苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4-1数列练习含答案

第4章数列4.1数列基础过关练题组一对数列概念的理解1.下列说法中正确的是()A.一个数列不是递增数列就是递减数列B.数列1,0,-1,-2与-2,-1,0,1是相同的数列C.数列n+1n的第k项为1+1k,k,nD.数列0,2,4,6,…可记为{2n},n∈N*2.(2024甘肃白银月考)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,12B.sinπ7C.-1,-12D.1,2,3题组二数列的通项公式3.(2024河北承德月考)已知数列{an}的一个通项公式为an=(-1)n·2n+a,且a3=-5,则实数a等于()A.1B.3C.-1D.-34.(2024河北邢台质检)已知数列{an}的前4项分别为-1+12A.an=(-1)nn+(-1)n2nB.an=(-1)nn-(-1)n2C.an=(-1)nn-(-1)n-12nD.an=(-1)nn+(-1)n-125.(2023河南周口郸城期末)观察下图,并阅读图形下面的文字,像这样10条直线相交,交点的个数最多为()2条直线相交,最多有1个交点3条直线相交,最多有3个交点4条直线相交,最多有6个交点A.40B.45C.50D.556.根据下面数列的前几项写出数列的一个通项公式.(1)12(2)0.3,0.33,0.333,0.3333,…;(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;(4)-11+17.(教材习题改编)已知数列{an}的一个通项公式为an=n2-7n+6.(1)这个数列的第4项是多少?(2)150是不是这个数列中的项?若是,求出它是第几项;若不是,请说明理由;(3)该数列从第几项开始各项都是正数?题组三数列的递推公式8.(2024江苏盐城八校期中)如图所示,九连环是我国传统民间智力玩具,以金属丝制成9个圆环,解开九连环共需要256步,解下或套上一个环算一步,且九连环的解下和套上是一对逆过程.把玩九连环时,按照一定的程序反复操作可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为an(n≤9,n∈N*),已知a1=1,a2=1,按规则有an=an-1+3an-2+2(n≥3),则解下第5个圆环最少需要移动的次数为()A.15B.21C.27D.319.(2024北京东城景山学校月考)已知斐波那契数列{an}满足:a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),若a1+a3+a5+a7+a9+…+a59=ak,则k=()A.2022B.2023C.59D.6010.(2024江苏无锡江阴普通高中抽测)已知数列{an}满足an+1=2an,0≤an<1A.111.(2023江苏南通海安期中)已知数列{an}满足an+1=(-1)nan,且a1=1,则a18+a19=()A.-2B.0C.1D.212.(2024江苏苏州吴江中学月考)在数列{an}中,a1=1,a2=3,anan+2=1,则a2023+a2024=.

13.(2024福建泉州普通高中测试)已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=anan+1n(n+1)(n题组四数列与函数的关系14.(多选题)(2023山东省实验中学二诊)若数列{an}是递增数列,则{an}的通项公式可能为()A.an=n2-3n+1B.an=-1C.an=n+215.(2024湖北仙桃田家炳实验高级中学期中)已知数列{an}的通项公式为an=n×23n,则{aA.2B.3C.2或3D.416.(2024四川联考)已知数列{an}是递增数列,且an=(2aA.117.(2023上海曹杨二中期中)已知数列{an}的通项公式为an=6n-313n-17能力提升练题组一数列的通项公式及其应用1.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.已知该数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列的第20项与第21项的和为()A.380B.410C.420D.4622.(2024山西怀仁第一中学期中)已知数列{an}的通项公式为an=3n+1,{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{cn},则484是数列{cn}中的第()A.12项B.13项C.14项D.15项3.(多选题)(2023江苏宿迁泗洪洪翔中学检测)若数列{an}满足:∀i,j∈N*,若i<j,则ai<aj,称数列{an}为“鲤鱼跃龙门数列”.则符合“鲤鱼跃龙门数列”的数列{an}的通项公式可以为()A.an=n2-4n+1B.an=nC.an=sinnπD.an=lnn4.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=.

