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文档简介
天津市红桥区第二区重点中学2024年中考冲刺卷数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟,它的质量约为0.056盎司.将0.056用科学记数法表示为()A.5.6×10﹣1 B.5.6×10﹣2 C.5.6×10﹣3 D.0.56×10﹣12.式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x>﹣2 B.x≥﹣2 C.x<﹣2 D.x≤﹣23.对于非零的两个实数、,规定,若,则的值为()A. B. C. D.4.如图是一个正方体展开图,把展开图折叠成正方体后,“爱”字一面相对面上的字是()A.美 B.丽 C.泗 D.阳5.下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=06.已知,如图,AB//CD,∠DCF=100°,则∠AEF的度数为()A.120° B.110° C.100° D.80°7.下列手机手势解锁图案中,是轴对称图形的是()A. B. C. D.8.如图,在△ABC中,点D在BC上,DE∥AC,DF∥AB,下列四个判断中不正确的是()A.四边形AEDF是平行四边形B.若∠BAC=90°,则四边形AEDF是矩形C.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是矩形D.若AD⊥BC且AB=AC,则四边形AEDF是菱形9.关于的方程有实数根,则满足()A. B.且 C.且 D.10.花园甜瓜是乐陵的特色时令水果.甜瓜一上市,水果店的小李就用3000元购进了一批甜瓜,前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg,第三天她发现市场上甜瓜数量陡增,而自己的甜瓜卖相已不大好,于是果断地将剩余甜瓜以低于进价20%的价格全部售出,前后一共获利750元,则小李所进甜瓜的质量为()kg.A.180 B.200 C.240 D.30011.点A、C为半径是4的圆周上两点,点B为的中点,以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD,顶点D恰在该圆半径的中点上,则该菱形的边长为()A.或2 B.或2 C.2或2 D.2或212.小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始,逐页依顺序在每一页上写一个数.小昱在第1页写1,且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加2;阿帆在第1页写1,且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加1.若小昱在某页写的数为101,则阿帆在该页写的数为何?()A.350 B.351 C.356 D.358二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图,点A、B、C是⊙O上的三点,且△AOB是正三角形,则∠ACB的度数是。14.计算:6﹣=_____15.如图,直线a、b相交于点O,若∠1=30°,则∠2=___16.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点E,F分别在边AB,AC上,将△AEF沿直线EF翻折,点A落在点P处,且点P在直线BC上.则线段CP长的取值范围是____.17.下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程.已知:⊙O.求作:⊙O的内接正方形.作法:如图,(1)作⊙O的直径AB;(2)分别以点A,点B为圆心,大于12(3)作直线MN与⊙O交于C、D两点,顺次连接A、C、B、D.即四边形ACBD为所求作的圆内接正方形.请回答:该尺规作图的依据是_____.18.如图,将三角形AOC绕点O顺时针旋转120°得三角形BOD,已知OA=4,OC=1,那么图中阴影部分的面积为_____.(结果保留π)三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离,某数学兴趣小组在公路l上的点A处,测得凉亭P在北偏东60°的方向上;从A处向正东方向行走200米,到达公路l上的点B处,再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上,如图所示.求凉亭P到公路l的距离.(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732)20.(6分)先化简:,再请你选择一个合适的数作为x的值代入求值.21.(6分)“校园安全”受到全社会的广泛关注,某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图,请根据统计图中所提供的信息解答下列问题:(1)接受问卷调查的学生共有人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为度;(2)请补全条形统计图;(3)若该中学共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数.22.(8分)在阳光体育活动时间,小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球,当时只有一副空球桌,他们只能选两人打第一场.