河北省新乐市第一中学2025届高三数学下学期冲刺试题含解析

PAGEPAGE21河北省新乐市第一中学2025届高三数学下学期冲刺试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据一次不等式和对数函数单调性得到，，求交集得到答案.【详解】，，故.故选：D.【点睛】本题考查了交集运算，依据对数函数单调性解不等式，意在考查学生的计算实力和应用实力.2.已知复数，则复数虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由复数的乘除法法则计算出复数，再由定义可得．详解：，虚部为．故选C．点睛：本题考查的运算复数的概念，解题时依据复数运算法则化复数为简洁形式，可得虚部与实部．3.绽开式中全部二项式系数之和是512，常数项为，则实数的值是（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】依据二项式系数和得到，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】绽开式中全部二项式系数之和是，故，的绽开式的通项为：，取得到常数项为：，解得.故选：A.【点睛】本题考查了二项式系数和，依据常数项求参数，意在考查学生的计算实力和应用实力.4.设，，，则a，b，c的大小关系是()A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.b＜c＜a【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性干脆求解．【详解】∵0＜a=0.50.4＜0.50b=log0.40.3＞log0.4c=log80.4＜log81=0，∴a，b，c的大小关系是c＜a＜b．故选C．【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面留意特别值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．5.执行如下图所示程序框图，若输出的，则①处填入的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】第一次循环得到：，不输出；其次次循环得到：，不输出；第三次循环得到：，不输出；第四次循环得到：，退出循环；因此推断框中的条件为：，故选B.6.已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由余弦定理得，进而可得，再由三角形的面积公式求得答案..【详解】，，由可得，，故选：C.【点睛】本题考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，属于简洁题.7.已知圆，一个直径为的小圆与是圆相内切且在圆内滚动，若在圆内任取一点，则能被小圆覆盖的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出图形，找出小圆能覆盖的区域为圆环，并计算出圆环的面积与圆的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事务的概率.【详解】如下图所示：由题意可知，点所在的区域为小圆覆盖的区域，即由圆和圆构成的圆环，圆环的面积为，圆的面积为.因此，能被小圆覆盖的概率为.故选：D.【点睛】本题考查几何概型概率计算，解答的关键就是确定点运动的区域，考查计算实力，属于基础题.8.已知实数满意，直线过定点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由直线可得，可知解得即直线过定点，作出可行域如图，所以目标函数，目标函数可视为点A与可行域中的点连线的斜率，∴，故选D．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.1B.2C.3D.6【答案】B【解析】【分析】画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由题意可知几何体的形态如图：，，，，BCDE是矩形，，所以几何体的体积为：．故选B．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，三视图与几何体的对应关系的推断是解题的关键．10.已知焦点为的抛物线上有一点，以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则（）A.2或 B.2 C.1 D.1或【答案】B【解析】【分析】把点坐标代入抛物线方程得出的关系,利用抛物线的定义求出圆的半径,利用垂径定理列方程解出.【详解】由点在抛物线上，则，得，，抛物线的准线方程为，则半径，到轴的距离则，得，解得.故选：B.【点睛】本题考查了抛物线的定义和垂径定理，学生的运算实力，属于简洁题.11.已知数列的首项，对随意，都有，则当时，()A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】令得到，故数列是等比数列，，故答案为C．12.已知函数，若存在实数，满意，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出函数的图象，由图像可确定，，，由此可将所求式子转化为，依据二次函数单调性求得取值范围．【详解】函数的图象如图所示：又设当时，单调递增，又，的取值范围是本题正确选项：【点睛】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础学问，考查运算求解实力，数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，，若，则__________．【答案】【解析】∵，，∴又，∴，解得，∴，∴．答案：14.__________．【答案】2【解析】分析】利用微积分基本定理及定积分的几何意义计算可得；【详解】解：，表示以为圆心，为半径的圆在轴上方部分的面积，所以．故答案为：2【点睛】本题考查微积分基本定理以及定积分几何意义的应用，属于基础题.15.已知函数，，，已知时，函数的全部零点和为21，则当时，函数的全部零点的和为__________．【答案】35【解析】【分析】确定三角函数和一次函数函数的对称中心为，依据零点和得到有三个零点，画出图象得到答案.【详解】时，，是函数的对称中心，周期为，，则是函数的对称中心，的全部零点和为21，故有三个零点，直线与三角函数相切，画出函数图象，如图所示：当时，，是函数的对称中心，依据图象知有五个零点，故全部零点和为.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数零点问题，意在考查学生的计算实力和应用实力，确定对称中心画出图象是解题的关键.16.我国古代数学名著《九章算术》的轮割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程．比如在表达式“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则__________．