题组二数列的递推公式及其应用5.(2023江苏常熟王淦昌中学月考)已知数列{an}满足an+1an=A.an=2C.an=16.(2023湖北荆门期中)数列{an}的构成法则如下:a1=1,若an-2为自然数且之前未出现过,则用递推公式an+1=an-2,否则用递推公式an+1=3an,则a6=()A.7B.3C.15D.817.已知数列{an}满足a1=12,an+1A.5C.18.(多选题)(2024湖北荆州沙市中学月考)如果一个人爬楼梯的方式只有两种,一次上一级台阶或一次上两级台阶,设爬上n级台阶的方法数为an,则下列结论正确的有()A.a6=13B.an+2=an+an+1C.a1+a2+…+a7=51D.a12+a22+…+9.(多选题)(2024山东潍坊期中)已知正项数列{an}满足a1=1,an=naA.a2=5-12B.{aC.an+1-an>1题组三数列与函数的关系及其应用10.已知数列{an}对任意的n∈N*都有an+1<an+an+22,且aA.数列{an+1-an}为递减数列,且a5>1B.数列{an+1-an}为递增数列,且a5>1C.数列{an+1-an}为递减数列,且a5<1D.数列{an+1-an}为递增数列,且a5<111.(多选题)(2024重庆名校联盟期中)设函数f(x)=x-1,x≤0,x2-2xA.当a1=32时,1<anB.若{an}为常数列,则a1=1或a1=2C.若{an}为递减数列,则1<a1<2D.当a1=3时,1a1+12.已知数列{an}满足∀m,n∈N*,am+n=aman,且a1=23(1)求a4的值;(2)数列{n2·an}中的最大项为第几项?13.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出这个最小值;(2)若对任意的n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.

答案与分层梯度式解析第4章数列4.1数列基础过关练1.C对于A,数列还可以为常数列或摆动数列,A错误;对于B,两个数列的单调性不同,故不是相同数列,B错误;对于C,设an=n+1n,则当n=k时,ak=k+1k=1+1k,k,n对于D,数列中的第一项不能用2n,n∈N*表示,D错误.故选C.2.C观察可知A中数列是递减数列,B中数列是摆动数列,D中数列是有穷数列,均不符合题意.故选C.3.B把n=3代入数列的通项公式,得-23+a=-5,解得a=3.故选B.4.D观察可知数列前4项的整数部分分别为-1,2,-3,4,可写成(-1)n·n,分数部分分别为122,−342,562,−7825.B由题图得,交点个数的最大值构成数列1,3,6,…,即1×22,2×32,3×42,…,则猜想该数列的一个通项公式为an=n(n+1)6.解析(1)易知该数列中每一项的分子比分母少1,且分母可依次写成21,22,23,24,25,…,故所求数列的一个通项公式为an=2n-12n,n(2)因为数列0.9,0.99,0.999,0.9999,…的一个通项公式为bn=1-110n,而数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的每一项都是上面数列对应项的13,所以所求数列的一个通项公式为an=131-(3)原数列可变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以该数列的一个通项公式为an=n+1+(-1)n2,n∈(4)该数列中各项的分子都是1,分母是n2+1,第n项的符号可以用(-1)n来表示,所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n·1n2+1,n∈7.解析(1)a4=42-7×4+6=-6.(2)令an=n2-7n+6=150,即(n-16)(n+9)=0,解得n=16或n=-9(舍去),故150是数列{an}的第16项.(3)令an=n2-7n+6>0,即(n-1)(n-6)>0,解得n<1或n>6,因为n∈N*,所以从第7项开始都为正数.8.D由题意可知a3=a2+3a1+2=6,a4=a3+3a2+2=11,a5=a4+3a3+2=31.故选D.9.D由题意得a1+a3+a5+a7+a9+…+a59=a2+a3+a5+a7+a9+…+a59=…=a58+a59=a60=ak,故k=60.故选D.10.B由题意得a2=2a1-1=15,a3=2a2=25,a4=2a3=411.A因为an+1an=(-1)n,所以a2所以a18=-1,所以a19=(-1)18a18=-1,所以a18+a19=-2,故选A.方法技巧若anan-1=f(n)(n≥2,n∈N12.答案4解析因为a1=1,a2=3,anan+2=1,所以a1a3=1,a2a4=1,a3a5=1,a4a6=1,……,则a3=1,a4=13,a5=1,a6=3,……,由此可得数列{an}为1,3,1,1则a2023=a4×505+3=a3=1,a2024=a4×506=a4=13所以a2023+a2024=43规律总结已知数列{an}的递推公式求an时,若n的值较大,则数列通常具有周期性,此时先求出数列的周期再求an较简便.13.答案n解析由an-an+1=anan+1n(n所以当n≥2,n∈N*时,1a2−累加可得1an−1a当n=1时,a1=1符合上式,所以an=n2方法总结若数列的递推关系是形如an+1-an=f(n)的形式,则可以用累加法求数列的通项公式.14.BD选项A,an+1-an=(n+1)2-3(n+1)+1-n2+3n-1=2n-2,所以a2-a1=0,故{an}不是递增数列;选项B,an+1-an=-12n+1选项C,an+1-an=n+1+2n+1−n−2n=(选项D,an+1-an=lnn+1n+2故选BD.15.Ca1=1×23=2当n≥4时,an+1-an=(n+1)·23n+1-n·23n所以数列{an}中的最大项的项数为2或3.