—x)上找点P(o,b),针对6的不同取值，所找点P的个数,

三人的说法如下，

甲：若5=5,则点P的个数为0；乙：若6=4,则点尸的个数为1；

丙：若b=3,则点P的个数为1.

下列判断正确的是()

A.乙错，丙对B.甲和乙都错C.乙对，丙错D.甲错，丙对

二、填空题：共5题，每空2分，共32分。

15.如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有4O,N三个点，且4。=2,

在ON上方有五个台阶7,〜北(各拐角均为90。)，每个台阶的高、宽分别是1和1.5,

台阶7,到x轴距离OK=10.从点N处向右上方沿抛物线L：^=一『+以+12发出一个

带光的点P.

(1)点工的横坐标为,且在图中补画出y轴，P会落在台阶上；

(2)当点尸落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C,且最大高

度为11,则C的解析式为,并说明其对称轴是否与台阶力(选填有

或无)交点；［注：(2)中不必写x的取值范围】

16.如图，点/在数轴上对应的数为26,以原点。为圆心，0/为半径作优弧AB,使点8

在O右下方，且tan乙408=4/3.在优弧AB上任取一点P,且能过P作直线l\\OB交数轴

于点Q,设0在数轴上对应的数为x,连接。尸.

⑴若优弧AB匕一段AP的长为13兀,则乙40P的度数为,x的值为；

(2)x的最小值为,此时直线/与弧AB所在圆的位置关系为

17.小亮和小明在篮球场练习投篮，小亮投篮时篮球出手的高度是1.7米，篮球的运行路

线是抛物线的一部分，篮球运行的水平距离为3米时达到最高点，最高点的高度是3.5

米，篮筐的高度是3.05米，结果小亮恰好命中篮筐，建立如图所示的平面直角坐标系(篮

球和篮筐均看作一个点)，夕轴经过抛物线的顶点，解答下列问题.

(1)小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式为;

(2)小亮投篮时与篮筐的水平距离L为；

(3)小亮投篮后篮球被篮筐弹了出来，恰被离篮筐水平距离为5米处的小明跳起来接住.已

知篮球弹出后运行路线也是抛物线的一部分(两抛物线在同一平面内)，运行的水平距离为

2米时到达最高点，小明接球的高度为2.3米.则篮球弹出后最高点的高度为;

18.如图，在中，ZJCB=9O°,cosJ=5(3),8c=12,。是N8的中点，过点B作直

线C0的垂线，垂足为点E.

(1)线段CD的长为;

(2)cosz£)5E的值为.

19.如图，。。的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为4,(〃为1〜

12的整数)，过点小作0O的切线交小延长线于点P.?4人:

(1)比较直径和劣弧小Zu长度更长；V

(2)连接A/u，则小41P4;

(3)切线长产出的值为.’

三、解答题：共5题，共52分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

20.(9分)

3

己知，在△/8C中，4c8=90。，AC=8,taivl=4,。是斜边力8上一点，连接CD

(1)当。是Z8的中点时.

①如图①，求8的长；

②如图②，过点。作48的垂线交ZC于点E,求QE的长；

③如图③，过点4作的垂线，交C。的延长线于点M，求sin乙£>//的值；

(2)将△NCZ)沿直线C。翻折，使得点4落在同一平面内的点H处，当4。118c时，求

的长.

21.（9分）

如图①，点E是线段8c的中点，分别以8,C为直角顶点的△瓦18和AEDC均是等腰直

角三角形，且在8c的同侧.

(1)/E和ED的数量关系为,AE和ED的位置关系为；

(2)在图①中，以点£为位似中心，作AEGF与△胡8位似，点，是8c所在直线上的一

点，连接G//、HD,分别得到了图②和图③.

①在图②中，点尸在5E上，AEG尸与AEZB的相似比是1：2,，是EC的中点.求证：

GH=HD,GH1.HD；

②在图③中，点尸在BE的延长线上，AEG/与△E/8的相似比是01,若8c=2,请直

接写出CH的长为多少时，恰好使得GH=HD且GHLHD(用含k的代数式表示).

22.(10分)

某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为

4万元，设第x场产品的销售量为五台)，在销售过程中获得以下信息：

信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；

信息2：产品的每场销售单价M万元)由基本价和浮动价两部分组成，

其中基本价保持不变，第1场一第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场一第18场

浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：

M场)4815

P(万元)567

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式；

(3)当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？

(4)在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？(结果保留整数)

23.(12分)

如图，延长OO的直径交直线。G于点。，且80=1/248

=10,乙4OG=60。.射线。M从DG出发绕点。逆时针旋转，旋

转角为a；同时，线段OC从08出发绕点O逆时针旋转，旋转

角为2a,直线4C与射线DM相交于点“，与直线OG相交于

点尸，其中0。＜。＜180。,且/90。.