【答案】2024【解析】【分析】依据题意得到方程，解得答案.【详解】设，则，即，解得或（舍去）.故答案为：.【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的计算实力和推理实力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选做题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分17.在等比数列中,,且,又的等比中项为16.（1）求数列的通项公式:（2）设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得对随意恒成立.若存在,求出正整数的最小值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）（2）3.【解析】试题分析：（1）由题意可得，又，故，由此可得等比数列的公比，因此可得．（2）由（1）得，所以，从而，求和可得，所以可得，故存在满意题意得，且的最小值为3．试题解析：（1）设等比数列的公比为，∵的等比中项为16．∴，又，，∴，∴．（2）由（1）得，∴数列为等差数列，且．∴，∴，∴，∴，∴存在满意题意得，且的最小值为3．点睛：用裂项法求和原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发觉被消去项的规律为止．（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，消项后的剩余部分具有对称性．18.第24届冬季奥林匹克运动会将于2024年在北京-张家口实行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高变成如右所示的茎叶图（单位：）：若身高在以上（包括）定义为“高个子”，身高在以下（不包括）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担当“礼仪小姐”．（1）假如分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从全部“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担当“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望．【答案】（1）（2）见解析，1【解析】【分析】（1）先依据分层抽样确定5人中“高个子”和“非高个子”人数，再先求对立事务（都不是“高个子”）概率，最终依据对立事务概率公式求结果；（2）先确定随机变量，再分别求对应概率，写出分布列，最终依据数学期望公式得结果.【详解】解：（1）依据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人．用事务表示“至少有一名高个子”被选中”，则它的对立事务表示“没有一名“高个子”被选中”，则，因此，至少有一人是“高个子”的概率是．（2）依题意，的取值为0，1，2，3．，，，．因此，的分布列如下：0123∴．【点睛】本题考查分层抽样、茎叶图、古典概型概率、分布列、数学期望，考查基本分析求解实力，属中档题.19.在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，=90°,，．（I）求证：平面；（II）求证：平面；（III）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°．【答案】（I）证明见解析．（II）证明见解析．（III）【解析】【详解】（I）取PD的中点F，连结EF，AF，因为E为PC中点，所以EF//CD，且在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，所以EF//AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，所以BE//AF，BE平面PAD，AF平面PAD，所以BE//平面PAD．（II）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz．则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）.所以又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，所以BC⊥平面PBD．（III）平面PBD的法向量为所以，设平面QBD的法向量为=（a，b，c），，由，，得所以=所以留意到，得．20.过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于、两点．（1）证明：、两点的纵坐标之积为定值；（2）若点是定直线上的任一点，设三条直线，，的斜率分别为，，，证明【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)设，设直线的方程为与联立方程组，再依据根与系数的关系可证得为定值；(2)将，，表示出，并化简可证得【详解】（1）证明：由题意设直线的方程为，，，消得：．∴为定值．（2）解：三条直线，，的斜率成差数列，下证之：设点，则直线的斜率为，直线的斜率为，∴又∵直线的斜率为，∴．【点睛】本题考查直线和圆雉曲线的位置美系，斜率公式，考查了基本技巧：设而不解，联立方程组，根与系数的关系，还考查了学生的运算实力，属于中档题.21.设函数，其中e为自然对数的底数．若曲线在y轴上的截距为，且在点处的切线垂直于直线，求实数a，b的值；记的导函数为，求在区间上的最小值．【答案】（1）实数a，b的值分别为1，；（2）【解析】【分析】Ⅰ将，代入，即可求得b的值，求导，由，即可求得a的值；Ⅱ求导，，分类分别取得在区间上的最小值解析式．【详解】解：Ⅰ曲线在y轴上的截距为，则过点，代入，则，则，求导，由，即，则，实数a，b的值分别为1，；Ⅱ，，，当时，，，恒成立，即，在上单调递增，．当时，，，恒成立，即，在上单调递减，当时，，得，在上单调递减，在上单调递增，所以，【点睛】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数探讨曲线上某点切线方程考查发觉问题解决问题的实力．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点对应的参数．与曲线C2交于点．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2），是曲线C1上的两点，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数平方关系，消去参数，得曲线C1一般方程，先确定曲线C2极坐标方程ρ=2cosθ，再利用将极坐标化为直角坐标方程：（2）由题意得：，∴+=（+）+（+）=．．试题解析：（1）将M（2，）及对应的参数=；θ=；代入得：得：∴曲线C1的方程为：（为参数）即：．设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（，）代入得：=2R∴R=1∴圆C2的方程为：ρ