故选C.16.D因为数列{an}是递增数列,所以2a则a的取值范围是12,2.故选易错警示分段数列的单调性与相应分段函数的单调性有所不同,如本题中数列{an}递增需满足a5<a6,而函数f(x)递增则需满足(2a-1)×5+4≤(4-a)5-4+15,二者有较大的区别.17.答案6解析an=6n-313令3n-17>0,得n>173,又n∈N*,故nmin能力提升练1.C设该数列为{an},由已知可得该数列的偶数项的通项公式为a2n=2n2,奇数项的通项公式为a2n-1=2n(n-1),∴a20=a2×10=2×102=200,a21=a2×11-1=2×11×10=220,∴a20+a21=200+220=420,故选C.2.C令an=bm,即3n+1=m2,m,n∈N*.易知a1=4,b2=4符合题意.若m=3k,则bm=9k2∉{an};若m=3k+1,则bm=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1∈{an};若m=3k+2,则bm=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1∈{an}.故当m=3k+1和m=3k+2,k∈N*时,项bm才能在{an}中出现,即为公共项.所以公共项为b2,b4,b5,b7,b8,b10,b11,b13,b14,b16,b17,b19,b20,b22,…,令m2=484,得m=22,即b22=484,为数列{bn}的第22项,{cn}的第14项.故选C.3.BD对于A,不妨取i=1,j=3,则a1=-2=a3,不满足ai<aj,故A不符合;对于B,an=n+1n+2=1−1n+2,∀i,j∈N*,若i<j,则1i+2>对于C,不妨取i=2,j=4,则a2=0=a4,不满足ai<aj,故C不符合;对于D,an=lnnn+1=ln1-1n+1,∀i,j∈N*,若i<j,则1i+1>1j+1,则1-14.答案61信息提取①四个对称图形;②f(1)=1,f(2)=1+3+1,f(3)=1+3+5+3+1,f(4)=1+3+5+7+5+3+1,从而归纳出f(n).解析由题图得,f(1)=1,f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3,f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5,f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7,故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.所以f(6)=2×6×5+1=61.5.A因为an+1an=所以anan-1×an-1an-2×…×a故选A.6.C由a1=1,a1-2=-1∉N,得a2=3a1=3.又a2-2=1=a1,所以a3=3a2=9.又a3-2=7∈N,所以a4=a3-2=7.又a4-2=5∈N,所以a5=a4-2=5.又a5-2=3=a2,所以a6=3a5=15.故选C.7.B因为an+1=an+1n所以an+1-an=1n则当n≥2,n∈N*时,a2-a1=1-12,a3−a2=12−13,……,an-an-1因为a1=12,所以an=1-1当n=1时,a1=32所以an=32−1n,n8.ABD由题意得爬到第(n+2)级台阶有两种方法:从第(n+1)级上一级台阶或从第n级上两级台阶,则an+2=an+an+1,故B正确;易知a1=1,a2=1+1=2,所以a3=2+1=3,a4=3+2=5,a5=5+3=8,a6=8+5=13,故A正确;a7=13+8=21,所以a1+a2+…+a7=1+2+3+5+8+13+21=53≠51,故C错误;由B选项分析可知a12=1,a22=a2(a3−a1),a32=a则a12+a22+…+an2=1+a2(a3-a1)+a3(a4-a2)+…+an-1(an-an-2)+an(an+1-an-1)=1+a2a3-a1a2+a3a4-a2a3+…+an-1an-an-1an-2+anan+1-anan-1=anan+1-a1a2+1=anan+1-1,当n=1时,a12=a1a2-1,满足上式,故a故选ABD.9.BCD由题意得a1=a22a2+1=1,即a22因为{an}为正项数列,所以a2=1+5因为an+1-an=an+1-nan+12na易知an+1>1,所以an+1-an=an+1nan+1+1>an因为an+1-an=an+1nan+1+1所以a2-a1<1,a3-a2<12,a4−a3<1因此an+1-a1<1+12+13+…+1n,即an+1<1+∑k=110.D∵数列{an}对任意的n∈N*都有an+1<an∴an+2-an+1>an+1-an,因此(an+2-an+1)-(an+1-an)>0,∴{an+1-an}为递增数列.∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,同理可得,2a5<a4+a6<a3+a7<a2+a8<a1+a9.∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1,故选D.解题模板数列的单调性问题可以类比函数的单调性问题求解,解题时一般先分析数列自身的特点,再考虑作差,如an+1-an,判断其符号,符号为正,则数列递增;符号为负,则数列递减.11.ABD对于A,当a1=32时,a1∈(1,2),∴a2=f(a1)=a12