(1)如果确定小亮打第一场,再从其余三人中随机选取一人打第一场,求恰好选中大刚的概率;(2)如果确定小亮做裁判,用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场.游戏规则是:三人同时伸“手心、手背”中的一种手势,如果恰好有两人伸出的手势相同,那么这两人上场,否则重新开始,这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的,请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率.23.(8分)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.操作发现如图1,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转.当点D恰好落在BC边上时,填空:线段DE与AC的位置关系是;②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S1.则S1与S1的数量关系是.猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S1的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC,CE边上的高,请你证明小明的猜想.拓展探究已知∠ABC=60°,点D是其角平分线上一点,BD=CD=4,OE∥AB交BC于点E(如图4),若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDC,请直接写出相应的BF的长24.(10分)计算下列各题:(1)tan45°−sin60°•cos30°;(2)sin230°+sin45°•tan30°.25.(10分)某市旅游景区有A,B,C,D,E等著名景点,该市旅游部门统计绘制出2018年春节期间旅游情况统计图(如图),根据图中信息解答下列问题:(1)2018年春节期间,该市A,B,C,D,E这五个景点共接待游客万人,扇形统计图中E景点所对应的圆心角的度数是,并补全条形统计图.(2)甲,乙两个旅行团在A,B,D三个景点中随机选择一个,这两个旅行团选中同一景点的概率是.26.(12分)计算:﹣16+(﹣)﹣2﹣|﹣2|+2tan60°27.(12分)从一幢建筑大楼的两个观察点A,B观察地面的花坛(点C),测得俯角分别为15°和60°,如图,直线AB与地面垂直,AB=50米,试求出点B到点C的距离.(结果保留根号)
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、B【解析】
0.056用科学记数法表示为:0.056=,故选B.2、B【解析】
根据二次根式有意义的条件可得,再解不等式即可.【详解】解:由题意得:,解得:,
故选:B.【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件,关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.3、D【解析】试题分析:因为规定,所以,所以x=,经检验x=是分式方程的解,故选D.考点:1.新运算;2.分式方程.4、D【解析】
正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答.【详解】解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,“爱”字一面相对面上的字是“阳”;故本题答案为:D.【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形是解题的关键.5、B【解析】分析:根据一元二次方程根的判别式判断即可.详解:A、x2+6x+9=0.△=62-4×9=36-36=0,方程有两个相等实数根;B、x2=x.x2-x=0.△=(-1)2-4×1×0=1>0.方程有两个不相等实数根;C、x2+3=2x.x2-2x+3=0.△=(-2)2-4×1×3=-8<0,方程无实根;D、(x-1)2+1=0.(x-1)2=-1,则方程无实根;故选B.点睛:本题考查的是一元二次方程根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的实数根;②当△=0时,方程有两个相等的实数根;③当△<0时,方程无实数根.6、D【解析】
先利用邻补角得到∠DCE=80°,然后根据平行线的性质求解.【详解】∵∠DCF=100°,∴∠DCE=80°,∵AB∥CD,∴∠AEF=∠DCE=80°.故选D.【点睛】本题考查了平行线性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.7、D【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断.【详解】A.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,所以A错误;B.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,所以B错误;C.是中心对称图形,不是轴对称图形,所以C错误;D.是轴对称图形,不是中心对称图形,所以D正确.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义,熟练掌握定义是本题解题的关键.8、C【解析】A选项,∵在△ABC中,点D在BC上,DE∥AC,DF∥AB,∴DE∥AF,DF∥AE,∴四边形AEDF是平行四边形;即A正确;B选项,∵四边形AEDF是平行四边形,∠BAC=90°,∴四边形AEDF是矩形;即B正确;C选项,因为添加条件“AD平分∠BAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形,而不能证明四边形AEDF是矩形;所以C错误;D选项,因为由添加的条件“AB=AC,AD⊥BC”可证明AD平分∠BAC,从而可通过证∠EAD=∠CAD=∠EDA证得AE=DE,结合四边形AEDF是平行四边形即可得到四边形AEDF是菱形,所以D正确.故选C.9、A【解析】