(1)当a=20。时，弧BC的长为；

(2)当a=120。时，判断△/£)”的形状，并求它的周长；

(3)A4DH的外心能否在边。，上，如果能，求出a的度数；如果不能，请说明理由;

(4)若射线OW与。。有公共点，直接写出a的取值范围；

V3

⑸当tanN8/C=5时，求线段〃厂的长度.

24.(12分)

如图，若6是正数，直线/：y=6与y轴交于点4直线a：y=x—b与y轴交于点8；抛

物线L：y=—/+云的顶点为C,且乙与x轴正半轴的交点为D

(1)若/8=8,求b的值，并求此时A的对称轴与。的交点坐标；

(2)当点C在/下方时，求点C与/距离的最大值；

(3)设X。#),点(xo,yj),(xo,y2),(x«,y3)分别在/,。和L上，且y3是为，

心的平均数，求点(X。，0)与点。间的距离；

(4)在/和。所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别

直接写出6=2019和6=2019.5时“美点”的个数.

2022-2023学年初三年级第一学期期末考试

数学参考答案

一、单项选择题：共14题，1-8题每题3分，974题每题2分，共36分。在每小题给出的四个选项

中，只有一个是符合题目要求的。

题号1234567891011121314

答案BBDDCDCDAAAABC

二、填空题：共5题，每空2分，共32分。

15(1)-2T42)}=—(X-7)2+11有

3965

16(1)90°x=2(2)x=一5.相切

17(1)y=­02x2+3.5(2)4.5米(3)3.65米

1524

18(1)7(2)25

19(1)劣弧小小i(2)，(3)m+4鬲=J24：--=12瓜

三'解答题：共5题，共52分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

20.(9分)

3

(1)①•••Z/4C8=90。，AC=8,tan4=4,:.BC=6,••.A5=10,

•；D是的中点，

1

:.CD=2/8=5；

②如解图，连接3E,

••・。£垂直平分氏4,

：.BE=AE..-.CE=AC-BE=S-BE.

♦:C琛+BG=BE2,

■.BE2=(S-BE)2+62,

25

.■.BE=4.

又•.•瓦)=5,

_________竺

.•.在RS80E中，DE=^BEZ-BD2=4；

③•••点D为AB的中点，••・C0=D4=5,

；.乙CAB=3CA,

AM3

:.tan乙BAC=tan乙DCA=CM=4.

3

■.AM=^CM.

3

■：AA^+CM2=AC2,••.(4cM2+C“=82,

“7

:CM=5,.-.DM=CM-CD=5.

DM7

:.sin乙DAM=AD=25；

(2)如解图③，设4c交ZB于点G.

:.乙B=WDB,

由折叠的性质可知，

••,乙4+乙3=90°,

：.^A'+/-A'DB=90°,

•••zCGO=90。.

11

•••2CGAB=2ACBC,

8x624

：.CG=10=5,

16

：.A'G=A'C-CG=AC~CG=5,

4ArG

rcosAf=cosA=S=H。,

■,.AD=A'D=4.

21.(9分)

(1)AE=EDAE1ED

【解法提示】•.•△刈8和均为等腰直角三角形，且点E是线段8c的中点，即8E=CE,

AEB=3EC=45。,：.MBE三4DCE(ASk),

■.AE=ED,^AED=180°-^AEB-Z-DEC=90°,

即AELED.Q分)

(2)①证明：由题意可知，z5=zC=90°,AB=BE=EC=DC.

•••△EG/7与△比18位似且位似比是1：2,

:•乙GFE=^B=90°,GF=1/2AB,EF=\/2EB,

•••Z.GFE=Z.C.

•■EH=HC=U2EC,

：.GF=HC,FH=FE+EH=1/2EB+\/2EC=1/2BC=EC=CD,

•MHGFWADHC电AS),(5分)

:.GH=HD,乙GHF=^HDC.

又MHDC+乙DHC=90°,

•.^GHF+^DHC=90°,

:.乙GHD=90°,

：.GHLHD；(7分)

②【解法提示】当GH=HD,GHLHD时,乙FHG+乙CHD=90°,•:乙FHG+乙FGH=9Q。，

:•乙FGH=^CHD.

在AGFH与4HCD中，

4FGH=ZCHD

ZGFH=ZHCD,

GH=HD

:.XGFH与XHCDgB),

：.CH=FG.

•••△EGFS^EAB,△EN8为等腰直角三角形，

-.EF=FG,：.EF=CH.

"BC=2,

••.BE=EC=1.

•：4EGF与4EAB的相似比是左：1,

EF_k

=,

...EB1

•••£户=左，二。”的长为跟

­■CH的长为k.(9分)

22.(10分)

【思维教练】根据信息1求关系式，注意是从第二场开始每场减少2台.

解：(1)由题意可得，夕与x的函数关系式为y=38—2(x—1)=—2x+40；

【思维教练】“成正比”转化为一次函数，“成反比”转化为反比例函数，利用待定系数法求解.

