湘教版高中数学选择性必修第一册专题强化练7椭圆的综合应用含答案

专题强化练7椭圆的综合应用1.(2022湖南长郡中学期末)“4<k<10”是“方程x2k-4+y2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2022湖南衡阳期末)P为椭圆C:x217+y213=1上一动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,延长F1P至点Q,使得|PQ|=|PF2|,A.(x+2)2+y2=34B.(x+2)2+y2=68C.(x-2)2+y2=34D.(x-2)2+y2=683.经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OA·OBA.-3B.-1C.-13或-3D.±4.(2022山东青岛期中)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是32,左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=π2,△F1A.x28+y22=1B.C.x220+y25=1D.5.(2022江西南昌期末)设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=a2c上存在点P,使线段A.0,2C.33,6.(多选)(2022湖南常德月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(2,1)在椭圆内部,A.离心率的取值范围为0B.当离心率为24时,|QF1|+|QP|的最大值为2a+C.存在点Q使得QF1·D.1|QF17.(2022安徽淮南期末)若实数x,y满足方程x216+y225=1,则(x8.(2022重庆八中月考)过椭圆x236+y227=1上一动点P分别向圆C1:(x+3)2+y2=4和圆C2:(x-3)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2+2|PN|9.(2021湖南雅礼中学期中)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的短轴长为(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A,B分别为椭圆C的右顶点与上顶点,直线y=kx(k>0)与椭圆C相交于M,N两点,求四边形AMBN的面积的最大值及此时k的值.10.(2022河北石家庄二中期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图,过椭圆外一点P作两条互相垂直的直线l1,l2,且l1,l2均与椭圆C相切,切点分别为A,B.(i)求P的轨迹方程;(ii)记原点O到l1,l2的距离分别为d1,d2,求d1d2的最大值.答案与分层梯度式解析1.B若方程x2k-4+y210-k=1表示焦点在x轴上的椭圆,2.B由x217+y213=1可得a=17,则|PF1|+|PF2|=2a=217,又因为|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|=2a=217,所以动点Q的轨迹是以F1(-2,0)为圆心,217为半径的圆,故动点Q的轨迹方程为(x+2)2+y3.B由x22+y2=1,得a2=2,b2=1,则c2=a2-b2=1,则焦点坐标为(±1,0).不妨设直线l过右焦点,因为l的倾斜角为45°,所以直线l代入x22+y2=1得x2+2(x-1)2-2=0,即3x解得x1=0,x2=43不妨设A,B两点的坐标分别为(0,-1),43,13,所以OA·OB=(0,-1)·434.D由题意知ca=32,即3a2=4c2,根据椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a,又因为∠F1PF2=π2,且△F1PF2的面积等于3,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,且|PF1|·|PF2|=6,则|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF25.C由题意得F1(-c,0),F2(c,0),设点Pa2c,m,PF1的中点为K,∴kPF1·kKF2∴m2=-a2c+c·a2c-3c≥0,∴a4-2a2c2-3c4≤0,∴3e4+2e2-1≥0,∴e又∵e∈(0,1),∴33≤6.BD由题意可得2a=4,所以a=2,由点P(2,1)在椭圆内部可得24+1b2<1,可得2<b2<4,即2<4-c2<4,所以0<c<2.对于A,e=ca∈0,22,故A错误;对于B,当e=24时,c=22,F222,0,|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≤2a+|PF2|=4+62,故B正确;对于C,由A知0<e<22,若e=22,当Q在短轴端点时,∠F1QF2最大,此时cos∠F1QF2=2a2-4c22a2=0,则∠F1QF2=90°,由0<e<22,可得∠F1QF2的最大值小于90°,所以不存在点Q使得QF1·QF2=0,即C错误7.答案[10-10,10+10]解析(x-1)2+y2+x2+(y-3)2可表示椭圆x216+y225=1上的点P(x,y)与点A(1,0)及上焦点F2(0,3)间的距离之和,即(x-1)2+y2+x2+(y-3)2=|PA|+|PF2|,设椭圆的下焦点为F1(0,-3),由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=10,所以8.答案90解析∵a2=36,b2=27,∴c=a2圆C1的圆心为C1(-3,0),半径为2,圆C2的圆心为C2(3,0),半径为1,易知C1(-3,0),C2(3,0)为椭圆的两个焦点,如图所示:|PM|2+2|PN|2=|PC1|2-4+2(|PC根据椭圆的定义得|PC1|+|PC2|=2a=12,设|PC2|=t,则a-c≤t≤a+c,即3≤t≤9,则|PM|2+2|PN|2=(12-t)2+2t2-6=3t2-24t+138=3(t-4)2+90,∴当t=4时,|PM|2+2|PN|2取得最小值,最小值为90.9.解析(1)由题意可得2b=2,则b=1,将y=-c代入椭圆方程可得c2a2则x2=b21-c2a2=b由题意可得2b2a=2a=23因此,椭圆C的标准方程为y23+x(2)易知点A(1,0),B(0,3),所以直线AB的方程为x+y3=1,即3x+y-3不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),且x1<x2,由y23+x2=1,y=kx⇒x1=-3k则M到直线AB的距离d1=|3x1+kN到直线AB的距离d2=|3x2则S四边形AMBN=12|AB|(d1+d2)=12·12+(-3)2·3+(k+3)x22+(k+3)x2-32=(k+3)x2=3因此,四边形AMBN的面积的最大值为6,此时k=3.10.解析(1)由已知可得ca=53,2bc=45,c(2)(i)设点P的坐标为(x0,y0).当直线l1,l2的斜率都存在时,不妨设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,过点P且斜率存在的直线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx+(y0-kx0),联立y=kx+(y0-kx0),4x2+9y2=36由Δ=182k2(y0-kx0)2-4(9k2+4)[9(y0-kx0)2-36]=0,可得(9-x02)k2+2kx0y0+4-由题意可知,k1,k2是关于k的二次方程(9-x02)k2+2kx0y0+4-y0因为l1⊥l2,所以k1k2=4-y029-当l1,l2分别与两坐标轴垂直时,满足l1⊥l2,此时点P的坐标为(±3,±2),点P在圆x2+y2=13上.综上所述,点P的轨迹方程为x2+y2=13