湘教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3-3抛物线课件

3.3抛物线1|

抛物线的定义我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作

抛物线,点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.1.抛物线的简单几何性质2

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抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)简图

焦点坐标

顶点坐标(0,0)准线方程x=-

x=

y=-

y=

对称轴x轴x轴y轴y轴范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下离心率e=12.p是抛物线的焦点到准线的距离,p值永远大于0,p越大,开口越大.

1.焦点弦的概念过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段,称为抛物线的焦点弦.2.通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦,称为抛物线的

通径,抛物线的通径长为2p,是所有焦点弦中最短的弦.3.有关抛物线焦点弦的性质如图,已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y

2),AA',BB'均垂直于准线,直线AB的倾斜角为θ,则有(1)|AB|=x1+x2+p=

;(2)x1x2=

,y1y2=-p2,

·

=-

p2;(3)|AF|=

,|BF|=

;(4)

+

=

;(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切;(6)以AB为直径的圆与准线相切;(7)A,O,B'共线,A',O,B共线;(8)∠A'FB'=90°;(9)S△AOB=

;(10)抛物线在A,B处的切线互相垂直且交点在准线上.1.平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹一定是抛物线吗?不一定.若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.2.抛物线的离心率e越大,抛物线的开口越大吗?不是.抛物线的离心率e为定值1,它对抛物线的形状无影响.3.“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的充要条件吗?不是.当直线与抛物线有一个交点时,直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称

轴平行(或重合);当直线与抛物线相切时,直线与抛物线有一个交点,故为必要不

充分条件.知识辨析1抛物线标准方程的求解1.定义法先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义,再根据定义求出方程.2.待定系数法.其步骤如下:当抛物线的位置没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论不同情况的次数.

典例根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.(1)准线方程为y=

;(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5;(3)经过点(-3,-1).解析

(1)由题意可得抛物线的准线与y轴正半轴相交,故设所求抛物线的标准方

程为x2=-2py(p>0),则

=

,解得p=

,故所求抛物线的标准方程为x2=-

y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设所求抛物线的方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,可得|m|=5,即m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.(3)因为点(-3,-1)在第三象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=-

2p2y(p2>0).若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0),则由(-1)2=-2p1×(-3),解得p1=

;若抛物线的标准方程为x2=-2p2y(p2>0),则由(-3)2=-2p2×(-1),解得p2=

.故所求抛物线的标准方程为y2=-

x或x2=-9y.抛物线的定义主要用来进行抛物线上的点与焦点的距离及与准线的距离的

转化,通过转化可以求最值、参数、距离.2抛物线定义的应用 

典例

(1)已知点P是抛物线y2=-2x上的动点,则点P到点M(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为

(

)A.

B.3

C.

D.

(2)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹

方程为

x2=-12y

.思路点拨

(1)求|PM|与P到准线的距离之和的最小值,即求|PM|+|PF|的最小值.(2)将条件转化为抛物线的定义,利用定义解决问题.A解析

(1)如图所示,

由抛物线的定义知,点P到准线x=

的距离|PD|等于点P到焦点F

的距离|PF|,因此点P到点M(0,2)的距离与点P到准线x=

的距离之和等于点P到点M(0,2)的距离与点P到点F

的距离之和,其最小值为点M(0,2)到点F

的距离(当点P位于P'的位置时),即最小值为

=

.(2)设动圆圆心M(x,y),由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.由抛物线的定义可知,动圆圆心M的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的抛物线,

其方程为x2=-12y.解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的性质,并灵活运用.这些

性质一般是针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的,但在实际应用中,有些抛物

线的方程可能不是这种形式,这时相关结论会随之变化,不能盲目套用.3抛物线的焦点弦问题

典例已知抛物线y2=4x,经过其焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于M,N两点,且|MF|=3|NF|,则k=

.解析

解法一:分别过M,N两点作准线的垂线,垂足分别为P,Q,过N向PM作垂线,垂

足为S,设|NF|=m(m>0),则|MF|=3m.由抛物线的定义得|MP|=3m,|NQ|=m,所以|MS|=2

m,|MN|=m+3m=4m,则sin∠MNS=

=

,即∠MNS=

,故直线l的倾斜角为

,所以k=tan

=

.解法二:设直线l的倾斜角为θ,则θ∈

,由于|MF|=

,|NF|=

,且|MF|=3|NF|,所以

=

,解得cosθ=

,所以θ=

,所以k=tanθ=

.解法三:抛物线y2=4x中,p=2,所以

+

=

=1,又因为|MF|=3|NF|,所以|MF|=4,|NF|=

,于是|MN|=

.设直线l的倾斜角为θ,则θ∈

,所以

=

,解得sinθ=

(负值舍去),所以θ=

,故k=tanθ=

.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方

法类似,一般是联立直线与抛物线的方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等

问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.4直线与抛物线的位置关系

典例已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3.(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)过(-1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点A,B,交直线x=-4于点E,直线BF交直线

x=-1于点D,是否存在这样的直线l,使得DE∥AF?若存在,求出直线l的方程;若不存

在,请说明理由.思路点拨

(1)根据抛物线的定义可以得到关于p的关系式,进而求解.(2)从DE∥AF出发,我们可以从两个角度展开求解,思路一:利用斜率相等;思路二:

由平行得到比例关系,进而求解.解析

(1)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以根据抛物线的定义可得1+

=3,解得p=4,所以y2=8x,所以准线方程为x=-2.(2)存在.显然直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立

消去y,得k2x2+(2k2-8)x+k2=0.由Δ=(2k2-8)2-4k4>0,解得-

<k<

.所以-

<k<

且k≠0.由根与系数的关系得x1+x2=

,x1x2=1.

解法一:直线BF的方程为y=

(x-2).因为xD=-1,所以yD=

,所以D

.因为DE∥AF,所以直线DE与直线AF的斜率相等.又E(-4,-3k),所以

=

,整理得k=

+

,即k=

+

,化简得1=

+

,即1=

,即x1+x2=7.所以

=7,整理得k2=

,解得k=±

.经检验,k=±

符合题