(2)设基本价为b,

①.•・第1场一第10场浮动价与销售场次x成正比，

二设p与x的函数关系式为p=ax+b,

5=44+力

依题意得16=8〃+/解得

.-.p=x+4(l<x<10)；

②...第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，由①知6=4,

m

•••设p与X的函数关系式为2=X+4,

m

依题意得7=15+4,解得加=45,

45

:.p=X+4(11/18)；

综上所述，销售单价?与销售场次x之间的函数关系式为

%+4(14x410)

竺+4(114x418)

p=x;

【思维教练】已知函数值求自变量时可将问题转化为解方程.

145

(3)当p=6.5时，6.5=4x+4或6.5=X+4,解得x=10或x=18.

当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场；

(4)设每场获得的利润为w(万元).

1£

①当1qS10时，W=(4X+4-4)(-2X+40)=-210)2+50,

1

2<o,

••・当x=10时，w最大，最大利润为50万元；

451800

②当11X18时，w=(*+4—4)(-2%+40)=x-90,

•••1800>0,

•••卬随x的增大而减小，

1800

・・・当x=11时，卬最大，最大利润卬=11—90M4(万元)，

•••50<74,

・•・在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元.

23.(12分)

20万

(1)9【思维教练】运用弧长公式求解.

(2)如解图①，

当a=120。时，4OC=2a—180°=60°,

•••CU=OC,.••△/OC为等边三角形，••・"MC=60。.

•：Z-ADH=Z.MDG120°-60o=60°,

.•.△ADH为等边三角形.

•:BD=1/2/8=10,：.AD=3BD=30,

:AADH的周长为320=90；

【思维教练】根据旋转角度及圆的半径相等，判断三角形形状.

(3)不能.理由如下：

M

若△Z。”的外心在边。”上，则〃M"=90。，如解图②所示.

,.,Z.DAH=90°,

••・HF与G)0相切于点4

•••点C是直线HF与。。的交点，

•••点C为切点，点〃与点C重合.

・"00=180。，即2a=180。，

解得a=90。，不合题意(存90。)，舍去.

符合条件的不存在，即的外心不能在边DH上;

【思维教练】若的外心在边。”上，则边。”应为直角三角形的斜边，即转化为判断

乙CM"是否可以为90。的问题.

(4)30°<a<90°；

【思维教练】根据射线。/与O。有公共点，可判断有两个临界点即与圆的切点.

【解法提示】如解图③，设射线与。。相切于点。，连接O0,

•：BD=AB=T0,

：.BD=OB=OQ,

.•"。。=30。，

­.a=z.ADG-^ODQ=3Q°.

射线。”继续绕点。逆时针旋转，与。。有两个公共点，当射线。M旋转到再次与相切

时，如解图②所示，此时a=90。.

综上所述，a的取值范围为30。口V90。.

(5)情况1：当点、H在AD右侧时，

II

如解图④，过点尸作E7L1。于点T.

设3=3由4DG=60。可得，FT=7Z>tan60°=

V3ETV3

又：tanz■氏4C=5,即47"=5,

•.•"=53

.■.AD=AT-\-TD=5t+t=30,

-.TD=5,FT=5百,AT=25.

22

...AF=^AT+FT=W47

在R3O7F中，DF=^TD-+FT1=io,

•:乙DHF=/-ADM+乙BAC=(60°-a)+a=60°=UDF,乙DFH=^AFD,

・•・ADHF~MDF,

■.D^AFHF,E|J102=10^7

•HF,

ioV7

.--HF=7；

情况2：当点”在/。左侧时,

如解图⑤，过点/作人KL4。，交的延长线于点K,

没DK=t,由乙阳K=4OG=60°,

同理可得FK=J3f,AK=5t,

­.AD=AK-DK=5t-t=30,

15

:.t=2,

15V375

：.FK=2,AK=2.

FK

：.DF=sin60°=15,

在Rt△N展中，由勾股定理得E4=J/厘2+》在2=15«,

"FDH=l80°-a,^AOC=2a~180°,OA=OC,

1

：.^OAC=2x[180°-(2a-180°)]=180°—a,

:•乙FDH=^OAC,

■：^HFD=^DFA,

:.国HFD〜ADFA,

DFHF

・・.AF=DF,

••.FU=AFHF,BP152=15^7HF,

15"

：.HF=7.

V310V715V7

综上所述，当tanM/C=5时，"E的值为7或7.

【思维教练】分点”在/。左侧和右侧两种情况，再结合相似三角形求解.

24.(12分)

解：(1)当x=0时，y=x—b=—b,

•••5(0,­b),

,■•AB=8,Z(0,b),

•••/)—(—/>)=8,

•••6=4；(2分)

••L的解析式为歹=-/+4x,

■-L的对称轴为直线x=2,

将x=2代入