分类讨论:当a=5时,原方程变形一元一次方程,有一个实数解;当a≠5时,根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时,方程有两个实数根,然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围.【详解】当a=5时,原方程变形为-4x-1=0,解得x=-;当a≠5时,△=(-4)2-4(a-5)×(-1)≥0,解得a≥1,即a≥1且a≠5时,方程有两个实数根,所以a的取值范围为a≥1.故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.10、B【解析】
根据题意去设所进乌梅的数量为,根据前后一共获利元,列出方程,求出x值即可.【详解】解:设小李所进甜瓜的数量为,根据题意得:,解得:,经检验是原方程的解.答:小李所进甜瓜的数量为200kg.故选:B.【点睛】本题考查的是分式方程的应用,解题关键在于对等量关系的理解,进而列出方程即可.11、C【解析】
过B作直径,连接AC交AO于E,如图①,根据已知条件得到BD=OB=2,如图②,BD=6,求得OD、OE、DE的长,连接OD,根据勾股定理得到结论.【详解】过B作直径,连接AC交AO于E,∵点B为的中点,∴BD⊥AC,如图①,∵点D恰在该圆直径上,D为OB的中点,∴BD=×4=2,∴OD=OB-BD=2,∵四边形ABCD是菱形,∴DE=BD=1,∴OE=1+2=3,连接OC,∵CE=,在Rt△DEC中,由勾股定理得:DC=;如图②,OD=2,BD=4+2=6,DE=BD=3,OE=3-2=1,由勾股定理得:CE=,DC=.故选C.【点睛】本题考查了圆心角,弧,弦的关系,勾股定理,菱形的性质,正确的作出图形是解题的关键.12、B【解析】
根据题意确定出小昱和阿帆所写的数字,设小昱所写的第n个数为101,根据规律确定出n的值,即可确定出阿帆在该页写的数.【详解】解:小昱所写的数为1,3,5,1,…,101,…;阿帆所写的数为1,8,15,22,…,设小昱所写的第n个数为101,根据题意得:101=1+(n-1)×2,整理得:2(n-1)=100,即n-1=50,解得:n=51,则阿帆所写的第51个数为1+(51-1)×1=1+50×1=1+350=2.故选B.【点睛】此题考查了有理数的混合运算,弄清题中的规律是解本题的关键.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、30°【解析】试题分析:圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角相等,均等于所对圆心角的一半.∵△AOB是正三角形∴∠AOB=60°∴∠ACB=30°.考点:圆周角定理点评:本题属于基础应用题,只需学生熟练掌握圆周角定理,即可完成.14、3【解析】
按照二次根式的运算法则进行运算即可.【详解】【点睛】本题考查的知识点是二次根式的运算,解题关键是注意化简算式.15、30°【解析】因∠1和∠2是邻补角,且∠1=30°,由邻补角的定义可得∠2=180°﹣∠1=180°﹣30°=150°.解:∵∠1+∠2=180°,又∠1=30°,∴∠2=150°.16、【解析】
根据点E、F在边AB、AC上,可知当点E与点B重合时,CP有最小值,当点F与点C重合时CP有最大值,根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图,当点E与点B重合时,CP的值最小,此时BP=AB=3,所以PC=BC-BP=4-3=1,如图,当点F与点C重合时,CP的值最大,此时CP=AC,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,根据勾股定理可得AC=5,所以CP的最大值为5,所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5,故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题,能根据点E、F分别在线段AB、AC上,点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大(小)值是解题的关键.17、相等的圆心角所对的弦相等,直径所对的圆周角是直角.【解析】
根据圆内接正四边形的定义即可得到答案.【详解】到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上;两点确定一条直线;互相垂直的直径将圆四等分,从而得到答案.【点睛】本题主要考查了圆内接正四边形的定义以及基本性质,解本题的要点在于熟知相关基本知识点.18、5π【解析】
根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积,利用扇形的面积公式计算即可求解.【详解】∵△AOC≌△BOD,∴阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积5π.故答案为:5π.【点睛】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式,正确理解:阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题的关键.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、凉亭P到公路l的距离为273.2m.【解析】
