湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1-4数学归纳法课件

记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如

下:条件:(1)P(n0)为真;(2)若P(k)(k∈N+,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真.结论:P(n)为

真.(1)第一步验证(或证明)了当n=n0时结论成立,即命题P(n0)为真;(2)第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题:若P(k)(k∈N+,k≥n0)

为真,则P(k+1)也为真.只要将这两步交替使用,就有P(n0)为真,P(n0+1)为真,……,P(k)为真,P(k+1)为真,…….从而完成证明.|

数学归纳法*1.4数学归纳法1.数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1吗?不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°时,初始值n0=3.2.用数学归纳法证明等式时,由n=k(k∈N+,k≥n0)到n=k+1,等式的项数一定增加了

一项吗?不一定.如用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=

(a≠1)”时,由n=k(k∈N+,k≥n0)到n=k+1,等式左边增加了两项.

知识辨析利用数学归纳法证明与正整数n有关的一些恒等式问题时,关键是看清等式

两边的项,弄清等式两边项的构成规律,进而利用当n=k(k≥n0,k∈N+)时的假设.证

明恒等式的一个重要技巧就是两边“凑”.1利用数学归纳法证明等式

典例用数学归纳法证明1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

(n∈N+).思路点拨

(1)验证当n=1时等式成立;(2)由n=k(k∈N+)时等式成立推出n=k+1时等

式也成立.证明

(1)当n=1时,等式左边=1-

=

,右边=

,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时,等式成立,即1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

,那么当n=k+1时,1-

+

-

+…+

-

+

-

=

+

+…+

+

-

=

+

+…+

+

,所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)知,等式对一切正整数均成立.证明不等式往往比证明恒等式难度更大,方法更灵活,除了综合法外,作差比

较法、分析法、反证法也是常用的方法,另外恰当地放缩是证明不等式特有的技

巧.2利用数学归纳法证明不等式

典例用数学归纳法证明:1+

+

+…+

≤

+n(n∈N+).思路点拨分别确定当n=k(k∈N+),n=k+1时不等式的左边的值,找到它们之间的

关系,运用数学归纳法证明.证明

(1)当n=1时,1+

=

,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即1+

+

+…+

≤

+k,则当n=k+1时,1+

+

+…+

+

+

+…+

<

+k+2k·

=

+(k+1),即当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,不等式对任意n∈N+都成立.“归纳—猜想—证明”的解题步骤3归纳—猜想—证明解决与递推公式有关的数列问题

典例已知数列{an}满足a1=a(a>0),an=

(n≥2,n∈N+).(1)用a表示a2,a3,a4;(2)猜想an的表达式(用a和n表示),并用数学归纳法证明.思路点拨

(1)利用递推公式求出a2,a3,a4.(2)结合(1)归纳出an的通项公式,再用数

学归纳法证明结论.解析

(1)由已知得,a2=

=

,a3=

=

=

,a4=

=

=

.(2)因为a1=a=

,a2=

,……所以猜想an=

.下面用数学归纳法证明:①当n=1时,因为a1=a=

,所以当n=1时,猜想成立.②假设当n=k(k∈N+)时,猜