分析:作PD⊥AB于D,构造出Rt△APD与Rt△BPD,根据AB的长度.利用特殊角的三角函数值求解.【详解】详解:作PD⊥AB于D.设BD=x,则AD=x+1.∵∠EAP=60°,∴∠PAB=90°﹣60°=30°.在Rt△BPD中,∵∠FBP=45°,∴∠PBD=∠BPD=45°,∴PD=DB=x.在Rt△APD中,∵∠PAB=30°,∴PD=tan30°•AD,即DB=PD=tan30°•AD=x=(1+x),解得:x≈273.2,∴PD=273.2.答:凉亭P到公路l的距离为273.2m.【点睛】此题考查的是直角三角形的性质,解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形,再利用特殊角的三角函数值解答.20、x﹣1,1.【解析】
先通分计算括号里的,再计算括号外的,最后根据分式性质,找一个恰当的数2(此数不唯一)代入化简后的式子计算即可.【详解】解:原式==x﹣1,根据分式的意义可知,x≠0,且x≠±1,当x=2时,原式=2﹣1=1.【点睛】本题主要考查分式的化简求值,化简过程中要注意运算顺序,化简结果是最简形式,难点在于当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义,且除数不能为零.21、(1)60,90;(2)见解析;(3)300人【解析】
(1)由了解很少的有30人,占50%,可求得接受问卷调查的学生数,继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角;(2)由(1)可求得了解的人数,继而补全条形统计图;(3)利用样本估计总体的方法,即可求得答案.【详解】解:(1)∵了解很少的有30人,占50%,∴接受问卷调查的学生共有:30÷50%=60(人);∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为:×360°=90°;故答案为60,90;(2)60﹣15﹣30﹣10=5;补全条形统计图得:(3)根据题意得:900×=300(人),则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人.【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图,解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的相关知识点.22、(1)(2)【解析】
(1)由小亮打第一场,再从其余三人中随机选取一人打第一场,求出恰好选中大刚的概率即可;(2)画树状图得出所有等可能的情况数,找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数,即可求出所求的概率.【详解】解:(1)∵确定小亮打第一场,∴再从小莹,小芳和大刚中随机选取一人打第一场,恰好选中大刚的概率为;(2)列表如下:所有等可能的情况有8种,其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与大刚不同的结果有2个,则小莹与小芳打第一场的概率为.【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法;概率公式.23、解:(1)①DE∥AC.②.(1)仍然成立,证明见解析;(3)3或2.【解析】
(1)①由旋转可知:AC=DC,∵∠C=90°,∠B=∠DCE=30°,∴∠DAC=∠CDE=20°.∴△ADC是等边三角形.∴∠DCA=20°.∴∠DCA=∠CDE=20°.∴DE∥AC.②过D作DN⊥AC交AC于点N,过E作EM⊥AC交AC延长线于M,过C作CF⊥AB交AB于点F.由①可知:△ADC是等边三角形,DE∥AC,∴DN=CF,DN=EM.∴CF=EM.∵∠C=90°,∠B=30°∴AB=1AC.又∵AD=AC∴BD=AC.∵∴.(1)如图,过点D作DM⊥BC于M,过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N,
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM中,,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S1=S1;(3)如图,过点D作DF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此时S△DCF1=S△BDE;
过点D作DF1⊥BD,
∵∠ABC=20°,F1D∥BE,
∴∠F1F1D=∠ABC=20°,
∵BF1=DF1,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F1DB=90°,
∴∠F1DF1=∠ABC=20°,
∴△DF1F1是等边三角形,
∴DF1=DF1,过点D作DG⊥BC于G,
∵BD=CD,∠ABC=20°,点D是角平分线上一点,
∴∠DBC=∠DCB=×20°=30°,BG=BC=,
∴BD=3∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°,
∠CDF1=320°-150°-20°=150°,
∴∠CDF1=∠CDF1,
∵在△CDF1和△CDF1中,,
∴△CDF1≌△CDF1(SAS),
∴点F1也是所求的点,
∵∠ABC=20°
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